【解析】北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊同步練習(xí)- 第四章 《圖形的相似》5.相似三角形判定定理的證明

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北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊同步練習(xí)——第四章《圖形的相似》5.相似三角形判定定理的證明

一、選擇題

1．（2023·永善模擬）如圖，中，交于點，，，，，則的長等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵∠A=∠E，∠ADC=∠EDB，

∴△BDE△CDA，

∵，，，

∴，BD=6，

∴，

∴，

解得：，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法求出△BDE△CDA，再求出，BD=6，最后計算求解即可。

2．如圖，是邊邊上的兩點，且，若，則與的周長之比為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴△ADE∽△ABC，

∵，

∴與的周長之比為，

故答案為：B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解。

3．（2023·合肥模擬）如圖，等腰三角形中，，，平分，則（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】平行線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義

【解析】【解答】解：如圖所示：過點A作AM//BC，交BD延長線于點M，

，

∴∠M=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠M=∠ABD，

∴AM=AB=8，

∵△AMD△CBD，

∴AD：DC=AM：BC，

∵BC=4，

∴AD：DC=2：1，

∴，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)先求出∠M=∠DBC，再根據(jù)角平分線求出∠ABD=∠DBC，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)計算求解即可。

4．（2023·合肥模擬）如圖，正方形的邊長為，延長至點，，連接交于點，連接，并取的中點，連接并延長交于點．則（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：延長DA，HF相交于點M，過F作FN⊥BE于點N，

，

∵F是中點，

∴AF=EF，

∵∠MAF=∠HEF，∠AFM=∠HFE，

∴△AFM≌△EFH，

∴AM=EH，

∵AD//EC，

∴△AGD△BGE，△DMG△EHG，

∴，，

∴，

∴DM=2EH，

∵DM=AM+AD=EH+AD=2EH，AD=2，

∴EH=2，

∵F是中點，

∴，，

∴，

∴由勾股定理可得：，

故答案為：B.

【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等計算求解即可。

5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點，將沿著軸正方向平移，使點平移至原點，得到交于點，則的長為（）

A．B．C．D．1

【答案】A

【知識點】坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵

∴OA=OB=2，OC=1，BC=3

∴AB=

∵將△ABC沿x軸正方形平移，使點B平移至原點O，得到△DOE

∴AB//OD

∴△ABC∽△FOC

∴，即

∴OF=.

故答案為：A

【分析】由的點的坐標(biāo)可以得到OA=OB=2，OC=1，BC=3，再由勾股定理求出AB=；由平移可以得到AB//OD，從而得到△ABC∽△FOC，由即可求出OF的長.

6．（2023八下·南寧期中）如圖，將矩形沿折疊，使點落在邊上點處，若，，則邊的長為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD=BC=8，∠B=90°.

∵CE=3，

∴BE=EF=BC-CE=8-3=5.

∵△ABE和△AFE關(guān)于直線AE對稱，

∴∠AFE=∠B=90°，EF=BE=5，

∴CF==4.

∵∠DAF+∠AFD=∠AFD+∠EFC=90°，

∴∠DAF=∠CFE，

∴△ADF∽△FCE，

∴，

∴，

∴DF=6，

∴AB=CD=DC+CF=6+4=10.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC=8，∠B=90°，由軸對稱的性質(zhì)可得∠AFE=∠B=90°，EF=BE=5，利用勾股定理可得CF的值，根據(jù)同角的余角相等可得∠DAF=∠CFE，由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△ADF∽△FCE，利用相似三角形的性質(zhì)可求出DF的值，然后根據(jù)AB=CD=DC+CF進行計算.

7．（2023·增城模擬）如圖，點，都是邊上的點，，交于點，若，則：的值是()

A．1：5B．1：4C．1：3D．1：2

【答案】C

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵DE∥AC，

∴△DEF∽△CAF.

∵，

∴.

∵DE∥AC，

∴△DEB∽△ACB，

∴.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得△DEF∽△CAF，△DEB∽△ACB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算.

8．（2023·南海模擬）如圖，在中，點，分別是，的中點，若，則（）

A．3B．6C．9D．12

【答案】D

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：∵D、E分別是AB、AC的中點，

∴DE是△ABC中位線，

∴DE//BC，

∵DE//BC，

∴△ADE∽△ABC

∴

∴.

故答案為：D.

【分析】先判斷DE是△ABC的中位線，從而得到△ADE∽△ABC，且；再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求出△ABC的面積.

9．（2023·綿陽模擬）如圖，在中，將繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，點E恰好落在邊BC上，EF與CD交于點M，AB＝6，AD＝8，BE＝2，則CM的長為（）

A．2B．3C．D．

【答案】D

【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：過點C作CN∥AE交EF于點N，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，BC=AD=8，

∴∠BCD=180°-∠B.

∵△AEF是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AB=AE=6，∠ABE=∠AEF，

∴∠ABE=∠AEB.

∵BE=2，

∴CE=BC-BE=6，

∴AE=CE.

∵∠AEC=∠ABE+∠BAE，∠AEC=∠AEF+∠CEN，

∴∠BAE=∠CEN.

∵CN∥AE，

∴∠AEF=∠CNE=∠ABE，

∴∠ECN=∠AEB=∠ABE=∠ENC，

∴EN=EC=6，

∴△ABE≌△ECN（AAS），

∴CN=BE=2.

∵∠BCD=∠CNM，∠CMN=∠EMC，

∴△CNM∽△ECM，

∴.

設(shè)MN=x，則MC=3x，ME=9x，

∵EN=ME-MN=6，

∴x=34，

∴MC=3x=94.

故答案為：D.

【分析】過點C作CN∥AE交EF于點N，由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，BC=AD=8，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AE=6，∠ABE=∠AEF，結(jié)合外角、平行線的性質(zhì)可推出∠ECN=∠AEB=∠ABE=∠ENC，則EN=EC=6，利用AAS證明△ABE≌△ECN，得到CN=BE=2，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△CNM∽△ECM，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算.

二、填空題

10．（2023·營口）如圖，在中，，，將繞著點C按順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD交于在E，則．

【答案】

【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接AD，過D作DG⊥AC于點G，

∵將AC繞著點C按順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CD，

∴AC=CD，∠ACD=60°，

∴△ACD為等邊三角形，

∴AG=CG=AC.

設(shè)AB=AC=2a，則AC=AD=CD=2a，AG=CG=a，

∴DG==a.

∵∠BAE=∠DGE=90°，∠AEB=∠GED，

∴△ABE∽△GDE，

∴，

∴，

∴AE=GE.

∵AE+GE=AG=a，

∴GE+GE=a，

∴GE=(-3)a，

∴AE=(4-)a.

∵DE2=DG2+EG2，

∴DE=，

∴==.

故答案為：.

【分析】連接AD，過D作DG⊥AC于點G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，∠ACD=60°，推出△ACD為等邊三角形，得到AG=CG=AC，設(shè)AB=AC=2a，則AC=AD=CD=2a，AG=CG=a，DG=a，由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△ABE∽△GDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AE=GE，結(jié)合AE+GE=AG=a可得GE=(-3)a，然后表示出AE，由勾股定理可得DE，據(jù)此求解.

11．（2023·東營）如圖，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)過y軸上的點反射后經(jīng)過點，則的值是．

【答案】－1

【知識點】點的坐標(biāo)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：過點C作CF⊥x軸于點F，過點A作AG⊥y軸于點G，如圖所示：

∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，

∴△BFC∽△BGA，

∴，

∵，，，

∴CF=-m，F(xiàn)B=1-n，BG=4，AG=2，

∴，

故答案為：-1

【分析】過點C作CF⊥x軸于點F，過點A作AG⊥y軸于點G，進而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進而根據(jù)點的坐標(biāo)得到CF=-m，F(xiàn)B=1-n，BG=4，AG=2，進而代入即可求解。

12．（2023八下·肇源月考）如圖，在平行四邊形中，E為的中點，交于F，若，則．

【答案】180

【知識點】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴△AEF∽△CDF.

∵E為AB的中點，

∴AE=AB，

∴AE=CD，

∴相似比為1：2，

∴，

∴，

∴FC=120，

∴AC=AF+FC=60+120=180.

故答案為：180.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB=CD，根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得△AEF∽△CDF，由中點的概念可得AE=AB=CD，則相似比為1：2，據(jù)此可求出FC，然后根據(jù)AC=AF+FC進行計算.

13．（2023·河南模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為5，E是邊AD上的一動點，將正方形沿CE翻折，點的對應(yīng)點為，過點作折痕CE的平行線，分別交正方形ABCD的邊于點M，N（點M在點上方），若，則DE的長為.

【答案】2或

【知識點】正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：①當(dāng)點M在AD上時，連接DD′，

設(shè)AM=x，則CN=2x.

∵正方形ABCD，

∴AD∥BC，即ME∥NC，

∵MN∥EC，

∴四邊形CEMN是平行四邊形，

∴ME=CN=2x，∠EMD′=∠DEC，∠MD′E=∠D′EC.

由折疊的性質(zhì)，可知CE⊥DD′，∠DEC=∠D′EC，DE=D′E.

∴MN⊥DD′，∠EMD′=∠MD′E，

∴ME=D′E=DE=2x.

∵AD=5，

∴AM+ME+DE=x+2x+2x=5，

解得x=1，

∴DE=2.

②當(dāng)點M在AB上時，分別延長NM、DA交于點F，連接DD′，

同理，可得FE=D′E=DE.

設(shè)AM=x，則BM=5-x，CN=EF=DE=2x，

∴AF=4x-5，BN=5-2x.

∵AD∥BC，

∴△FAM∽△NBM，

∴，

∴，

解得x=或（不合題意，舍去）.

經(jīng)檢驗，x=是原分式方程的解，

∴DE=.

綜上所述，當(dāng)2AM=CN時，DE的長為2或.

故答案為：2或.

【分析】①當(dāng)點M在AD上時，連接DD′，設(shè)AM=x，則CN=2x，易得四邊形CEMN是平行四邊形，則ME=CN=2x，∠EMD′=∠DEC，∠MD′E=∠D′EC，由折疊的性質(zhì)，可知CE⊥DD′，∠DEC=∠D′EC，DE=D′E，進而推出ME=D′E=DE=2x，然后根據(jù)AD=AM+ME+DE=5可得x的值，進而可得DE；②當(dāng)點M在AB上時，分別延長NM、DA交于點F，連接DD′，同理可得FE=D′E=DE，設(shè)AM=x，則BM=5-x，CN=EF=DE=2x，由平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得△FAM∽△NBM，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算.

14．（2023·濰坊模擬）如圖，在中，，延長至，使得，點為動點，且，連接，則的最小值為．

【答案】

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：連接AP交BC于點E，

∵AB=AC=10，PB=PC，

∴AP垂直平分BC，

∴BE=BC=3，BC⊥AP，

∴當(dāng)DP⊥AP時，DP最短，

∴∠APD=∠AEB=90°，

∵BD=AB，

∴AD=AB=15，

∵∠EAB=∠PAD，

∴△AEB△APD，

∴，

∴，

∴，

即PD的最小值為，

故答案為：.

【分析】先作圖，再求出AP垂直平分BC，最后利用相似三角形的判定與性質(zhì)計算求解即可。

15．（2023·紅橋模擬）在四邊形中，，若，，則的長為．

【答案】

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理的應(yīng)用；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】如下圖所示，作AE┴BC于E，交BD于G，作DF┴AE于F，

∵在四邊形中，，若，，

∴，DF∥BE，

∴，

∴，

又∵，

∴

∴

∴

故結(jié)果為：

【分析】此題考察等腰三角形判定及性質(zhì)、三角形全等判定及性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，屬于“雙基”題型，難度不大。

三、解答題

16．下面是小蕓同學(xué)證明定理時使用的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．

定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖，在中，，點是邊的中點．求證：．

方法一：證明：延長至，使，連接，．方法二：證明：過點作于點．

【答案】證明：方法一：∵點是邊的中點，

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴；

方法二：

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴垂直平分，

∴．

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的判定

【解析】【分析】方法一：先證明四邊形ABCD是平行四邊形，進而證明四邊形ABCD是矩形，則由矩形的性質(zhì)可得；

方法二：證明△OCD∽△ACB，得到CD=BD，則OD垂直平分BC，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得．

17．（2023·泉州模擬）如圖，在矩形中，點在邊上，，垂足為F，，，，求的長.

【答案】解：四邊形是矩形，

，，

.

，

，

，

，

.

又，，，

，

.

【知識點】平行線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠DCE=90°，AD∥BC，由平行線的性質(zhì)可得∠ADF=∠DEC，由垂直的概念可得∠AFD=90°，由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△AFD∽△DCE，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行計算.

18．（2023·立山模擬）如圖，在矩形中，于點E，點P是邊上一點，且．求證：．

【答案】證明：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵矩形中，，

∴，

∴．

【知識點】余角、補角及其性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】根據(jù)，可證，，根據(jù)矩形性質(zhì)可得，。

19．（2023九上·平桂期末）如圖，在中，平分，.若，，，求的長.

【答案】解：∵為的平分線，

∴.

∵，

∴

∴

∴

∵，

∴

∴，

∵，，，

∴，

∴

∴.

【知識點】平行線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義

【解析】【分析】根據(jù)角平分線的概念可得∠DAE=∠EAC，由平行線的性質(zhì)可得∠DEA=∠EAC，則∠DAE=∠DEA，推出ED=AD，易證△BED∽△BCA，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算.

20．（2023八下·肇源月考）如圖，的直角頂點B在x軸正半軸上，斜邊在y軸上．線段、的長是方程的兩個根．（）

（1）求證：

（2）求點C坐標(biāo)

（3）點M在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)是否存在點N，使以點A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有符合題意的點N坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴．

（2）解：∵線段、的長是方程的兩個根．（）

∴，

解得：，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

（3）解：如圖，當(dāng)在軸上時，設(shè)，由矩形可得：，

∴，

∴，

解得：，即，

由平移可得：，即；

當(dāng)重合時，此時矩形為，

∴，

當(dāng)在軸上時，設(shè)，

同理可得：，

解得：，即，

由平移可得：，即；

綜上：或或．

【知識點】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠OAB=∠CBO，然后根據(jù)相似三角形的判定定理進行證明；

（2）利用因式分解法可得方程的解，結(jié)合OA<OB可得OA、OB的值，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出OC的值，據(jù)此可得點C的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)M在x軸上時，設(shè)M（x，0），由矩形的性質(zhì)可得∠MAB=90°，在Rt△ABM中，由勾股定理可得x的值，據(jù)此可得點M的坐標(biāo)，結(jié)合平移的性質(zhì)可得點N的坐標(biāo)；當(dāng)M、O重合時，此時矩形為AMBN，結(jié)合圖形可得點N的坐標(biāo)；當(dāng)M在y軸上時，設(shè)M（0，y），同理進行解答.

21．（2023·宜春模擬）如圖，點為的邊延長線上一點，與交于點，與交于點.

（1）求證：；

（2）若，求的長度.

【答案】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形

∴

∴

∴；

（2）解：∵

∴

∵四邊形是平行四邊形

∴，

∴

∴（兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似）

∴（相似三角形對應(yīng)邊成比例）

∴

∴.

【知識點】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)求出AD//BC，AB//CD，再利用相似三角形的判定方法證明即可；

（2）根據(jù)題意先求出，再求出，，最后利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可。

二一教育在線組卷平臺（）自動生成1/1登錄二一教育在線組卷平臺助您教考全無憂

北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊同步練習(xí)——第四章《圖形的相似》5.相似三角形判定定理的證明

一、選擇題

1．（2023·永善模擬）如圖，中，交于點，，，，，則的長等于（）

A．B．C．D．

2．如圖，是邊邊上的兩點，且，若，則與的周長之比為（）

A．B．C．D．

3．（2023·合肥模擬）如圖，等腰三角形中，，，平分，則（）

A．B．C．D．

4．（2023·合肥模擬）如圖，正方形的邊長為，延長至點，，連接交于點，連接，并取的中點，連接并延長交于點．則（）

A．B．C．D．

5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點，將沿著軸正方向平移，使點平移至原點，得到交于點，則的長為（）

A．B．C．D．1

6．（2023八下·南寧期中）如圖，將矩形沿折疊，使點落在邊上點處，若，，則邊的長為（）

A．B．C．D．

7．（2023·增城模擬）如圖，點，都是邊上的點，，交于點，若，則：的值是()

A．1：5B．1：4C．1：3D．1：2

8．（2023·南海模擬）如圖，在中，點，分別是，的中點，若，則（）

A．3B．6C．9D．12

9．（2023·綿陽模擬）如圖，在中，將繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，點E恰好落在邊BC上，EF與CD交于點M，AB＝6，AD＝8，BE＝2，則CM的長為（）

A．2B．3C．D．

二、填空題

10．（2023·營口）如圖，在中，，，將繞著點C按順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD交于在E，則．

11．（2023·東營）如圖，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)過y軸上的點反射后經(jīng)過點，則的值是．

12．（2023八下·肇源月考）如圖，在平行四邊形中，E為的中點，交于F，若，則．

13．（2023·河南模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為5，E是邊AD上的一動點，將正方形沿CE翻折，點的對應(yīng)點為，過點作折痕CE的平行線，分別交正方形ABCD的邊于點M，N（點M在點上方），若，則DE的長為.

14．（2023·濰坊模擬）如圖，在中，，延長至，使得，點為動點，且，連接，則的最小值為．

15．（2023·紅橋模擬）在四邊形中，，若，，則的長為．

三、解答題

16．下面是小蕓同學(xué)證明定理時使用的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．

定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖，在中，，點是邊的中點．求證：．

方法一：證明：延長至，使，連接，．方法二：證明：過點作于點．

17．（2023·泉州模擬）如圖，在矩形中，點在邊上，，垂足為F，，，，求的長.

18．（2023·立山模擬）如圖，在矩形中，于點E，點P是邊上一點，且．求證：．

19．（2023九上·平桂期末）如圖，在中，平分，.若，，，求的長.

20．（2023八下·肇源月考）如圖，的直角頂點B在x軸正半軸上，斜邊在y軸上．線段、的長是方程的兩個根．（）

（1）求證：

（2）求點C坐標(biāo)

（3）點M在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)是否存在點N，使以點A、B、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有符合題意的點N坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

21．（2023·宜春模擬）如圖，點為的邊延長線上一點，與交于點，與交于點.

（1）求證：；

（2）若，求的長度.

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵∠A=∠E，∠ADC=∠EDB，

∴△BDE△CDA，

∵，，，

∴，BD=6，

∴，

∴，

解得：，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法求出△BDE△CDA，再求出，BD=6，最后計算求解即可。

2．【答案】B

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴△ADE∽△ABC，

∵，

∴與的周長之比為，

故答案為：B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解。

3．【答案】D

【知識點】平行線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義

【解析】【解答】解：如圖所示：過點A作AM//BC，交BD延長線于點M，

，

∴∠M=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠M=∠ABD，

∴AM=AB=8，

∵△AMD△CBD，

∴AD：DC=AM：BC，

∵BC=4，

∴AD：DC=2：1，

∴，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)先求出∠M=∠DBC，再根據(jù)角平分線求出∠ABD=∠DBC，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)計算求解即可。

4．【答案】B

【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：延長DA，HF相交于點M，過F作FN⊥BE于點N，

，

∵F是中點，

∴AF=EF，

∵∠MAF=∠HEF，∠AFM=∠HFE，

∴△AFM≌△EFH，

∴AM=EH，

∵AD//EC，

∴△AGD△BGE，△DMG△EHG，

∴，，

∴，

∴DM=2EH，

∵DM=AM+AD=EH+AD=2EH，AD=2，

∴EH=2，

∵F是中點，

∴，，

∴，

∴由勾股定理可得：，

故答案為：B.

【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等計算求解即可。

5．【答案】A

【知識點】坐標(biāo)與圖形變化﹣平移；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵

∴OA=OB=2，OC=1，BC=3

∴AB=

∵將△ABC沿x軸正方形平移，使點B平移至原點O，得到△DOE

∴AB//OD

∴△ABC∽△FOC

∴，即

∴OF=.

故答案為：A

【分析】由的點的坐標(biāo)可以得到OA=OB=2，OC=1，BC=3，再由勾股定理求出AB=；由平移可以得到AB//OD，從而得到△ABC∽△FOC，由即可求出OF的長.

6．【答案】C

【知識點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD=BC=8，∠B=90°.

∵CE=3，

∴BE=EF=BC-CE=8-3=5.

∵△ABE和△AFE關(guān)于直線AE對稱，

∴∠AFE=∠B=90°，EF=BE=5，

∴CF==4.

∵∠DAF+∠AFD=∠AFD+∠EFC=90°，

∴∠DAF=∠CFE，

∴△ADF∽△FCE，

∴，

∴，

∴DF=6，

∴AB=CD=DC+CF=6+4=10.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC=8，∠B=90°，由軸對稱的性質(zhì)可得∠AFE=∠B=90°，EF=BE=5，利用勾股定理可得CF的值，根據(jù)同角的余角相等可得∠DAF=∠CFE，由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△ADF∽△FCE，利用相似三角形的性質(zhì)可求出DF的值，然后根據(jù)AB=CD=DC+CF進行計算.

7．【答案】C

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵DE∥AC，

∴△DEF∽△CAF.

∵，

∴.

∵DE∥AC，

∴△DEB∽△ACB，

∴.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得△DEF∽△CAF，△DEB∽△ACB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算.

8．【答案】D

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：∵D、E分別是AB、AC的中點，

∴DE是△ABC中位線，

∴DE//BC，

∵DE//BC，

∴△ADE∽△ABC

∴

∴.

故答案為：D.

【分析】先判斷DE是△ABC的中位線，從而得到△ADE∽△ABC，且；再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求出△ABC的面積.

9．【答案】D

【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：過點C作CN∥AE交EF于點N，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，BC=AD=8，

∴∠BCD=180°-∠B.

∵△AEF是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AB=AE=6，∠ABE=∠AEF，

∴∠ABE=∠AEB.

∵BE=2，

∴CE=BC-BE=6，

∴AE=CE.

∵∠AEC=∠ABE+∠BAE，∠AEC=∠AEF+∠CEN，

∴∠BAE=∠CEN.

∵CN∥AE，

∴∠AEF=∠CNE=∠ABE，

∴∠ECN=∠AEB=∠ABE=∠ENC，

∴EN=EC=6，

∴△ABE≌△ECN（AAS），

∴CN=BE=2.

∵∠BCD=∠CNM，∠CMN=∠EMC，

∴△CNM∽△ECM，

∴.

設(shè)MN=x，則MC=3x，ME=9x，

∵EN=ME-MN=6，

∴x=34，

∴MC=3x=94.

故答案為：D.

【分析】過點C作CN∥AE交EF于點N，由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，BC=AD=8，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AE=6，∠ABE=∠AEF，結(jié)合外角、平行線的性質(zhì)可推出∠ECN=∠AEB=∠ABE=∠ENC，則EN=EC=6，利用AAS證明△ABE≌△ECN，得到CN=BE=2，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△CNM∽△ECM，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算.

10．【答案】

【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接AD，過D作DG⊥AC于點G，

∵將AC繞著點C按順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CD，

∴AC=CD，∠ACD=60°，

∴△ACD為等邊三角形，

∴AG=CG=AC.

設(shè)AB=AC=2a，則AC=AD=CD=2a，AG=CG=a，

∴DG==a.

∵∠BAE=∠DGE=90°，∠AEB=∠GED，

∴△ABE∽△GDE，

∴，

∴，

∴AE=GE.

∵AE+GE=AG=a，

∴GE+GE=a，

∴GE=(-3)a，

∴AE=(4-)a.

∵DE2=DG2+EG2，

∴DE=，

∴==.

故答案為：.

【分析】連接AD，過D作DG⊥AC于點G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，∠ACD=60°，推出△ACD為等邊三角形，得到AG=CG=AC，設(shè)AB=AC=2a，則AC=AD=CD=2a，AG=CG=a，DG=a，由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△ABE∽△GDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AE=GE，結(jié)合AE+GE=AG=a可得GE=(-3)a，然后表示出AE，由勾股定理可得DE，據(jù)此求解.

11．【答案】－1

【知識點】點的坐標(biāo)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：過點C作CF⊥x軸于點F，過點A作AG⊥y軸于點G，如圖所示：

∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，

∴△BFC∽△BGA，

∴，

∵，，，

∴CF=-m，F(xiàn)B=1-n，BG=4，AG=2，

∴，

故答案為：-1

【分析】過點C作CF⊥x軸于點F，過點A作AG⊥y軸于點G，進而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進而根據(jù)點的坐標(biāo)得到CF=-m，F(xiàn)B=1-n，BG=4，AG=2，進而代入即可求解。

12．【答案】180

【知識點】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴△AEF∽△CDF.

∵E為AB的中點，

∴AE=AB，

∴AE=CD，

∴相似比為1：2，

∴，

∴，

∴FC=120，

∴AC=AF+FC=60+120=180.

故答案為：180.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB=CD，根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得△AEF∽△CDF，由中點的概念可得AE=AB=CD，則相似比為1：2，據(jù)此可求出FC，然后根據(jù)AC=AF+FC進行計算.

13．【答案】2或

【知識點】正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：①當(dāng)點M在AD上時，連接DD′，

設(shè)AM=x，則CN=2x.

∵正方形ABCD，

∴AD∥BC，即ME∥NC，

∵MN∥EC，

∴四邊形CEMN是平行四邊形，

∴ME=CN=2x，∠EMD′=∠DEC，∠MD′E=∠D′EC.

由折疊的性質(zhì)，可知CE⊥DD′，∠DEC=∠D′EC，DE=D′E.

∴MN⊥DD′，∠EMD′=∠MD′E，

∴ME=D′E=DE=2x.

∵AD=5，

∴AM+ME+DE=x+2x+2x=5，

解得x=1，

∴DE=2.

②當(dāng)點M在AB上時，分別延長NM、DA交于點F，連接DD′，

同理，可得FE=D′E=DE.

設(shè)AM=x，則BM=5-x，CN=EF=DE=2x，

∴AF=4x-5，BN=5-2x.

∵AD∥BC，

∴△FAM∽△NBM，

∴，

∴，

解得x=或（不合題意，舍去）.

經(jīng)檢驗，x=是原分式方程的解，

∴DE=.

綜上所述，當(dāng)2AM=CN時，DE的長為2或.

故答案為：2或.

【分析】①當(dāng)點M在AD上時，連接DD′，設(shè)AM=x，則CN=2x，易得四邊形CEMN是平行四邊形，則ME=CN=2x，∠EMD′=∠DEC，∠MD′E=∠D′EC，由折疊的性質(zhì)，可知CE⊥DD′，∠DEC=∠D′EC，DE=D′E，進而推出ME=D′E=DE=2x，然后根據(jù)AD=AM+ME+DE=5可得x的值，進而可得DE；②當(dāng)點M在AB上時，分別延長NM、DA交于點F，連接DD′，同理可得FE=D′E=DE，設(shè)AM=x，則BM=5-x，CN=EF=DE=2x，由平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得△FAM∽△NBM，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算.

14．【答案】

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：連接AP交BC于點E，

∵AB=AC=10，PB=PC，

∴AP垂直平分BC，

∴BE=BC=3，BC⊥AP，

∴當(dāng)DP⊥AP時，DP最短，

∴∠APD=∠AEB=90°，

∵BD=AB，

∴AD=AB=15，

∵∠EAB=∠PAD，

∴△AEB△APD，

∴，

∴，

∴，

即PD的最小值為，

故答案為：.

【分析】先作圖，再求出AP垂直平分BC，最后利用相似三角形的判定與性質(zhì)計算求解即可。

15．【答案】

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理的應(yīng)用；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】如下圖所示，作AE┴BC于E，交BD于G，作DF┴AE于F，

∵在四邊形中，，若，