彈性力學(xué)-空間問題的基本理論模板課件

空間問題的基本理論第七章合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué)《彈性力學(xué)》主講教師：袁海平(副教授、博士后)空間問題的基本理論第七章合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué)《彈性力學(xué)》主一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力四、幾何方程及物理方程五、軸對稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)一、平衡微分方程內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個，且均為x,y,z的函數(shù)。空間問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。平衡微分方程一彈性力學(xué)3空間問題的基本理論在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:

平衡微分方程一彈性力學(xué)4空間問題的基本理論取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件由x軸向投影力的平衡微分方程可得

因為x,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以x,y,z坐標(biāo)具有對等性，其方程也必然具有對等性。平衡微分方程一彈性力學(xué)5空間問題的基本理論由x軸向投影力的平衡微分方程可得由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定理，空間問題的平衡微分方程精確到三階微量平衡微分方程一彈性力學(xué)6空間問題的基本理論由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定理，空間問題一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力四、幾何方程及物理方程五、軸對稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)一、平衡微分方程內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士

在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量……，來求出斜面(法線為

）上的應(yīng)力。物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)二彈性力學(xué)8空間問題的基本理論在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力斜面的全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標(biāo)向分量：p沿法向和切向分量：物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)二彈性力學(xué)9空間問題的基本理論斜面的全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標(biāo)向分量：取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds,則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。由四面體的力平衡條件可得1.求物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)二彈性力學(xué)10空間問題的基本理論取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為d2.求將向法向投影，即得得由物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)二彈性力學(xué)11空間問題的基本理論2.求將向法向投影，即得得由物體內(nèi)任一點的應(yīng)力設(shè)在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動到邊界點上，并使斜面與邊界重合。斜面應(yīng)力分量應(yīng)代之為面力分量，從而得出空間問題的應(yīng)力邊界條件:3.在上的應(yīng)力邊界條件物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)二彈性力學(xué)12空間問題的基本理論設(shè)在邊界上，給定了面力分量一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力

四、幾何方程及物理方程五、軸對稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)一、平衡微分方程內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士1.假設(shè)面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標(biāo)向的應(yīng)力分量為：代入,得到：主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)14空間問題的基本理論1.假設(shè)面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面考慮方向余弦關(guān)系式，有

結(jié)論：式(a),(b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。(b)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)15空間問題的基本理論考慮方向余弦關(guān)系式，有結(jié)論：式(a),(2.求主應(yīng)力將式(a)改寫為：主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)16空間問題的基本理論2.求主應(yīng)力將式(a)改寫為：主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力

上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方程。由于l,m,n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開，即得求主應(yīng)力的方程,(c)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)17空間問題的基本理論上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方3.應(yīng)力主向設(shè)主應(yīng)力的主向為。代入式(a)中的前兩式，整理后得主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)18空間問題的基本理論3.應(yīng)力主向設(shè)主應(yīng)力的主向為由上兩式解出。然后由式(b)得出再求出及。4.一點至少存在著三個互相垂直的主應(yīng)力（證明見書上）。主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)19空間問題的基本理論由上兩式解出。然后由式(b)得出再求出5.應(yīng)力不變量若從式(c)求出三個主應(yīng)力，則式(c)也可以用根式方程表示為，因式(c)和(f

)是等價的方程，故的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出：主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)20空間問題的基本理論5.應(yīng)力不變量若從式(c)求出三個主應(yīng)力(g)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)21空間問題的基本理論(g)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)21空間問題的基本理所以分別稱為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。

式(g)中的各式，左邊是不隨坐標(biāo)選擇而變的；而右邊各項雖與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標(biāo)選擇無關(guān)。主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)22空間問題的基本理論所以分別稱為第一、二、三應(yīng)力不變量。6.關(guān)于一點應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：6個坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一點的應(yīng)力狀態(tài)。只要6個坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定了，則通過此點的任何面上的應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點存在著3個互相垂直的應(yīng)力主面及主應(yīng)力。主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)23空間問題的基本理論6.關(guān)于一點應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：6個坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一(3)3個主應(yīng)力包含了此點的最大和最小正應(yīng)力。(4)一點存在3個應(yīng)力不變量(5)最大和最小切應(yīng)力為，作用于通過中間主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng)力的夾角”的平面上。

設(shè)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力三彈性力學(xué)24空間問題的基本理論(3)3個主應(yīng)力包含了此點的最大和最小(4)一點存在一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力四、幾何方程及物理方程五、軸對稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)一、平衡微分方程內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士

空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：

(a)幾何方程及物理方程四彈性力學(xué)26空間問題的基本理論空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴若位移確定，則形變完全確定。從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。幾何方程及物理方程四彈性力學(xué)27空間問題的基本理論從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴--沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

由形變求位移，要通過積分，會出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對應(yīng)的位移分量，為：

(b)--繞x,y,z軸的剛體轉(zhuǎn)動。幾何方程及物理方程四彈性力學(xué)28空間問題的基本理論--沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問題的位移邊界條件為：(c)幾何方程及物理方程四彈性力學(xué)29空間問題的基本理論若在邊界上給定了約束位移分量(d)其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變定義為：

幾何方程及物理方程四彈性力學(xué)30空間問題的基本理論(d)其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變空間問題的物理方程

⑴應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求解方法：(x,y,z).(e)可表示為兩種形式：幾何方程及物理方程四彈性力學(xué)31空間問題的基本理論空間問題的物理方程⑴應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以導(dǎo)出（g）是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。--稱為體積模量。幾何方程及物理方程四彈性力學(xué)32空間問題的基本理論⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：(x空間問題的應(yīng)力，形變，位移等15個未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程，并在邊界上滿足3個應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論：幾何方程及物理方程四彈性力學(xué)33空間問題的基本理論空間問題的應(yīng)力，形變，位移等15個未知函數(shù)，一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力四、幾何方程及物理方程五、軸對稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)一、平衡微分方程內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士

空間軸對稱問題

采用柱坐標(biāo)表示。

如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對稱的。軸對稱問題的基本方程五彈性力學(xué)35空間問題的基本理論空間軸對稱問題采用柱坐標(biāo)

對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有所有物理量僅為(ρ,z)的函數(shù)。軸對稱問題的基本方程五彈性力學(xué)36空間問題的基本理論對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有所而由得出為。平衡微分方程：軸對稱問題的基本方程五彈性力學(xué)37空間問題的基本理論而由得出為。平衡微分方程：軸對稱問題的

幾何方程：其中幾何方程為軸對稱問題的基本方程五彈性力學(xué)38空間問題的基本理論幾何方程：其中幾何方程為軸對稱問題的基本方程五彈性力學(xué)物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)軸對稱問題的基本方程五彈性力學(xué)39空間問題的基本理論物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)軸對稱問題的基本方程五彈性力

應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中軸對稱問題的基本方程五彈性力學(xué)40空間問題的基本理論應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中軸對稱問題的基本方程五彈性力學(xué)40空間邊界條件：

一般用柱坐標(biāo)表示時，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡單。

在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量的量綱、方向性、坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對等性。軸對稱問題的基本方程五彈性力學(xué)41空間問題的基本理論邊界條件：在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量一、平衡微分方程二、物體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)三、主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力四、幾何方程及物理方程五、軸對稱問題的基本方程例題第七章空間問題的基本理論內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)一、平衡微分方程內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士例題1設(shè)物體的邊界面方程為試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力應(yīng)力邊界條件是什么形式？例題六彈性力學(xué)43空間問題的基本理論例題1設(shè)物體的邊界面方程為試求出邊界面的（x,

y,

z)，其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為

時，它的表面法線的方向余弦為例題六彈性力學(xué)44空間問題的基本理論（x,

y,

z)，其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為例題六彈性當(dāng)面力為法向分布拉力q時，(x,y,z).因此，應(yīng)力邊界條件為代入應(yīng)力邊界條件，得(x,y,z).例題六彈性力學(xué)45空間問題的基本理論當(dāng)面力為法向分布拉力q時，(x,y,z).因此，應(yīng)力邊界例題2試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分量。(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布壓力q作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無摩擦力。(b)半無限大空間體，其表面受均布壓力q的作用。例題六彈性力學(xué)46空間問題的基本理論例題2試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分量。(aqqooxxzz例題六彈性力學(xué)47空間問題的基本理論qqooxxzz例題六彈性力學(xué)47空間問題的基本理論解：圖示的(a),(b)兩問題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。對于(a)，有約束條件；對于(b)，有對稱條件