第二章-一維隨機(jī)變量及其分布課件

第二章一維隨機(jī)變量及其分布主要內(nèi)容：隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)一維離散型隨機(jī)變量一維連續(xù)型隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章一維隨機(jī)變量及其分布主要內(nèi)容：1§2.1隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)

為什么要研究隨機(jī)變量？將樣本空間Ω中的樣本點(diǎn)與數(shù)量相聯(lián)系，從而便于處理。將隨機(jī)事件與變量相聯(lián)系(可用變量表示事件)，這樣可以用函數(shù)方法研究概率問題。正如隨機(jī)事件是“其發(fā)生與否隨機(jī)會(huì)而定”的事件；

隨機(jī)變量就是“其值隨機(jī)會(huì)而定”的變量。其機(jī)會(huì)表現(xiàn)為試驗(yàn)結(jié)果，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有許多可能的結(jié)果，到底出現(xiàn)哪一個(gè)要看機(jī)會(huì)，即有一定的概率?！?.1隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)2

如擲骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取1，…，6這6個(gè)數(shù)值中的1個(gè)，到底是哪一個(gè)，要等擲了骰子后才知道。因此，隨機(jī)變量是試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)。如擲骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取1，…3第二章-一維隨機(jī)變量及其分布ppt課件4定義2.1.1

設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，稱映射X:Ω→R為隨機(jī)變量，如果對(duì)任意x∈R

，有

{ω|X(ω)≤x}∈F(2.1.1)

{ω|X(ω)≤x}是滿足條件X(ω)≤x的樣本點(diǎn)ω的集合，是事件域F中的一個(gè)隨機(jī)事件。通常用X,Y,…,ξ,η,…來表示隨機(jī)變量，用x,y,…表示其取值。

定義2.1.1設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，稱映射X:Ω→R5說明：

設(shè)X=X(ω)，ω，X(?)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的單值實(shí)函數(shù)。對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，樣本點(diǎn)（基本事件）ω的集合{ω|X(ω)≤x}都是F中的一個(gè)隨機(jī)事件，則稱X=X(ω)為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量X=X(ω)是樣本點(diǎn)（基本事件）ω的函數(shù)，ω是自變量，在不必強(qiáng)調(diào)ω時(shí)，簡(jiǎn)記X(ω)為X，而ω的集合{ω|X(ω)≤x}

所表示的事件簡(jiǎn)記為{X≤x}。說明：6

定義隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件可以用隨機(jī)變量的取值范圍來描述。例如對(duì)任意實(shí)數(shù)x,x1,x2可以證明，形如{ω:X(ω)=x},{ω:X(ω)≤x},{ω:X(ω)>x},{ω:X(ω)≥x},{ω:x1<X(ω)<x2},{w:x1≤X(ω)≤x2},等等，都是隨機(jī)事件，在不必強(qiáng)調(diào)ω時(shí)，簡(jiǎn)記{ω:x1≤X(ω)≤x2}為{x1≤X≤x2}。定義隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件可以用隨機(jī)變量的取值范圍來描述。例7用隨機(jī)變量表示事件:例：在某廠大批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽出100個(gè)，其中所含廢品數(shù)X

是隨機(jī)變量?？赡芙Y(jié)果wi=“100個(gè)產(chǎn)品中有i個(gè)廢品”

i=0,1,..,100樣本空間Ω={w0,w1,w2,…,w100}

X=X

(w)w

X=X(w0)=0,X=X(w1)=1,X=X(w2)=2,…,X=X(w100)=100

事件“廢品數(shù)不超過50”={w:X

(w)≤50}={w0,w1,…,w50}={

X

≤50}

事件{30≤X<50}={w30,w31,…,w49}用隨機(jī)變量表示事件:82.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2.1.2

設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，X為隨機(jī)變量，X的分布函數(shù)FX定義為

:2.1.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2.1.29定理2.1.1

設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，X為隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為FX，則

上述三條性質(zhì)為隨機(jī)變量分布函數(shù)的特征性質(zhì)，即若有定義于R上的實(shí)函數(shù)F滿足性質(zhì)(i)~(iii)，則可以構(gòu)造一個(gè)概率空間(Ω,F,P)和其上的隨機(jī)變量X，使FX(x)=F

(x)，定理2.1.1設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，X為隨機(jī)變量10第二章-一維隨機(jī)變量及其分布ppt課件11§2.2一維離散型隨機(jī)變量

稱只能取有限多個(gè)不同的值或可列多個(gè)不同的值的這類隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1,a2,…,an,…，且已知

P(X=ai)=pi,i=1,2,…記

稱上式右端為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱X的分布列，稱(p1,p2,…

,pn,…)為X的概率分布。概率分布滿足以下兩個(gè)性質(zhì)：(1)pi≥0，i=1,2,3,…

(2)

§2.2一維離散型隨機(jī)變量12離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為其圖形為右連續(xù)階梯函數(shù)，在各點(diǎn)ai處提高pi。離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為13例設(shè)射手進(jìn)行計(jì)分打靶練習(xí)，有如下規(guī)定：射入?yún)^(qū)域e1得2分，射入?yún)^(qū)域e2得1分，否則就得0分）。一射手進(jìn)行一次射擊的得分是隨機(jī)變量，其可能取得的值為0，1，2。不同的射手在射擊之前，他們進(jìn)行一次射擊的得分值都是不可預(yù)知的。射手甲在一次射擊中得分X的概率分布列為：

射手乙在一次射擊中得分Y的概率分布列為：

e2例設(shè)射手進(jìn)行計(jì)分打靶練習(xí)，有如下規(guī)定：射入?yún)^(qū)域e114計(jì)算Y的分布函數(shù):FY(x)=P(Y≤

x):當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)Y(x)=P(Y≤x)=P()=0當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)Y(x)=P(Y≤x)=P(Y=0)=0.6當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)Y(x)=P(Y≤x)=P(Y=0)+P(Y=1)=0.6+0.3=0.9當(dāng)2≤x時(shí)，F(xiàn)Y(x)=P(Y≤x)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=0.6+0.3+0.1=1計(jì)算Y的分布函數(shù):FY(x)=P(Y≤x):當(dāng)x<0時(shí)，152.2.1二項(xiàng)分布如果一個(gè)隨機(jī)變量X取值為0,1,2,…,n，且

稱X服從二項(xiàng)分布，記為X~B(n,p)

。二項(xiàng)分布列是：正是因?yàn)槭嵌?xiàng)式[px+

(1-p)]n

展開中xk的系數(shù)，故稱(2.2.3)給出的X的分布為二項(xiàng)分布2.2.1二項(xiàng)分布16

兩點(diǎn)分布(0-1分布)：若隨機(jī)變量X只能取兩個(gè)值0和1，其分布列為：

單點(diǎn)分布(退化分布)：若隨機(jī)變量X只取常數(shù)值C，即實(shí)際上這時(shí)X并不是隨機(jī)變量，為了方便和統(tǒng)一起見，將其看作隨機(jī)變量。兩點(diǎn)分布(0-1分布)：若隨機(jī)變量X只能取兩個(gè)值0和1，其17當(dāng)X~B(n,p)時(shí)，?a<b，有下列公式：隨機(jī)變量X在a和b之間取值的概率是隨機(jī)變量X的取值不超過b的概率是隨機(jī)變量X的取值至少是r的概率是當(dāng)X~B(n,p)時(shí)，?a<b，有下列公式：18說明:

可用R軟件中的binom()函數(shù)，計(jì)算n重獨(dú)立試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率。若X~B(n,p)，則可調(diào)用pbinom(x,n,p)計(jì)算P(X≤x)?？烧{(diào)用dbinom(k,n,p)計(jì)算P(X=k)(請(qǐng)注意二者的區(qū)別)。例2.2.1

設(shè)X~B(10,0.9),試求P(X=8),P(X≤8)和P(3≤X≤9)。解

說明:可用R軟件中的binom()函數(shù)，計(jì)算n重獨(dú)立試驗(yàn)19例2.2.2

已知發(fā)射一枚地對(duì)空導(dǎo)彈可擊中來犯敵機(jī)的概率為0.96。問在同樣的條件下需發(fā)射多少枚導(dǎo)彈才能保證至少有一枚導(dǎo)彈擊中來犯敵機(jī)的概率大于0.999?解設(shè)需發(fā)射n枚導(dǎo)彈，擊中敵機(jī)的次數(shù)為X。由題意知各枚導(dǎo)彈是否擊中是相互獨(dú)立的，所以擊中的次數(shù)X~B(n,0.96)，從而有故至少需要發(fā)射3枚導(dǎo)彈。例2.2.2已知發(fā)射一枚地對(duì)空導(dǎo)彈可擊中來犯敵機(jī)的概率為020例

一個(gè)完全不懂阿拉伯語的人去參加一場(chǎng)阿拉伯語考試。假設(shè)考試有5道選擇題，每題給出n個(gè)結(jié)果供選擇，其中只有一個(gè)結(jié)果是對(duì)的。試問他居然能答對(duì)3題以上而及格的概率。解

每做1題是1次p=1/n的伯努利試驗(yàn)，這里A是“答題正確”，則考試是p=1/n的5重伯努利試驗(yàn)，在5題中恰好答對(duì)題數(shù)X～B(5,1/n),此人及格的概率為：

當(dāng)n=3時(shí)，此值=0.29當(dāng)n=4時(shí)，此值=0.10例一個(gè)完全不懂阿拉伯語的人去參加一場(chǎng)阿拉伯語考試。假設(shè)考試21定理2.2.1

設(shè)X～B(n,p)，當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，取m=(n+1)p的整數(shù)部分，則P(X=m)=b(m;n,p)的值最大。若(n+1)p為整數(shù)時(shí)，取m=(n+1)p,則b(m;n,p)=b(m-1;n,p)同為最大值。定理2.2.1設(shè)X～B(n,p)，當(dāng)(n+1)p不為整22證明：

當(dāng)k＜(n+1)p時(shí)，r＞1,則b(k;n,p)＞b(k-1;n,p),概率隨k的增大而增大；當(dāng)(n+1)p是整數(shù)且等于k時(shí)，r=1，則b(k;n,p)=b(k-1;n,p);

當(dāng)k＞(n+1)p時(shí)，r＜1,則b(k;n,p)＜b(k-1;n,p)，概率隨k的增大而減小。

證明：23例2.2.3

漁塘主需估計(jì)自己的收入。他先從塘中撈起100條魚，做上記號(hào)后放回塘里，過一段時(shí)間(使其均勻)再?gòu)奶林袚破?0條魚，發(fā)現(xiàn)其中有記號(hào)的魚為2條。試估計(jì)魚塘中有多少條魚。解

設(shè)魚的總數(shù)為N條，則從塘中任意撈一條魚，它有記號(hào)的概率為100/N。若魚的數(shù)量較多，可近似認(rèn)為，一網(wǎng)撈出80條魚與有放回地?fù)迫?0條魚的試驗(yàn)條件相同。所以，撈出的80條魚中有記號(hào)的數(shù)量為X，且X近似服從二項(xiàng)分布。例2.2.3漁塘主需估計(jì)自己的收入。他先從塘中撈起100條24一般來說，小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不發(fā)生；但若一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生了，則其發(fā)生的可能性較大，甚至最大。由定理2.2.1，當(dāng)X=m=((n+1)p)的整數(shù)部分時(shí)，其概率最大，即X=

((80+1)100/N)的整數(shù)部分時(shí)，事件發(fā)生的可能性最大，所以令

解得N=4050(條)一般來說，小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不發(fā)生；252.2.2泊松（Poisson）分布

若隨機(jī)變量X以全體自然數(shù)(非負(fù)整數(shù))為其一切可能值，即X=0,1,2,…，其分布為

其中參數(shù)＞0,則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X～Pois()。R軟件用函數(shù)dpois(k,)計(jì)算參數(shù)為的泊松分布P(X=k)。泊松分布的概率分布列為2.2.2泊松（Poisson）分布26

實(shí)際上，“稀有事件”(在有限時(shí)間內(nèi)只發(fā)生有限次，在極短時(shí)間內(nèi)只發(fā)生一次)發(fā)生的次數(shù)服從泊松分布。例如:

在任給一段固定的時(shí)間間隔內(nèi)，來到公共設(shè)施(公共汽車站、商店、電話服務(wù)臺(tái)等)要求給予服務(wù)的顧客個(gè)數(shù)；一段時(shí)間內(nèi)放射性物質(zhì)分裂落入某區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)數(shù)；顯微鏡下看到的某種細(xì)菌的生長(zhǎng)個(gè)數(shù)。實(shí)際上，“稀有事件”(在有限時(shí)間內(nèi)只發(fā)生有限次，在極27

n=10,p=0.4,=np=4n=40,p=0.1=np=4隨著n增大，若np不變,則二項(xiàng)分布與泊松分布逐漸接近。

由于二項(xiàng)分布中n很大且p很小時(shí)，概率b(k;n,p)的計(jì)算較繁瑣，希望用容易計(jì)算的分布來近似。注意到泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系n=10,p=0.4,=np=428定理2.2.2(泊松定理)

設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,pn)(pn(0,1)，并與n有關(guān))，且滿足

,則

定理2.2.2(泊松定理)29第二章-一維隨機(jī)變量及其分布ppt課件30

用泊松分布代替二項(xiàng)分布的條件

在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，有下面的近似公式(泊松分布近似兩項(xiàng)分布)其中λ=np。用泊松分布代替二項(xiàng)分布的條件31例2.2.4

假如一位孕婦生三胞胎的概率為10-4，求在100000個(gè)孕婦中，有0，1，2次生三胞胎的概率。解按二項(xiàng)分布的n=100000和p=10-4，并用R軟件計(jì)算有b(0,100000,0.0001)=dbinom(0,100000,0.0001)=4.537723×10-5b(1,100000,0.0001)=dbinom(1,100000,0.0001)=0.0004538177b(2,100000,0.0001)=dbinom(2,100000,0.0001)=0.002269293再由np=10，計(jì)算相應(yīng)的泊松分布

dpois(0,10)=4.539993×10-5dpois(1,10)=0.0004539993dpois(2,10)=0.002269996顯然，這里的泊松逼近程度很高。例2.2.4假如一位孕婦生三胞胎的概率為10-4，求在1032例

由商店的銷售記錄知，某商品的月售出量X服從=10的泊松分布。為能以95%以上的概率保證不脫銷，問在無庫(kù)存的情況下月底應(yīng)進(jìn)貨多少？解

商店備貨過多將明顯地提高成本，而長(zhǎng)期貨源不足則會(huì)影響商譽(yù)。因此需用概率方法確定合適的備貨量，依照問題的要求，若月底進(jìn)貨量為Q，則應(yīng)使

P(X≤Q)≥0.95

例由商店的銷售記錄知，某商品的月售出量X服從=10的泊松33

P(X≤14)＜0.95P(X≤15)＞0.95

應(yīng)取Q=15。故月底進(jìn)貨該商品15件，可有95%以上的把握使該商品在下個(gè)月的經(jīng)營(yíng)中不會(huì)脫銷。P(X≤14)＜0.9534例2.2.5(合作問題)

設(shè)有同類設(shè)備80臺(tái)，各臺(tái)是否正常工作相互獨(dú)立，各臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01，并且一臺(tái)設(shè)備的故障需由一個(gè)人來處理，試求：(1)由1個(gè)人負(fù)責(zé)維修指定的20臺(tái)設(shè)備，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率。(2)由3個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率。解

(1)由一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù),則X～B(20,0.01)。因?yàn)橐粋€(gè)人在同一時(shí)刻只能處理1臺(tái)發(fā)生故障的設(shè)備，所以設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)處理，當(dāng)且僅當(dāng)同一時(shí)刻至少有2臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障，于是所求概率為例2.2.5(合作問題)設(shè)有同類設(shè)備80臺(tái)，各臺(tái)是否正常工35(2)由3個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)80臺(tái)設(shè)備中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為Y，則Y～B(80,0.01)。當(dāng)且僅當(dāng)同一時(shí)刻至少有4臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，故障不能及時(shí)維修。所求概率為

(2)由3個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)80臺(tái)設(shè)備中同36

由于一個(gè)人照管20臺(tái)設(shè)備出現(xiàn)故障來不及維修的概率約為2%；而由三個(gè)人共同照管80臺(tái)設(shè)備出現(xiàn)故障來不及維修的概率約為1%?？梢娙齻€(gè)人共同照管80臺(tái)設(shè)備(每人平均照管約27臺(tái))，比一個(gè)人單獨(dú)照管20臺(tái)更好，既節(jié)約了人力又提高了設(shè)備保障率。由于一個(gè)人照管20臺(tái)設(shè)備出現(xiàn)故障來不及維修的概率37幾何分布問題：某射手的命中率為p，此射手向一目標(biāo)獨(dú)立地連續(xù)進(jìn)行射擊，直到命中目標(biāo)為止。若用X表示首次命中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，則X概率分布列為:幾何分布382.2.3幾何分布

如果隨機(jī)變量X的分布為

P(X=k)=(1-p)k-1p(k=0,1,2,3,…)

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為X～Geo(p)。幾何分布描述這樣的情形：獨(dú)立地連續(xù)做試驗(yàn)，直到事件A首次出現(xiàn)為止。此時(shí)首次出現(xiàn)A時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量X，設(shè)P(A)=p，若第k次試驗(yàn)事件A首次出現(xiàn)，則前k-1次未出現(xiàn)，由試驗(yàn)的獨(dú)立性知，X服從參數(shù)為p的幾何分布。R軟件中幾何分布函數(shù)在X=k和X≤k時(shí)分別為dgeom(k-1,p)和pgeom(k-1,p)

。2.2.3幾何分布如果隨機(jī)變量X的分布為39例2.2.6

設(shè)一地下采礦面有5個(gè)可以升到地面的通道。由于事故發(fā)生，5個(gè)通道中只有一個(gè)可以逃生，且沒有照明，遇險(xiǎn)者只能隨意的在5個(gè)通道選一個(gè)出走。若途中發(fā)現(xiàn)該通道不通，則返回出險(xiǎn)地點(diǎn)后再隨意選一個(gè)通道出走。試求：(1)第三次選擇通道才成功出走的概率。(2)成功出走時(shí)已經(jīng)選擇其它通道的次數(shù)不大于6的概率。例2.2.6設(shè)一地下采礦面有5個(gè)可以升到地面的通道。由于40解由于每次選擇都是在5個(gè)通道中選取，所以各次是否選對(duì)通道相互獨(dú)立，且每次選對(duì)通道的概率為1/5，記X為成功出走時(shí)已選過的通道數(shù)，所以X~Geo(0.2)。(1)第三次選擇通道才成功出走的概率為(2)成功出走時(shí)已經(jīng)選擇其它通道的次數(shù)不大于6的概率為解由于每次選擇都是在5個(gè)通道中選取，所以各次是否選對(duì)通道相41幾何分布的“無記憶”性特征：

如果試驗(yàn)第k次還未成功，從第k+1次起，首次成功出現(xiàn)在哪一次與k無關(guān)，即若X~Geo(p)，則有證明幾何分布的“無記憶”性特征：42同樣，也可證

同樣，也可證43超幾何分布例在一箱N件裝的產(chǎn)品中混進(jìn)了M件次品，今從中抽取n件(n≤N)，從中（即n件中）查出次品的件數(shù)X的概率分布----稱為超幾何分布。超幾何分布44負(fù)二項(xiàng)分布在“成功”概率是p的貝努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)第r次成功時(shí)所作的試驗(yàn)次數(shù)X所服從的分布稱為負(fù)二項(xiàng)分布。由于f(k;r,p)是負(fù)指數(shù)二項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)，故X所服從的分布稱為負(fù)二項(xiàng)分布。負(fù)二項(xiàng)分布45例

兩個(gè)同類型的系統(tǒng)，開始時(shí)各有N個(gè)備件，一旦出現(xiàn)故障，就要更換一個(gè)備件。假定兩個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行條件相同，不同時(shí)發(fā)生故障。試求當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)需用備件而發(fā)現(xiàn)備件已用光時(shí)，另一系統(tǒng)尚有r個(gè)備件的概率Pr。(r=0,1,…,N)解

只考慮出故障的時(shí)刻故障的出現(xiàn)看作是貝努利試驗(yàn)，有例兩個(gè)同類型的系統(tǒng)，開始時(shí)各有N個(gè)備件，一旦出現(xiàn)故障，就46要第一個(gè)系統(tǒng)缺備件而第二個(gè)系統(tǒng)剩r件，應(yīng)該是A出現(xiàn)N＋1次故障(前N次用去所有N個(gè)備件，最后一次故障發(fā)生時(shí)缺乏調(diào)換的備件)，而A出現(xiàn)N－r次，這事件的概率為：

對(duì)于第二個(gè)系統(tǒng)先缺備件的情況可同樣考慮，因此所求概率Pr為：要第一個(gè)系統(tǒng)缺備件而第二個(gè)系統(tǒng)剩r件，應(yīng)該是A47

2.3一維連續(xù)型隨機(jī)變量

當(dāng)隨機(jī)變量X在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上取值或在實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間取值，而X的分布函數(shù)可寫為一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)的變上限積分時(shí)，稱X為一維連續(xù)型隨機(jī)變量。2.3一維連續(xù)型隨機(jī)變量48定義2.3.1

設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，X為其上的隨機(jī)變量，F(xiàn)X(x)為X的分布函數(shù)。如果存在非負(fù)可積函數(shù)fX(x)和對(duì)任意實(shí)數(shù)x，使稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為fX(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)。

可以證明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。

定義2.3.1設(shè)(Ω,F,P)為概率空間，X為其上的隨機(jī)變49密度函數(shù)與分布函數(shù)的性質(zhì)：密度函數(shù)與分布函數(shù)的性質(zhì)：50(3)

而分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)(在f(x)連續(xù)點(diǎn)上)就是其密度函數(shù),即(3)而分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)(在f(x)連續(xù)點(diǎn)上)就是51(5)

密度函數(shù)f(x)并不直接表示概率值的大小。但在區(qū)間很小時(shí)，f(x)的數(shù)值還是能反映出隨機(jī)變量在x附近取值的概率大小的。上式表明，在小區(qū)間[x-x,x]內(nèi)的概率值大約為密度值與區(qū)間長(zhǎng)度x的乘積。(5)密度函數(shù)f(x)并不直接表示概率值的大小。但在區(qū)間52(6)可見，連續(xù)型隨機(jī)變量X取一個(gè)固定值的概率為0。并且有(6)53例

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為(１)求常數(shù)Ａ、Ｂ；(２)判斷X是否是連續(xù)型隨機(jī)變量；(３)求

P(-1≤X＜1/2)解(1)

由分布函數(shù)性質(zhì)得例設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為54(2)因?yàn)樗訤(x)不是連續(xù)函數(shù)，從而X不是連續(xù)型隨機(jī)變量。(2)因?yàn)?5例設(shè)已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是(1)確定a的值；(2)求X的分布函數(shù)F(x)；(3)求概率P(X2＞1)。解

(1)根據(jù)概率密度的性質(zhì)，有a＞0以及稱該隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)柯西(Cauchy)分布。例設(shè)已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是56(2)

求X的分布函數(shù)F(x)：(3)求概率P(X2＞1)：(2)求X的分布函數(shù)F(x)：57例

向半徑為R的圓形靶射擊，假定不會(huì)發(fā)生脫靶的情況，彈著點(diǎn)落在以靶心O為中心，r為半徑(r≤R)的圓形區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比。設(shè)隨機(jī)變量X表示彈著點(diǎn)與靶心的距離，試求X的分布函數(shù)F(x)及其密度函數(shù)f(x)解因?yàn)椴粫?huì)發(fā)生脫靶，所以X的一切可能值是[0,R]，

當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤

x)=P()=0，當(dāng)0≤

x≤

R時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤

x)

=kx2，由于F(R)=P(X≤

R)=1，kR2=1例向半徑為R的圓形靶射擊，假定不會(huì)發(fā)生脫靶的情況，彈著點(diǎn)58

當(dāng)x>R時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤

x)=P(必然事件)=1

由于所以，密度函數(shù)為：當(dāng)x>R時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X≤x)=P(必然事件)592.3.1均勻分布最簡(jiǎn)單的連續(xù)型隨機(jī)變量X是密度函數(shù)在某有限區(qū)間取正的常數(shù)值，其余皆取零的隨機(jī)變量，稱為均勻分布。

均勻分布密度函數(shù)f(x)為

2.3.1均勻分布60其分布函數(shù)F(x)為：其分布函數(shù)F(x)為：61第二章-一維隨機(jī)變量及其分布ppt課件62說明

均勻分布的概率密度函數(shù)fX在[a,b]上取常數(shù)，對(duì)任意滿足a≤c<d≤b的c和d有P(c≤X≤d)>0且≤1，滿足分布函數(shù)的性質(zhì)；又因密度函數(shù)fX是[a,b]上的常數(shù)(線密度)，故稱這類分布為均勻分布。均勻分布的應(yīng)用舉例：對(duì)幾何概型，若投點(diǎn)落入?yún)^(qū)間[a,b]，設(shè)X為落點(diǎn)坐標(biāo)，則X~U(a,b)。數(shù)值計(jì)算中的誤差量服從均勻分布。說明63例隨機(jī)地向區(qū)間[-1,1]投擲點(diǎn)，X為其落點(diǎn)坐標(biāo)，試求關(guān)于t的二次方程t2+3Xt+1=0有實(shí)根的概率。解

X在[-1,1]上服從均勻分布，其密度函數(shù)為方程t2+3Xt+1=0有實(shí)根的的充要條件是9X2-40則方程有實(shí)根的概率為例隨機(jī)地向區(qū)間[-1,1]投擲點(diǎn)，X為其落點(diǎn)坐標(biāo)，試求關(guān)64思考題某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客到達(dá)汽車站的任一時(shí)刻的可能性是相同的，求(1)乘客候車時(shí)間不超過3分鐘的概率；(2)若甲、乙、丙分別獨(dú)立等候1、2、3路汽車時(shí)，三人中至少有兩個(gè)人等車時(shí)間不超過2分鐘的概率。答案：(1)P=0.6；(2)P=0.352思考題某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客到達(dá)652.3.2指數(shù)分布

若一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)：則稱X服從參數(shù)為λ(λ＞0)的指數(shù)分布，記作X～Exp(λ)。R軟件中對(duì)應(yīng)X≤x的指數(shù)分布函數(shù)為pexp(x,a)。

其分布函數(shù)為

“稀有事件”(在有限時(shí)間內(nèi)只發(fā)生有限次，在極短時(shí)間內(nèi)只發(fā)生一次)發(fā)生的事件間隔服從指數(shù)分布?！皦勖眴栴}也可認(rèn)為服從指數(shù)分布。2.3.2指數(shù)分布66指數(shù)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)圖像指數(shù)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)圖像67例2.3.2

設(shè)某服務(wù)窗口接待顧客的時(shí)間T服從參數(shù)為1/10的指數(shù)分布(單位：分鐘)，則其概率密度為

假設(shè)一次服務(wù)時(shí)間超過15分鐘，顧客即評(píng)價(jià)為“不滿意”，試求：

(1)10位顧客中恰有兩位評(píng)價(jià)為不滿意的概率。

(2)10位顧客中最多有兩位評(píng)價(jià)為不滿意的概率

(3)10位顧客中至少有兩位評(píng)價(jià)為不滿意的概率。例2.3.2設(shè)某服務(wù)窗口接待顧客的時(shí)間T服從參數(shù)為1/1068解

首先求出一位顧客評(píng)價(jià)為“不滿意”的概率。用R軟件計(jì)算有

P(T>15)=1-P(T≤15)=1-pexp(15,0.1)≈0.2231302

設(shè)每位顧客的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立且服從相同參數(shù)的指數(shù)分布，所以10為顧客中不滿意的顧客數(shù)Y~B(10,0.2231)

10位顧客中恰有兩位評(píng)價(jià)為不滿意的概率

用R軟件計(jì)算

解首先求出一位顧客評(píng)價(jià)為“不滿意”的概率。69(2)10位顧客中最多有兩位評(píng)價(jià)為不滿意的概率(3)10位顧客中至少有兩位評(píng)價(jià)為不滿意的概率。(2)10位顧客中最多有兩位評(píng)價(jià)為不滿意的概率70指數(shù)分布的無記憶性：指數(shù)分布與幾何分布一樣有無記憶性，若X~Exp(λ)，對(duì)任意t>0，s>0，有指數(shù)分布的無記憶性：712.3.3正態(tài)分布

實(shí)際上許多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布，如測(cè)量誤差；產(chǎn)品的質(zhì)量指示(零件的尺寸、材料的強(qiáng)度、電子管的壽命…)；生物學(xué)中，同一群體的某種特征(某種動(dòng)物的身長(zhǎng)、體重；某種植物的株高、單位面積產(chǎn)量，…)等等。

在理論上可以證明，若X是某一隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)變量，如果決定試驗(yàn)結(jié)果的是大量的偶然因素的總和，各個(gè)偶然因素之間近乎相互獨(dú)立，并且每個(gè)偶然因素的單獨(dú)作用相對(duì)于作用的總和來說均勻地小，那么X就近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布(高斯Gauss)分布是最重要的連續(xù)型分布，在概率論中占有極其重要的地位，有著十分廣泛的實(shí)際應(yīng)用。2.3.3正態(tài)分布72正態(tài)分布:若隨機(jī)變量X的分布密度為:其中μ、σ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ、σ的正態(tài)分布(高斯分布)，記作X～N(,2).R軟件中正態(tài)分布的P(X≤x)的分布函數(shù)為pnorm(x)。正態(tài)分布:若隨機(jī)變量X的分布密度為:其中μ、σ>0為常數(shù)，則73正態(tài)分布的分布函數(shù)為

特別地稱N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度及分布函數(shù)常記為：由于的原函數(shù)無顯式表達(dá)，故標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布經(jīng)數(shù)值計(jì)算被制成表格，供正反查用。正態(tài)分布的分布函數(shù)為特別地稱N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布74若X～N(2)，則結(jié)論當(dāng)a=-∞或b=+∞時(shí)也成立。證明

?a<b，有若X～N(2)，則75

一般正態(tài)分布的概率可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算。

命題:若X～N(2),作標(biāo)準(zhǔn)變換：則新的隨機(jī)變量Y～N(01)一般正態(tài)分布的概率可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算。76證明：證明：77正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)有下列性質(zhì)：(1)

f(x)和F(x)處處大于零，且具有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；(2)

f(x)在區(qū)間(-∞,μ)內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間(μ,+∞)內(nèi)單調(diào)減少，在x=處取得最大值。當(dāng)x→-∞或x→+∞時(shí),f(x)→0,即x軸(y=0)是f(x)的漸近線,即x離μ越遠(yuǎn)，f(x)的值越小，表明對(duì)于同樣長(zhǎng)度的區(qū)間,離μ越遠(yuǎn)，X落在這個(gè)區(qū)間上的概率越小。x=μ±σ處曲線有拐點(diǎn)。正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)有下列性質(zhì)：78

f(x)的圖形關(guān)于直線x=對(duì)稱，即f(-x)=f(+x)。是X的數(shù)學(xué)期望(加權(quán)平均值)。

=0時(shí)，則有f(-x)=f(x)，即這時(shí)f(x)關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱。

固定σ，改變的值，則圖形沿著Ox軸平移，形狀不變，故正態(tài)分布的概率密度曲線y=f(x)的位置完全由參數(shù)所確定，

稱為位置參數(shù)。f(x)的圖形關(guān)于直線x=對(duì)稱，即f(-x)=f(79

固定，改變，由于最大值，可知越小，密度曲線越尖狹；因而X落在附近的概率越大；固定時(shí)，越大，密度曲線越平寬。

是X的標(biāo)準(zhǔn)差(描述了X的發(fā)散程度)。

固定，改變，由于最大80(3)

F(-x)=1-F(

+

x)

特別有Φ(-x)=1-

Ф(x)(4)(3)F(-x)=1-F(+x)81(5)

如果X～N(0,1),則

P(|X|≤x)=2Φ(x)-1證明(6)

如果X～N(0,1)，則

P{|X|>x}=2

[1-Φ(x)]證明(5)如果X～N(0,1),則P(|X|≤x)=2Φ(82例設(shè)X～N(0,1)，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ(x)的表計(jì)算：(1)P{X<-1.24}(2)P{|X|<1.54}(3)使P(|X|＞x)=0.1的x。例設(shè)X～N(0,1)，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ(x)83例2.3.4

設(shè)已知測(cè)量誤差X～N(0,102)，現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行100次測(cè)量，求誤差絕對(duì)值超過19.6的次數(shù)不少于3的概率。解

這個(gè)問題既涉及正態(tài)分布，又涉及二項(xiàng)分布。

第一步：以A表示一次測(cè)量中“誤差絕對(duì)值超過19.6”的事件，則有

例2.3.4設(shè)已知測(cè)量誤差X～N(0,102)，現(xiàn)獨(dú)立重84

第二步：以Y表示100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，事件A發(fā)生的次數(shù)，則Y～B(100,0.05)。誤差絕對(duì)值超過19.6的次數(shù)不少于3的概率為

P(Y≥3)=1-P(Y≤2)=1-pbinom(2,100,0.05)=0.881737另外：由于n=100較大而p=0.05很小，故二項(xiàng)分布可用=np=5的泊松分布近似代替，得

P(Y≥3)=1-P(Y≤2)

≈1-ppois(2,5)=0.875348第二步：以Y表示100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，事件A發(fā)生的次數(shù)，85例2.3.5

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的。設(shè)男子身高X服從=170cm,=6cm的正態(tài)分布，即X～N(170，62)，試確定車門的高度。解

設(shè)車門的高度為hcm，根據(jù)設(shè)計(jì)要求應(yīng)有

P(X＞h)≤0.01，則1-P(X≤h)≤0.01即P(X≤h)≥0.99

由于X～N(170，62)，

例2.3.5公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)在86例2.3.6

(估計(jì)股價(jià)變化幅度)設(shè)某支股票的初始價(jià)格為S0=40元，預(yù)期收益率μ為每年16%，波動(dòng)率σ為每年20%。在Black-Sch