概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究什么的？概率論——從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué)。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)——從應(yīng)用角度研究處理隨機(jī)性數(shù)據(jù)，建立有效的統(tǒng)計(jì)方法，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推理。

隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究什么的？概率論——從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象2第一章概率論的基本概念第二章隨機(jī)變量及其分布第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章大數(shù)定律和中心極限定理第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第七章參數(shù)估計(jì)第八章假設(shè)檢驗(yàn)主要內(nèi)容第一章概率論的基本概念主要內(nèi)容3第一章概率論的基本概念§1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算§1.2概率的定義及其性質(zhì)§1.3古典概型與幾何概型§1.4條件概率§1.5獨(dú)立性第一章概率論的基本概念§1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算4§1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算如何研究隨機(jī)現(xiàn)象呢？1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象

自然界的現(xiàn)象按照發(fā)生的可能性（或者必然性）分為兩類：

一類是確定性現(xiàn)象，特點(diǎn)是條件完全決定結(jié)果

一類是隨機(jī)現(xiàn)象，特點(diǎn)是條件不能完全決定結(jié)果

在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，我們預(yù)先無法斷言，這類現(xiàn)象成為隨機(jī)現(xiàn)象?！?.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算如何研究隨機(jī)現(xiàn)象呢？1.1.15

1.1.2隨機(jī)試驗(yàn)E1:拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況；E2:擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E3:記錄110報(bào)警臺(tái)一天接到的報(bào)警次數(shù)；E4:在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命；E5:記錄某物理量的測(cè)量誤差；E6:在區(qū)間上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。例1-1：1.1.2隨機(jī)試驗(yàn)E1:拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T6

上述試驗(yàn)具有如下特點(diǎn)：1.試驗(yàn)的可重復(fù)性——在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；2.一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性——一次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且試驗(yàn)之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)；3.全部試驗(yàn)結(jié)果的可知性——所有可能的結(jié)果是預(yù)先可知的，且每次試驗(yàn)有且僅有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。

在概率論中，將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)成為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)常用E表示。

上述試驗(yàn)具有如下特點(diǎn)：7樣本空間:試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間,記為Ω.樣本點(diǎn):試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果（樣本空間中的元素）稱為試驗(yàn)E的一個(gè)樣本點(diǎn),記為ω.

1.1.3隨機(jī)事件與樣本空間樣本空間:試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為試驗(yàn)E8分別寫出例1-1各試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的樣本空間例1-2：分別寫出例1-1各試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的樣本空間9

例如在試驗(yàn)E2中，令A(yù)表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，A就是一個(gè)隨機(jī)事件。A還可以用樣本點(diǎn)的集合形式表示，即A={1，3，5}.它是樣本空間Ω的一個(gè)子集。事件發(fā)生：例如，在試驗(yàn)E2中，無論擲得1點(diǎn)、3點(diǎn)還是5點(diǎn)，都稱這一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生了?；臼录弘S機(jī)事件僅包含一個(gè)樣本點(diǎn)ω，單點(diǎn)子集{ω}。如，在試驗(yàn)E1中{H}表示“正面朝上”，就是個(gè)基本事件。隨機(jī)事件：樣本空間的任意一個(gè)子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱“事件”，記作A、B、C等。復(fù)合事件：包含兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件。例如在試驗(yàn)E2中，令A(yù)表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，A就是一個(gè)10兩個(gè)特殊的事件必然事件：Ω；不可能事件：φ.

既然事件是一個(gè)集合，因此有關(guān)事件間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則也就按集合間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則來處理。

兩個(gè)特殊的事件必然事件：Ω；不可能事件：φ.11

1.

包含關(guān)系與相等：

“事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生”

記為AB。A＝BAB且BA.1.1.4事件間的關(guān)系與運(yùn)算A

BABΩ1.包含關(guān)系與相等：“事件A發(fā)生必122.和（并）事件：

“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作AB或A+B。顯然：AAB，BAB；若AB，則AB=B。推廣：n個(gè)事件A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生，記作或2.和（并）事件：“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”，133.

積（交）事件

:事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，記作AB或AB。推廣：n個(gè)事件A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生，記作A1A2…An或或顯然：ABA，ABB；若AB，則AB=A。3.積（交）事件:事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，記作A144.

差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件

A發(fā)生而事件B不發(fā)生顯然：A-BA；若AB，則A-B=φ。4.差事件：A－B稱為A與B的差事件,表示事件155.

互不相容事件（也稱互斥的事件）：

即事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生。AB＝。ABAB=Ω推廣：n個(gè)事件A1,A2,…,An任意兩個(gè)都互不相容，則稱n個(gè)事件兩兩互不相容。若n個(gè)事件A1,A2,…,An兩兩互不相容，且則稱n個(gè)事件A1,A2,…,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組。5.互不相容事件（也稱互斥的事件）：即事件A與事件B166.

對(duì)立（逆）事件

AB＝,且AB＝

顯然有：6.對(duì)立（逆）事件AB＝,且AB＝17思考：事件A和事件B互不相容與事件A和事件B互為對(duì)立事件的區(qū)別.

互不相容事件與對(duì)立事件是兩個(gè)不同的概念，對(duì)立事件一定是互不相容事件，互不相容事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立在樣本空間只有兩個(gè)事件時(shí)存在，互不相容還可在樣本空間有多個(gè)事件時(shí)存在．思考：事件A和事件B互不相容與事件A和事件B互互不相容事18交換律：AB＝BA，AB＝BA。結(jié)合律：(AB)C=A(BC)，

(AB)C＝A(BC)。分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)。對(duì)偶(DeMorgan)律：

7.事件的運(yùn)算性質(zhì)交換律：AB＝BA，AB＝BA。結(jié)合律：(AB)C=19例1-3：

某射手向一目標(biāo)射擊3次,Ai表示“第i次射擊命中目標(biāo)”,i=1,2,3.Bj表示“三次射擊恰命中目標(biāo)j次”,j=0,1,2,3.試用

A1,A2,A3的運(yùn)算表示Bj,j=0,1,2,3.解例1-3：某射手向一目標(biāo)射擊3次,Ai表示“第i次射擊命20例1-4：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：例1-4：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分21本節(jié)課主要講授：1.隨機(jī)現(xiàn)象；2.隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間；3.隨機(jī)事件的概念；4.隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算（重點(diǎn)）。小結(jié)本節(jié)課主要講授：小結(jié)22§1.2概率的定義及其性質(zhì)1.2.1概率的統(tǒng)計(jì)定義§1.2概率的定義及其性質(zhì)1.2.1概率的統(tǒng)計(jì)定義23試驗(yàn)者德.摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790.4979K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005試驗(yàn)者德.摩根204810610.5181蒲豐404020424頻率的性質(zhì)：一口袋中有6個(gè)乒乓球，其中4個(gè)白的，2個(gè)紅的．有放回地進(jìn)行重復(fù)抽球，觀察抽出紅色球的次數(shù)。

2001390.6954002010.6536004010.668頻率的性質(zhì)：一口袋中有6個(gè)乒乓球，其中4個(gè)白的，2個(gè)紅的．有25頻率是概率的近似值，概率P(A)也應(yīng)有類似特征：頻率是概率的近似值，概率P(A)也應(yīng)有類似特征：26定義2：在相同的條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某個(gè)確定的常數(shù)p，稱此常數(shù)p為事件A發(fā)生的概率，記作．注1：概率的統(tǒng)計(jì)定義不僅提供了一種定義概率的方法，更重要的是給了一種估算概率的方法．在實(shí)際問題中，事件發(fā)生的概率往往是未知的，由于頻率具有穩(wěn)定性，我們就用大量試驗(yàn)中得到的頻率值作為概率的近似值．注2：但上述定義存在著明顯的不足，首先，人們無法把一個(gè)試驗(yàn)無限次的重復(fù)下去，因此要精確獲得頻率的穩(wěn)定值是困難的．其次，定義中對(duì)頻率與概率關(guān)系的描述是定性的、非數(shù)學(xué)化的，從而容易造成誤解．注3：定義2中的敘述易使人想到概率是頻率的極限，概率是否為頻率的極限，以什么方式趨于概率呢？

定義2：在相同的條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，事271.2.2

概率的公理化定義定義3：若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1)非負(fù)性公理：P(A)≥0；(2)規(guī)范性公理：P()＝1，P()＝0

； (3)可列可加性公理：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….

則稱P(A)為事件A的概率。1.2.2概率的公理化定義定義3：若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的28性質(zhì)1概率的性質(zhì)性質(zhì)2（有限可加性）設(shè)A1，A2，…,An是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,n，

有

P(A1

A2

…An

)＝P(A1)＋P(A2)+….＋P(An)

性質(zhì)3

（互補(bǔ)性）

．證明：因?yàn)樗杂泄市再|(zhì)1概率的性質(zhì)性質(zhì)2（有限可加性）設(shè)A1，A2，…,29性質(zhì)4

P(A-B)=P(A)-P(AB).特別地,當(dāng)

時(shí),P(A-B)=P(A)-P(B),且P(

B)P(A).證明：因?yàn)榍?，所以性質(zhì)5（加法公式）對(duì)于任意事件A,B，有

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).對(duì)任意n個(gè)事件A1，A2，…,An，

有

證明：?jiǎn)握{(diào)不減性性質(zhì)4P(A-B)=P(A)-P(AB).特別地,30性質(zhì)6

（可分性）對(duì)任意兩事件A、B,有P(A)＝P(AB)＋P(AB),P(B)＝P(AB)＋P(AB)例1-5

設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,

P(A)=0.5,P(AB)=0.8,P(AB)=0.3,

求P(B).解由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得

P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.性質(zhì)6（可分性）對(duì)任意兩事件A、B,有例1-5設(shè)31解

由性質(zhì)6可知，例1-6

設(shè)A,B兩個(gè)隨機(jī)事件,

P(A)=0.8,

P(AB)=0.5,求P(AB).

P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例1-7

設(shè)A與B互不相容,

P(A)=0.5,

P(B)=0.3,

求P(AB).解P(AB)=P()=1-P(AB)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.5+0.3)=0.2

解由性質(zhì)6可知，例1-6設(shè)A,B兩個(gè)隨機(jī)事件,P(32概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】33本節(jié)課主要講授：1.概率的統(tǒng)計(jì)定義；2.概率的公理化定義；3.概率的性質(zhì)（重點(diǎn)）。小結(jié)本節(jié)課主要講授：小結(jié)34§1.3

古典概型與幾何概型1.3.1古典概型2.等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.理論上,具有下面兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型,稱為古典概型（或等可能概型）：1.有限性：基本事件的總數(shù)是有限的,換句話說樣本空間僅含有有限個(gè)樣本點(diǎn);§1.3古典概型與幾何概型1.3.1古典概型2.等35設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為r,樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為n,則有古典概型的概率計(jì)算公式:設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為r,樣本空間36例1-9

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的概率。事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”用A表示,則A={1,3,5},所含樣本點(diǎn)數(shù)r=3,從而解：顯然樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6},樣本點(diǎn)總數(shù)n=6,例1-9擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的概率。事件“37解1:試出現(xiàn)正面用H表示,出現(xiàn)反面用T表示,則樣本空間

={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},樣本點(diǎn)總數(shù)n=8.A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}，C={HHH,THH,HTH,HHT,TTH,THT,HTT}所以A,B,C中樣本點(diǎn)數(shù)分別為rA=3,rB=1,rC=7,例1-10

拋一枚均勻硬幣3次,設(shè)事件A為“恰有1次出現(xiàn)面”,B為“恰有2次出現(xiàn)正面”,C為“至少一次出現(xiàn)正面”,試求P(A),P(B),P(C).則P(A)=rA／n=3／8,P(B)=rB／n=1／8,P(C)=rC／n=7／8.解1:試出現(xiàn)正面用H表示,出現(xiàn)反面用T表示,則樣本空間A38例1-11

從0,1,2,…,9等10個(gè)數(shù)字中任意選出3個(gè)不同數(shù)字,試求3個(gè)數(shù)字中不含0和5的概率.解設(shè)A表示“3個(gè)數(shù)字中不含0和5”.從0,1,2,…,9中任意選3個(gè)不同的數(shù)字,共有種選法,即基本事件總數(shù)n=.3個(gè)數(shù)中不含0和5,是從1,2,3,4,6,7,8,9共8個(gè)數(shù)中取得,選法有,即A包含的基本事件數(shù),則

如果把題中的“0和5”改成“0或5”,結(jié)果如何？例1-11從0,1,2,…,9等10個(gè)數(shù)字中任意選出3個(gè)39例1-12

從1,2,…,9這9個(gè)數(shù)字中任意取一個(gè)數(shù),取后放回,而后再取一數(shù),試求取出的兩個(gè)數(shù)字不同的概率.

解基本事件總數(shù)n=92,因?yàn)榈谝淮稳?shù)有9中可能取法,這時(shí)可重復(fù)排列問題.設(shè)A表示“取出的兩個(gè)數(shù)字不同”.A包含的基本事件數(shù)9*8因?yàn)榈谝淮稳?shù)有9中可能取法,為保證兩個(gè)數(shù)不同,第二次取數(shù)應(yīng)從另外的8個(gè)數(shù)中選取,有8中可能取法,r=9*8,故P(A)=r∕n=9*8∕92=8∕9例1-12從1,2,…,9這9個(gè)數(shù)字中任意取一個(gè)數(shù),取后40例1-13

袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,從中任取兩個(gè),試求取到的兩個(gè)球顏色相同的概率。解從8個(gè)球中任意取兩個(gè),共有種取法,即基本事件總數(shù).記A表示“取到的兩個(gè)球顏色相同”,A包含兩種可能:全是白球或全是黑球.全是白球有種取法,全是黑球有種取法,由加法原理

知,

A的取法共中,即A包含的基本事件數(shù)r=

故例1-13袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,從中任取兩個(gè),試求取到的41概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】42概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】43說明：不管是放回抽樣還是不放回抽樣，也不管取球的先后順序如何，每次取到白球的概率都是一樣的．我們?nèi)粘Ｉ钪械淖ヴb，就是不放回抽樣，可見不管第幾個(gè)去抽，每人抽中白球的機(jī)會(huì)相等，同抽簽次序無關(guān)．說明：不管是放回抽樣還是不放回抽樣，也不管取球的先后順序如何44

把有限個(gè)樣本點(diǎn)推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)的場(chǎng)合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法——幾何方法.概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)點(diǎn),但它也有明顯的局限性.要求樣本點(diǎn)有限,如果樣本空間中的樣本點(diǎn)有無限個(gè),概率的古典定義就不適用了.1.3.2

幾何概型把有限個(gè)樣本點(diǎn)推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)的場(chǎng)合,人們45當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意一點(diǎn)落在度量(長(zhǎng)度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為說明：當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概率.當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意一點(diǎn)落在度量(長(zhǎng)度46那末兩人會(huì)面的充要條件為例1-15

甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.會(huì)面問題解那末兩人會(huì)面的充要條件為例1-15甲、乙兩人相約在47故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有故所求的概率為若以x,y表示平面則有48概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】49本節(jié)課的重點(diǎn)：小結(jié)

（1）古典概型事件概率的計(jì)算；（2）幾何概型事件概率的計(jì)算.本節(jié)課的重點(diǎn)：小結(jié)501.4.1條件概率與乘法公式例1-17

一家庭有兩個(gè)孩子，考慮：(1)求兩個(gè)都是男孩的概率；(2)已知其中一個(gè)是男孩，求另一個(gè)也是男孩的概率；(3)已知老大是男孩，求老二也是男孩的概率．§1.4

條件概率

定義1：已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率,記作P(B|A).解：用g表示女孩，b表示男孩，則樣本空間為{(b,b)，(b,g)，(g,b)，(g,g)}，其中括號(hào)中第一個(gè)位置表示老大，第二個(gè)位置表示老二。1.4.1條件概率與乘法公式例1-17一家庭有兩個(gè)孩51（2）事件B1=“其中一個(gè)是男孩”，B2=“另一個(gè)也是男孩”，顯然此時(shí)的樣本空間為B1={(b,b),(b,g),(g,b)}。則事件B1發(fā)生的條件下，B2發(fā)生的條件概率為P(B2|B1)=1/3.（1）事件A=“兩個(gè)都是男孩”，顯然P(A)=1/4.（3）事件C1=“老大是男孩”，C2=“老二也是男孩”，顯然此時(shí)的樣本空間為C1={(b,b),(b,g)}。則事件C1發(fā)生的條件下，C2發(fā)生的條件概率為P(C2|C1)=1/2.（2）事件B1=“其中一個(gè)是男孩”，B2=“另一個(gè)也是男孩”52定義2

設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(B)>0,稱

為在事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率.顯然，P(A)>0時(shí)，計(jì)算條件概率有兩個(gè)基本的方法：用定義計(jì)算，即在原樣本空間中計(jì)算P(AB)與P(B)之比；在古典概型中利用古典概型的計(jì)算方法直接計(jì)算，即在新樣本空間B中直接計(jì)算A發(fā)生的概率.定義2設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(B)>0,稱53例1-18

在全部產(chǎn)品中有4%是廢品,有72%為一等品.現(xiàn)從中任取一件為合格品,求它是一等品的概率.解設(shè)A表示“任取一件為合格品”,B表示“任取一件為一等品”,顯然BA,P(A)=96%,P(AB)=P(B)=72%,則所求概率為例1-18在全部產(chǎn)品中有4%是廢品,有72%為一等品.現(xiàn)54例1-19

盒中有黃白兩色的乒乓球,黃色球7個(gè),其中3個(gè)是新球;白色球5個(gè),其中4個(gè)是新球.現(xiàn)從中任取一球是新球,求它是白球的概率.解1

設(shè)A表示“任取一球?yàn)樾虑颉?B表示“任取一球?yàn)榘浊颉?由古典概型的等可能性可知,所求概率為解2

設(shè)A表示“任取一球?yàn)樾虑颉?B表示“任取一球?yàn)榘浊颉?由條件概率公式可得例1-19盒中有黃白兩色的乒乓球,黃色球7個(gè),其中3個(gè)55解

設(shè)A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率為P(B|A).由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球時(shí)盒中有5個(gè)黑球2個(gè)白球,由古典概型的概率計(jì)算方法得例1-20

盒中有5個(gè)黑球3個(gè)白球,連續(xù)不放回的從中取兩次球,每次取一個(gè),若已知第一次取出的是白球,求第二次取出的是黑球的概率.解設(shè)A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取56性質(zhì)2若A與B互不相容，則性質(zhì)3條件概率的性質(zhì)性質(zhì)1若事件，兩兩互不相容，且P(B)>0，則性質(zhì)2若A與B互不相容，則性質(zhì)3條件概率的性質(zhì)57概率的乘法公式當(dāng)

P(A)>0

時(shí)，有

P(AB)=P(A)P(B|A).當(dāng)

P(B)>0

時(shí)，有

P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式還可以推廣到n個(gè)事件的情況：設(shè)

P(AB)>0

時(shí)，則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).設(shè)

P(A1A2…An-1)>0,

則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).概率的乘法公式58例1-21

在10個(gè)產(chǎn)品中,有2件次品,

不放回的抽取2次產(chǎn)品,

每次取一個(gè),

求取到的兩件產(chǎn)品都是次品的概率.解設(shè)A表示“第一次取產(chǎn)品取到次品”,B表示“第二次取產(chǎn)品取到次品”,則故例1-21在10個(gè)產(chǎn)品中,有2件次品,不放回的抽取2次產(chǎn)59例1-22

盒中有5個(gè)白球2個(gè)黑球,連續(xù)不放回的在其中取3次球,求第三次才取到黑球的概率.解設(shè)Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率為例1-23

設(shè)

P(A)=0.8,

P(B)=0.4,

P(B|A)=0.25,

求

P(A|B).解例1-22盒中有5個(gè)白球2個(gè)黑球,連續(xù)不放回的在其中取601.4.2全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式全概率公式

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的樣本空間為Ω,設(shè)A1,A2,…,An是樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組（或劃分），且P(Ai)>0,

i=1,2,…,n，B是任意一個(gè)事件,則注：全概率公式求的是無條件概率1.4.2全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式全概率公式61例1-24

盒中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,

連續(xù)不放回地從中取兩次球,

每次取一個(gè),

求第二次取球取到白球的概率.解

設(shè)A表示“第一次取球取到白球”,B

表示“第二次取球取到白球”,則由全概率公式得例1-24盒中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,連續(xù)不放回地從中取62例1-25

在某工廠中有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品,它們的產(chǎn)量各占30%,35%,35%,并且在各自的產(chǎn)品中廢品率分別為5%,4%,3%.求從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件是廢品的概率.解

設(shè)A1表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為甲所生產(chǎn)”,A2表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為乙所生產(chǎn)”,A3表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為丙所生產(chǎn)”,B表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件為次品”,則P(A1)=30%，P(A2)=35%,P(A3)=35%,P(B|A1)=5%,P(B|A2)=4%,P(B|A3)=3%.由全概率公式得例1-25在某工廠中有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同一型號(hào)的63例1-26設(shè)在n(n>1)張彩票中有1張獎(jiǎng)券,

甲、乙兩人依次摸一張彩票,

分別求甲、乙兩人摸到獎(jiǎng)券的概率.解

設(shè)A表示“甲摸到獎(jiǎng)券”,B表示“乙摸到獎(jiǎng)券”.現(xiàn)在目的是求P(A),P(B),

顯然P(A)=1/n.因?yàn)锳是否發(fā)生直接關(guān)系到B的概率,即于是由全概率公式得

這個(gè)例題說明,購買彩票時(shí),不論先買后買,中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是均等的,這就是所謂的“抽簽公平性”.例1-26設(shè)在n(n>1)張彩票中有1張獎(jiǎng)券,甲、乙兩64概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】65貝葉斯(Bayes)公式

設(shè)A1,A2,…,An是樣本空間的一個(gè)完備事件組（或劃分）,

B是任一事件,且P(B)>0,則例1-27

在例1-24的條件下,若第二次取到白球,求第一次取到黑球的概率.注：Bayes公式求的是條件概率.【盒中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,

連續(xù)不放回地從中取兩次球,

每次取一個(gè),

求第二次取球取到白球的概率.】貝葉斯(Bayes)公式例1-27在例1-24的條件下,66解使用例1-24解中記號(hào),設(shè)A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,則所求概率為,由貝葉斯公式可求注意到解使用例1-24解中記號(hào),設(shè)A表示“第一次取球取到白球”,67例1-28

在例1-25的假設(shè)下,若任取一件是廢品,分別求它是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率.解由貝葉斯公式，【在某工廠中有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品,它們的產(chǎn)量各占30%,35%,35%,并且在各自的產(chǎn)品中廢品率分別為5%,4%,3%.求從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件是廢品的概率.】例1-28在例1-25的假設(shè)下,若任取一件是廢品,分別求68例1-29

針對(duì)某種疾病進(jìn)行一種化驗(yàn),患該病的人中有90%呈陽性反應(yīng),而未患該病的人中5%呈陽性反應(yīng).設(shè)人群中有1%的人患這種病.若某人做這種化驗(yàn)呈陽性反應(yīng),則他換這種疾病的概率是多少?解

設(shè)A表示“某人患這種病”，B表示“化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)”，則由全概率公式得再由貝葉斯公式得本題的結(jié)果表明，化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)的人中，只有15%左右真正患有該病.例1-29針對(duì)某種疾病進(jìn)行一種化驗(yàn),患該病的人中有90%69概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】702、全概率公式及其應(yīng)用(求無條件概率)小結(jié)3、貝葉斯公式及其應(yīng)用(求條件概率)1、條件概率及乘法公式；2、全概率公式及其應(yīng)用(求無條件概率)小結(jié)3、貝葉斯公71定義1

若P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱A,B獨(dú)立.性質(zhì)2

若A與B相互獨(dú)立,則A與B,A與B,A與B都相互獨(dú)立.1.5.1兩事件獨(dú)立性質(zhì)1

設(shè)P(A)>0,則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(B)=P(B|A).設(shè)P(B)>0,則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(A)=P(A|B).§1.5

獨(dú)立性回憶：定義1若P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨(dú)72以下四件事等價(jià)：(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。由性質(zhì)2知，事件A與B相互獨(dú)立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).以下四件事等價(jià)：由性質(zhì)2知，事件A與B相互獨(dú)立,是指73獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系獨(dú)立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系11由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥.獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互74由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.又如：兩事件相互獨(dú)立.兩事件互斥由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.又如：兩事件相互獨(dú)立.兩事件互斥75例1-29兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊,設(shè)甲射中目標(biāo)的概率為0.9,乙射中目標(biāo)的概率為0.8,求目標(biāo)被擊中的概率.解設(shè)A表示“甲射中目標(biāo)”,B表示“乙射中目標(biāo)”,C表示“目標(biāo)被擊中”,則C=A∪B,A與B相互獨(dú)立,P(A)=0.9,P(B)=0.8，故P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.或利用對(duì)偶律亦可.注：A，B相互獨(dú)立時(shí),概率加法公式可以簡(jiǎn)化,即當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí)P(A∪B)=1-P(A)P(B)例1-29兩射手彼此獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊,設(shè)甲射中目標(biāo)的76例1-30

袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,

從中有放回地連續(xù)取兩次,

每次取一個(gè)球,

求兩次取出的都是白球的概率.解

設(shè)A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A與B是相互獨(dú)立的,所求概率為例1-31

設(shè)A與B相互獨(dú)立,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等,且P(A)=1/3，求P(B).即解得解由題意，P(AB)=P(AB)，因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，則A與B，A與B都相互獨(dú)立，故P(A)P(B)=P(A)P(B)，例1-30袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球,從中有放回地連續(xù)取兩77定義2

若三個(gè)事件A、B、C滿足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),則稱事件A、B、C相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱A、B、C獨(dú)立.1.5.2多個(gè)事件的獨(dú)立定義2若三個(gè)事件A、B、C滿足：若在此基礎(chǔ)上還滿足：178

一般地,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,如果對(duì)任意k(1kn),任意的1i1i2…

ik

n,具有等式

P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)則稱n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立。思考：1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨(dú)立，則2.三個(gè)事件相互獨(dú)立和兩兩獨(dú)立的關(guān)系.AB與CD獨(dú)立嗎？一般地,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,如79例1-32

3人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,他們能單獨(dú)譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4.求此密碼被譯出的概率.解法1

設(shè)A,B,C分別表示3人能單獨(dú)譯出密碼，則所求概率為P(A∪B∪C)，且A,B,C獨(dú)立，P(A)=1/5

，P(B)=1/3

，P(C)=1/4.于是例1-323人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,他們能單獨(dú)譯出的概率分80解法2用解法1的記號(hào)，

比較起來,解法1要簡(jiǎn)單一些,對(duì)于n個(gè)相互獨(dú)立事件A1,A2,…,An,其和事件A1∪A2∪…∪An的概率可以通過下式計(jì)算：解法2用解法1的記號(hào)，比較起來,解法81例1-33

3門高射炮同時(shí)對(duì)一架敵機(jī)各發(fā)一炮,它們的命中率分別為0.1,0.2,0.3,求敵機(jī)恰中一彈的概率。解設(shè)Ai表示“第i門炮擊中敵機(jī)”,i=1,2,3,B表示“敵機(jī)恰中一彈”,則例1-333門高射炮同時(shí)對(duì)一架敵機(jī)各發(fā)一炮,它們的命中解82例1-34

用步槍射擊飛機(jī)，設(shè)每支步槍命中率是0.004，求（1）現(xiàn)用250支步槍同時(shí)射擊一次，飛機(jī)被擊中的概率；（2）若想以0.99的概率擊中飛機(jī)，需多少支步槍同時(shí)射擊一次？例1-34用步槍射擊飛機(jī)，設(shè)每支步槍命中率是0.004，83小結(jié)1、兩個(gè)事件的獨(dú)立性；2、多個(gè)事件的獨(dú)立性.小結(jié)1、兩個(gè)事件的獨(dú)立性；2、多個(gè)事件的獨(dú)立性.84本章小結(jié)1、基本概念：概率條件概率獨(dú)立性2、主要公式：古典概型幾何概型

條件概率公式乘法公式全概率公式貝葉斯公式3、計(jì)算：事件運(yùn)算概率計(jì)算本章小結(jié)1、基本概念：概率條件概率獨(dú)立性2、主要公式85第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)§2.2離散型隨機(jī)變量§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度函數(shù)§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)86定義1

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為Ω，如果對(duì)每一個(gè)結(jié)果（樣本點(diǎn)）ω∈Ω，有唯一確定的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在Ω上的實(shí)值函數(shù)X=X(ω)稱為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用X，Y，Z，...或X1，X2，X3，,...§2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)2.1.1

隨機(jī)變量定義1設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為Ω，如果對(duì)每一個(gè)結(jié)果87

關(guān)于隨機(jī)變量的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)椋瑢?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．也可以說：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量。關(guān)于隨機(jī)變量的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)椋?8隨機(jī)變量的特點(diǎn):

1、X的全部可能取值是互斥且完備的2、

X的部分可能取值描述隨機(jī)事件隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量隨機(jī)變量的特點(diǎn):1、X的全部可能取值是互斥且完備的2、89

定義2

設(shè)X是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件{Xx}的概率P{Xx}稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記為F(x)，即

F(x)＝P{Xx}.

易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),P{a<Xb}＝P{Xb}－P{Xa}＝F(b)－F(a).2.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2設(shè)X是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件{90

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F(x2);2、規(guī)范性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且

3、右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是判別一個(gè)函數(shù)是否是分布函數(shù)的充分必要條件。分布函數(shù)的性質(zhì)1、單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)F91例2-1判斷函數(shù)是否為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)？解由于F(x)單調(diào)不減且右連續(xù)，且有從而，F(xiàn)(x)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。例2-1判斷函數(shù)是否為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)？解由于F(92定義2

若X為離散型隨機(jī)變量，可能取值為x1,x2,…,xn,…，稱§2.2

離散型隨機(jī)變量或?yàn)閄的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列，記為2.2.1離散型隨機(jī)變量的分布列與分布函數(shù)定義1

若隨機(jī)變量X只能取有限多個(gè)或可列無限多個(gè)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。定義2若X為離散型隨機(jī)變量，可能取值為x1,x2,93反之，若一個(gè)數(shù)列{pi}具有以上兩條性質(zhì)，則它必可作為某離散型隨機(jī)變量的分布列（律）。（1）非負(fù)性：（2）規(guī)范性：分布列{pk}的性質(zhì)：反之，若一個(gè)數(shù)列{pi}具有以上兩條性質(zhì)，則它必可作為某離散94X012P0.2C0.3求常數(shù)C.解：由規(guī)范性知，0.2+C+0.3=1，從而C=0.5由離散隨機(jī)變量的分布列很容易寫出其分布函數(shù)分布函數(shù)例2-2設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X012求常數(shù)C.解：95例2-3某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈的概率是0.9，求他兩次投籃投中次數(shù)X的概率分布列與分布函數(shù)。解：X的可能取值為0,1,2.分布列為例2-3某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈的概率是0.9，求他兩次投96分布函數(shù)為2.2.2

常見的離散分布1、單點(diǎn)分布（退化分布）如果隨機(jī)變量

X只取一個(gè)值a，即分布列為則稱隨機(jī)變量

X服從單點(diǎn)分布分布函數(shù)為2.2.2常見的離散分布1、單點(diǎn)分布（退化分布）97若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值0，1，且P{X=1}=p，P{X=0}=1-p，則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，或0-1分布。2、兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值0，1，且2、兩點(diǎn)分布98概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】99其中

0<p<1,

q=1-p,

則稱

X

服從參數(shù)為n，p

的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為X~b(n,p).3、二項(xiàng)分布注：設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行

n

次，每次試驗(yàn)中，事件

A

發(fā)生的概率均為

p

，則稱這

n

次試驗(yàn)為

n

重伯努利試驗(yàn).

若以

X

表示

n重貝努里試驗(yàn)事件

A

發(fā)生的次數(shù)，則稱

X

服從參數(shù)為

n,p的二項(xiàng)分布！若隨機(jī)變量

X

的可能取值為0，1，2，...,n,

而

X

的分布列為其中0<p<1,q=1-p,則稱X服從參數(shù)為n，100例2-5

某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。解

設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則X～b(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=0.996981例2-5某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次1014、超幾何分布4、超幾何分布102概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】103概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】104其中，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，簡(jiǎn)記為5、泊松分布注：把每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件．泊松分布可以作為描述稀有事件發(fā)生次數(shù)概率分布的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，也可以作為研究某段時(shí)間內(nèi)陸續(xù)到來的質(zhì)點(diǎn)流概率分布的數(shù)學(xué)模型．設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,...,n,...,而X的分布列為其中，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，簡(jiǎn)105例2-7美國西部每周發(fā)生地震的次數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布，求兩周內(nèi)至少發(fā)生3次地震的概率．解：泊松定理

設(shè)隨機(jī)變量Xn~b(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

例2-7美國西部每周發(fā)生地震的次數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布，106例2-8

已知某種疾病的發(fā)病率為0．001，某單位共有5000人，問該單位患有這種疾病的人數(shù)超過10的概率有多大？例2-8已知某種疾病的發(fā)病率為0．001，某單位共有50107本節(jié)課主要講授：1、隨機(jī)變量與分布函數(shù)的概念；2、離散型隨機(jī)變量及其分布列；3、四個(gè)重要分布:單點(diǎn)分布、0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布小結(jié)本節(jié)課主要講授：小結(jié)1082.3.1

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度函數(shù)2.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)§2.3連續(xù)型109注：連續(xù)型隨機(jī)變量X在某一指定點(diǎn)取值的概率為0.即因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X在某一指定點(diǎn)取值的概率不一定為0.注：連續(xù)型隨機(jī)變量X在某一指定點(diǎn)取值的概率為0.即因110密度函數(shù)的性質(zhì)：這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)是否為概率密度的充要條件0xf(x)面積為1密度函數(shù)的性質(zhì)：這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)是否為概率密度的充111利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率0xf(x)ab利用概率密度可確0xf(x)ab112概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】113概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】114概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】115概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】116

三種重要的概率分布：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布.2.3.2常見的連續(xù)型分布1、均勻分布三種重要的概率分布：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分11711118設(shè)即則例2-11

公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)汽車站是等可能的，求乘客候車時(shí)間在1至3分鐘內(nèi)的概率。設(shè)即則例2-11公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客在119概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】120例2-12

某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位例2-12某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車121所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.

從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站。為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.1222、指數(shù)分布2、指數(shù)分布123指數(shù)分布的概率密度和分布函數(shù)圖像如下1指數(shù)分布的概率密度和分布函數(shù)圖像如下1124

服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X通常可解釋為某種壽命,如果已知壽命長(zhǎng)于S年,則再活t年的概率與年齡S無關(guān),亦稱指數(shù)分布具有“無記憶性”.服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X通?？山忉尀槟撤N壽命,125

關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)論中服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X具有無記憶性。

具體來說：如果X是某一元件的壽命，已知元件已經(jīng)使用了S小時(shí)，它總共能使用至少S＋T小時(shí)的條件概率，與從開始使用時(shí)算起它至少能使用T小時(shí)的概率相等。這就是說，元件對(duì)它已使用過S小時(shí)沒有記憶。

人生中，很多時(shí)候我們總是對(duì)過去的失敗耿耿于懷。這種經(jīng)歷使我們不敢面對(duì)現(xiàn)實(shí)，如果我們能從指數(shù)分布受到啟發(fā)，運(yùn)用“無記憶性”原則，那么我們的今天和明天將會(huì)更加美好。因?yàn)榧词刮覀內(nèi)松械腟小時(shí)已經(jīng)失敗，但我們面前的成功仍然還有S+T，和我們S小時(shí)前的成功幾率一樣。

指數(shù)分布在人生中模式是：忘記過去，努力向前，向著標(biāo)桿勇往直前。關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)論中服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X具有126X的分布函數(shù)為解例2-14

設(shè)某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為

λ=的指數(shù)分布(單位:小時(shí)).(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時(shí)以上的概率.(2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時(shí)以上,求還能使用1000小時(shí)以上的概率.

X的分布函數(shù)為解例2-14設(shè)某類日光燈管的使用壽127概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】128指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.1293、正態(tài)分布定義43、正態(tài)分布定義4130

習(xí)慣上,稱服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量為正態(tài)隨機(jī)變量,又稱為正態(tài)分布的概率密度曲線為正態(tài)分布曲線.正態(tài)分布曲線的性質(zhì)如下：習(xí)慣上,稱服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量為正態(tài)隨機(jī)變131概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】132概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】133標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布134概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】135概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】136標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)：137概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】138結(jié)論結(jié)論139概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】140由此看出：盡管正態(tài)分布取值范圍是,但它的值落在的概率為0.9973幾乎是肯定的,這個(gè)性質(zhì)被稱為正態(tài)分布的“規(guī)則”.由此看出：盡管正態(tài)分布取值范圍是1414、

伽馬分布4、伽馬分布142概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】143本節(jié)課主要講授：1、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與密度函數(shù)；2、三個(gè)重要分布:均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布、伽馬分布小結(jié)本節(jié)課主要講授：小結(jié)1442.4.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X

一個(gè)隨機(jī)變量，分布列為

X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…g(x)是一給定的連續(xù)函數(shù)，稱Y＝g(X)為隨機(jī)變量X

的一個(gè)函數(shù)，顯然Y

也是一個(gè)隨機(jī)變量.§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布2.4.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變145一般地XPkY=g(x)的可能取值為注意中可能有相等的情況.Y

P一般地XPkY=g(x)的可能取值為注意中可能有相等的情況.146例2-18

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為XP-10120.20.10.30.4求:(1)Y=X3的分布律.(2)Z=X2的分布律.解

(1)Y的可能取值為-1，0，1，8.由于例2-18設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-10147YP-10180.20.10.30.3從而Y的分布律為(2)Z的可能取值為0，1，4.從而Z的分布律為ZP0140.10.50.4Y-10180.2148例2-19

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解

因?yàn)樗訷只能取值-1,0,1,而取這些值的概率為例2-19設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解因?yàn)樗訷只能取149概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】150故Y的分布律為YP例2-20

故Y的分布律為Y例2-201512.4.2連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布2.4.2連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布152例2-21例2-21153概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】154概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】155例2-23解例2-23解156例2-24此分布稱為對(duì)數(shù)正態(tài)分布.例2-24此分布稱為對(duì)數(shù)正態(tài)分布.157

以上各例中求Y=g(X)的概率密度的方法都是應(yīng)用定理,故稱為“公式法”.需要注意的是,它僅適用于“單調(diào)型”隨機(jī)變量函數(shù),即要求y=g(x)為單調(diào)函數(shù).如果y=g(x)不是單調(diào)函數(shù),求Y=g(X)的概率密度較復(fù)雜.以上各例中求Y=g(X)的概率密度的方法都是158解則解則159

例2-25中求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的方法稱為“直接變換法”,它同樣適應(yīng)于非單調(diào)型隨機(jī)變量的情況.當(dāng)然例2-25也可以直接利用定理中的公式求解.例2-25中求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的方法160概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】161概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】162本節(jié)課主要講授：1、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布列；2、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)與分布函數(shù)。小結(jié)本節(jié)課主要講授：小結(jié)163第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布§3.1二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)§3.2邊緣分布§3.3條件分布§3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性§3.5

二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布§3.1二維隨機(jī)變量1643.1.1二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)§3.1二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)3.1.1二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)§3.1二維隨165幾何意義：分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以(x,y)為頂點(diǎn)、位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形D內(nèi)的概率,見下圖.yx(x,y)0D幾何意義：分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)166

利用分布函數(shù)及其集合意義不難看出,隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形域{x1<X≤

x2,y1<Y≤y2}內(nèi)(如下圖)的概率為：yxoy2y1x2x1(x1,y2)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y1)利用分布函數(shù)及其集合意義不難看出,隨機(jī)點(diǎn)(X,167回憶:分布函數(shù)F(x)的性質(zhì).回憶:分布函數(shù)F(x)的性質(zhì).168聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)169例3-1解例3-1解170定義3

若二維隨機(jī)變量(X,Y)只能取有限多對(duì)或可列無窮多對(duì)(Xi,Yj),(i,j=1,2,…)則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值為(Xi,Yj),(i,j=1,2,…),(X,Y)在各個(gè)可能取值的概率為：P{X=xi,Y=yj}=

pij

(i,j=1,2,…)稱P{X=xi,Y=yj}=

pij

(i,j=1,2,…)為(X,Y)的聯(lián)合分布列，簡(jiǎn)稱分布列。3.1.2二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列定義3若二維隨機(jī)變量(X,Y)只能取有限多對(duì)或可列171(X,Y)的分布列可以寫成如下列表形式：XYy1y2

…yj

…x1x2…xi…p11

p12…p1j

…p21

p22…p2j

…pi1

pi2…pij

…………………(X,Y)的分布列可以寫成如下列表形式：XYy1172(X,Y)的分布列具有下列性質(zhì):回憶：分布列{pk}的性質(zhì).(1)

0

≤pk

≤1；(2)

p1+p2+

…+pk+…

=1.(1)

0

≤pij

≤1(i,j=1,2,…);反之,若數(shù)集{pij}(i,j=1,2,…

)

具有以上兩條性質(zhì),則它必可作為某二維離散型隨機(jī)變量的分布律.(X,Y)的分布列具有下列性質(zhì):回憶：分布列{pk}的性質(zhì)173例3-2設(shè)(X,Y)的分布律為XY123

12求常數(shù)a的值.例3-2設(shè)(X,Y)的分布律為XY1174解由分布列性質(zhì)知，解由分布列性質(zhì)知，175例3-3

設(shè)(X,Y)的分布律為XY123

00.10.10.3

10.2500.25求:(1)P{X=0};(2)P{Y≤2};(3)P{X<1,Y≤2};(4)P{X+Y=2}.例3-3設(shè)(X,Y)的分布律為XY1176解

(1){X=0}={X=0,Y=1}{X=0,Y=2}{X=0,Y=3},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2},{X=0,Y=3}兩兩互不相容,P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3}=0.1+0.1+0.3=0.5.所以，解(1){X=0}={X=0,Y=1}{X=0,Y=2}177概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】178概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】179概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】180概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】181

一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的可能取值為某個(gè)或某些區(qū)間，甚至是整個(gè)數(shù)軸.二維隨機(jī)變量(X,Y)的可能取值范圍則為XOY平面上的某個(gè)或某些區(qū)域，甚至為整個(gè)平面，一維隨機(jī)變量X的概率特征為存在一個(gè)概率密度函數(shù)f(x)，滿足：3.1.3

二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的可能取值為某個(gè)或某些182定義4的分布函數(shù)則稱是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量,函數(shù)或X與Y的聯(lián)合密度使對(duì)于對(duì)于二維隨機(jī)變量（X,Y)的概率密度

,隨機(jī)變量任意有如果存在非負(fù)的函數(shù)函數(shù).定義4的分布函數(shù)則稱是連續(xù)型的二183概率密度函數(shù)f(x,y)的性質(zhì)：判斷一個(gè)二元函數(shù)是否可做為概率密度函數(shù)的依據(jù).（3）設(shè)D為XOY面上的區(qū)域，則隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)在區(qū)域D內(nèi)取值的概率為：概率密度函數(shù)f(x,y)的性質(zhì)：判斷一個(gè)二元函數(shù)是否可做184概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】185概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】186概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】1873.1.4常見的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度3.1.4常見的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度188概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】189yx0.5y=xx+y=1yx0.5y=xx+y=1190概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】191概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】192概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT課件【】193本節(jié)課主要講授：1、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)；2、二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列；3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度；4、二維均勻分布和正態(tài)分布。小結(jié)本節(jié)課主要講授：小結(jié)1943.2.1邊緣分布函數(shù)

定義1

(X,Y)的兩個(gè)分量X與Y各自的分布函數(shù)分別為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù),記為FX(x)與FY(y).邊緣分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)來確定.如下§3.2