高等數(shù)學(xué)Ⅱ教學(xué)大綱

PAGEPAGE8高等數(shù)學(xué)ⅡHigherMathematicsⅡ一、課程基本信息課程編號：110841、110842適用專業(yè)：全校性公共課（理科類）課程性質(zhì)：學(xué)科基礎(chǔ)必修開課單位：數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院學(xué)時：144（=64+80）學(xué)分：9考核方式：閉卷考試，平時成績占30%，期末考試成績占70%中文簡介：高等數(shù)學(xué)是我校理科類專業(yè)的一門必修課，它是為了培養(yǎng)適應(yīng)現(xiàn)代化建設(shè)和科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展的復(fù)合型人才而開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)理論課，通過該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生系統(tǒng)地獲得微積分、向量代數(shù)和空間解析幾何、無窮級數(shù)和常微分方程的基本知識、基本理論和基本方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及創(chuàng)新能力，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和獲得進(jìn)一步的數(shù)學(xué)知識奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。更重要的是要使學(xué)生能運(yùn)用所掌握的高等數(shù)學(xué)所特有的思維方法和處理問題的思想去分析、解決現(xiàn)實(shí)世界中各種實(shí)際問題。二、教學(xué)目的與要求本課程是高等學(xué)校工科類各專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課，它是為培養(yǎng)我國社會主義現(xiàn)代化建設(shè)所需要的高質(zhì)量建設(shè)人才服務(wù)的。1、知識目標(biāo)通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得一元函數(shù)微積分學(xué)、向量代數(shù)和空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級數(shù)（包括傅里葉級數(shù)）與常微分方程等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2、能力目標(biāo)在課程的教學(xué)過程中，要通過各個教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、綜合解題能力、數(shù)學(xué)建模與實(shí)踐能力以及自學(xué)能力。3、素質(zhì)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生靈活、抽象、猜想、活躍的數(shù)學(xué)思維，逐步形成數(shù)學(xué)意識，讓數(shù)學(xué)這一工具進(jìn)入到學(xué)生的生活實(shí)踐中。4、課程思政目標(biāo)高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)十分重要的公共基礎(chǔ)課，以廣大新生為教學(xué)對象，應(yīng)當(dāng)承擔(dān)起為學(xué)生樹立正確的人生觀、世界觀和價值觀的重任，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的基礎(chǔ)上樹立正確的三觀，具有強(qiáng)烈的愛國主義熱情，通過四年的大學(xué)學(xué)習(xí)，把學(xué)生培養(yǎng)成既具有遠(yuǎn)大理想又具有高度社會責(zé)任感的新時代大學(xué)生，真正成為對祖國對社會有用的人才，為祖國的繁榮昌盛做出自己應(yīng)有的貢獻(xiàn)。具體的目標(biāo)主要包括：（1）通過對數(shù)學(xué)抽象概念產(chǎn)生的數(shù)學(xué)文化背景介紹，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷、文化自信和民族自豪感，學(xué)習(xí)古人堅韌不拔的毅力和拼搏精神；（2）讓學(xué)生了解身邊的數(shù)學(xué)，認(rèn)識數(shù)學(xué)的理性價值、應(yīng)用價值和審美價值，激發(fā)學(xué)生的興趣，增強(qiáng)學(xué)生對未知世界的好奇心，培養(yǎng)勇于探索的創(chuàng)新意識。三、教學(xué)方法與手段以課堂教學(xué)為主，并結(jié)合課堂練習(xí)與討論、課后練習(xí)及答疑等手段使學(xué)生較好地掌握本課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)，提高學(xué)生的邏輯思維能力和計算能力。板書與多媒體相結(jié)合，以多媒體為主，增加趣味性。建立高等數(shù)學(xué)精品課程網(wǎng)站，為學(xué)生課后學(xué)習(xí)提供幫助！四、教學(xué)內(nèi)容及目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)學(xué)時分配第一章函數(shù)與極限14第一節(jié)映射與函數(shù)掌握2第二節(jié)數(shù)列的極限了解2第三節(jié)函數(shù)的極限掌握1第四節(jié)無窮小與無窮大掌握1第五節(jié)極限運(yùn)算法則掌握2第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限掌握2第七節(jié)無窮小的比較掌握1第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)掌握1第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性了解1第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)了解1重點(diǎn)與難點(diǎn)：極限；無窮小與無窮大；極限的計算；兩個重要極限；函數(shù)的連續(xù)性衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn):1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法；2．掌握函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性與奇偶性；3．理解復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和分段函數(shù)的概念；4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，理解初等函數(shù)的概念；5．會建立簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系；6．了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左、右極限）的概念；7．了解無窮小的概念和基本性質(zhì)，掌握無窮小的階的比較方法，了解無窮大的概念及其與無窮小的關(guān)系；8．了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個準(zhǔn)則，熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則，熟練掌握兩個重要極限的應(yīng)用；9．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（包括左、右連續(xù)）與函數(shù)間斷的概念，掌握間斷點(diǎn)的分類；10．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理、最大值與最小值定理和介值定理）及其簡單應(yīng)用。第二章導(dǎo)數(shù)與微分12第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念掌握2第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則掌握4第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)掌握2第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率掌握2第五節(jié)函數(shù)的微分掌握2重點(diǎn)與難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；函數(shù)的微分衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn):1．理解導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；2．熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；3．熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；4．熟練掌握反函數(shù)求導(dǎo)法則；5．熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；6．掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法則與對數(shù)求導(dǎo)法則；7．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求二階、三階導(dǎo)數(shù)及一些簡單的n階導(dǎo)數(shù)；8．會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)；9．了解微分的概念，可導(dǎo)與可微、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，以及一階微分形式的不變性，熟練掌握求微分的方法。第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用14第一節(jié)微分中值定理理解2第二節(jié)洛必達(dá)法則掌握2第三節(jié)泰勒公式了解1第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性掌握3第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值理解4第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪理解2重點(diǎn)與難點(diǎn)：微分中值定理；洛必達(dá)法則求未定式極限；函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)：1．理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理；2．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)的極值與最大值最小值的求法，能利用極值解決簡單實(shí)際應(yīng)用問題；3．會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)，會求水平、鉛直和斜漸近線；4．掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。第四章不定積分12第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)掌握2第二節(jié)換元積分法掌握4第三節(jié)分部積分法掌握2第四節(jié)有理函數(shù)的積分掌握4重點(diǎn)與難點(diǎn)：不定積分的概念與性質(zhì)；換元積分法和分部積分法衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)：1．理解原函數(shù)的概念，理解不定積分的概念；2．熟練掌握不定積分的基本性質(zhì)與基本積分公式；3．熟練掌握計算不定積分的湊微分法、換元積分法和分部積分法；4．了解并會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的不定積分。第五章定積分12第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)掌握2第二節(jié)微積分基本公式掌握2第三節(jié)定積分的換元積分法和分部積分法掌握4第四節(jié)反常積分掌握4重點(diǎn)與難點(diǎn)：積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)；牛頓—萊布尼茨公式；反常積分衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)：1．理解定積分的概念和性質(zhì)；2．理解并掌握積分上限的函數(shù)及其求導(dǎo)公式，牛頓—萊布尼茨公式；3．熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法。第六章定積分的應(yīng)用6第一節(jié)定積分的元素法掌握1第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用掌握3第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用掌握2重點(diǎn)與難點(diǎn)：定積分微元法；定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用；定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)：1．理解定積分的元素法；2．掌握用定積分表達(dá)和計算一些幾何量和常用物理量；3．掌握定積分在幾何上的應(yīng)用；4．了解定積分在物理上的簡單應(yīng)用。第七章微分方程16第一節(jié)微分方程的基本概念理解2第二節(jié)可分離變量的微分方程掌握2第三節(jié)齊次方程掌握2第四節(jié)一階線性微分方程掌握2第五節(jié)可降階的高階微分方程掌握2第六節(jié)高階線性微分方程掌握2第七節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程掌握2第八節(jié)常系數(shù)非齊次線性微分方程掌握2重點(diǎn)與難點(diǎn)：可分離變量的微分方程；一階線性微分方程；二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；常見的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)：1．了解微分方程的階、通解、初始條件和特解等概念；2．掌握可分離變量的微分方程、齊次方程和一階線性微分方程的求解方法；3．了解貝努利方程的求解方法4．了解可降階的高階微分方程的解法；5．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；6．掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解，并會求解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程；7．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；8．會應(yīng)用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。第八章向量代數(shù)與空間解析幾何10第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算理解2第二節(jié)數(shù)量積向量積掌握2第三節(jié)平面及其方程掌握2第四節(jié)空間直線及其方程掌握2第五節(jié)曲面及其方程了解1第六節(jié)空間曲線及其方程了解1重點(diǎn)與難點(diǎn)：向量的概念；向量的坐標(biāo)表示式；向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式；.數(shù)量積、向量積的概念及其等價的表示形式；向量平行與垂直的相應(yīng)結(jié)論；.球面的方程；空間曲線的一般表示形式；空間曲線在坐標(biāo)面上的投影；平面方程的求法；兩平面的夾角；直線的幾種表達(dá)式衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)：1．理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示；2．掌握向量的運(yùn)算，了解兩個向量垂直與平行的條件；3．掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算；4．掌握平面方程和直線方程及其求法，會利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問題；5．理解曲線方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；6．了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程；7．了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求其方程。第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用16第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念理解2第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)掌握2第三節(jié)全微分掌握2第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則掌握2第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式掌握2第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用掌握2第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度掌握2第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法掌握2重點(diǎn)與難點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)與全微分；隱函數(shù)的求導(dǎo)公式；多元函數(shù)的極值及其求法衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)：1．理解多元函數(shù)的概念；2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；3．理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件以及全微分在近似計算中的應(yīng)用；4．了解方向?qū)?shù)和梯度的概念并會其計算方法；5．掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；6．了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程，了解二元函數(shù)的泰勒公式；7．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的的必要條件；8．了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。第十章重積分10第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)理解2第二節(jié)二重積分的計算法掌握4第三節(jié)三重積分掌握2第四節(jié)重積分的應(yīng)用掌握2重點(diǎn)與難點(diǎn)：二重積分的概念與計算；三重積分的計算；重積分的應(yīng)用衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)：1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分中值定理；2．熟練掌握二重積分在直角坐標(biāo)系下的計算方法；3．掌握二重積分在極坐標(biāo)系下的計算方法，了解三重積分在直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系下的計算方法；4．會用重積分來表達(dá)一些幾何量（如平面圖形的面積、體積、曲面面積）和物理量（如質(zhì)量、質(zhì)心坐標(biāo)、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）。第十一章曲線積分與曲面積分12第一節(jié)對弧長的曲線積分掌握2第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分掌握2第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用掌握2第四節(jié)對面積的曲面積分掌握2第五節(jié)對坐標(biāo)的曲面積分掌握2第六節(jié)高斯公式*通量與散度了解1第七節(jié)斯托克斯公式*環(huán)流量與旋度了解1重點(diǎn)與難點(diǎn)：對弧長和坐標(biāo)的曲線積分；格林公式并會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)：1．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系；2．掌握兩類曲線積分的計算方法；3．掌握格林公式并會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)；4．了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式，了解斯托克斯公式；5．*了解散度與旋度的概念，并會計算散度與旋度。第十二章無窮級數(shù)10第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)理解2第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法掌握2第三節(jié)冪級數(shù)掌握2第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)掌握2*第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用掌握0第七節(jié)傅里葉級數(shù)掌握2重點(diǎn)與難點(diǎn)：常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及性質(zhì)；常項(xiàng)級數(shù)的審斂法；冪級數(shù)；函數(shù)展開成冪級數(shù)；傅里葉級數(shù)衡量學(xué)習(xí)是否達(dá)到目標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)：1．了解級數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和等概念；2．掌握幾何級數(shù)，級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，知道調(diào)和級數(shù)的斂散性；3．掌握收斂級數(shù)的必要條件及收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；4．掌握正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法、達(dá)朗貝爾（比值）判別法與柯西（根值）判別法；5．掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法；6．了解級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念，掌握絕對收斂與條件收斂的判別法；7．了解冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)域、和函數(shù)等概念，會求收斂半徑和收斂域；8．了解冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性，逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會求一些簡單冪級數(shù)的和函數(shù)；9．掌握及的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)；10．了解傅里葉級數(shù)概念和函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理，會寫出傅里葉級數(shù)和的表達(dá)式。五、推薦教材和教學(xué)參考資源A．推薦教材：同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)》（第七版，上、下冊）.北京：高等教育出版社，2014年7月