2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（人教版） 二次函數(shù)與面積問題（強(qiáng)化）（解析版）

二次函數(shù)與面積問題【例題精講】如圖直線交軸于點(diǎn)交軸于點(diǎn)拋物線經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)且交軸于另一點(diǎn)．（1）直接寫出點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式．（2）在直線上方的拋物線上有一點(diǎn)求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）令得令得解得．把、兩點(diǎn)代入得解得拋物線的解析式為．（2）過點(diǎn)作軸與交于點(diǎn)如圖1設(shè)則當(dāng)時(shí)四邊形面積最大其最大值為8此時(shí)的坐標(biāo)為．如圖已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)與軸相交于點(diǎn)點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)連接．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)位于直線上方時(shí)連結(jié)的面積能否取得最大值？若能請求出最大面積并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能請說明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的表達(dá)式得：解得：拋物線的解析式為；（2）能．如圖所示：連接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則當(dāng)時(shí)的面積有最大值最大值為8此時(shí)的面積最大值為8．【題組訓(xùn)練】1．如圖二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為另一個(gè)交點(diǎn)為且與軸交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)使與的面積相等？若存在請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．【解答】解：（1）把代入得解得拋物線解析式為；（2）當(dāng)時(shí)解得當(dāng)時(shí)的面積；（3）存在．設(shè)與的面積相等即解方程得此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或；解方程得此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上所述點(diǎn)坐標(biāo)為或或．2．已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)求：（1）點(diǎn)、、的坐標(biāo)；（2）的面積．【解答】解：（1）令則；令則解得：；（2）．3．如圖拋物線．與軸交于兩點(diǎn)與軸交于直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若是位于直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接求的面積的最大值．【解答】解：（1）直線經(jīng)過點(diǎn)令則將代入得：解得：拋物線的解析式為：；（2）解得：過點(diǎn)作軸交于設(shè)則的面積當(dāng)時(shí)的面積最大且最大值是．4．如圖拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)直線過、兩點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)連接、．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積．【解答】解：（1）令則令則求得把、的坐標(biāo)代入得解得拋物線的解析式為頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）作軸交于點(diǎn)把代入得．5．已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)與軸交于點(diǎn)是線段上一點(diǎn)過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2點(diǎn)是第一象限拋物線上的一點(diǎn)且和的面積相等求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)解得：該拋物線的表達(dá)式；（2）如圖設(shè)直線的解析式為解得：直線的解析式為點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．．軸．的面積為．和的面積相等的面積為2設(shè)中邊上的高為點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1解得：（負(fù)數(shù)不合題意舍去）．6．如圖拋物線與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．（1）求出此拋物線和直線的解析式；（2）在直線上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為何值時(shí)四邊形的面積最大？最大值是多少？并寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將、代入中得解得拋物線的解析式為．設(shè)直線的解析式為將代入得解得直線的解析式為．（2）如圖作軸交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為則點(diǎn)坐標(biāo)為．．當(dāng)時(shí)有最大值為8此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．7．如圖拋物線與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式與直線的解析式；（2）若點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)且在直線上方連接、求面積最大值；（3）由（2）并求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線與軸交于、兩點(diǎn)設(shè)拋物線的解析式為在拋物線上解得拋物線的解析式為即直線經(jīng)過、設(shè)直線的解析式為則解得直線的解析式為；（2）如圖1中過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．設(shè)則．的值最大值時(shí)的面積最大時(shí)的值最大最大值為此時(shí)的面積的最大值為；（3）由（2）可知時(shí)面積最大．8．如圖拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）若該拋物線軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)為點(diǎn)在該拋物線上求四邊形的面積．【解答】解：（1）拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)．解得：．拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）．令則．．連接過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)如圖．四邊形的面積．9．如圖已知拋物線的頂點(diǎn)為與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式．（2）求的面積．（3）設(shè)是直線上方該拋物線上除點(diǎn)外的一點(diǎn)且與的面積相等求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線的頂點(diǎn)為設(shè)拋物線的解析式為此拋物線與軸交于點(diǎn)．．此拋物線的解析式為．即：．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)設(shè)交直線與點(diǎn)如圖令則．解得：或3．．．設(shè)直線的解析式為解得：．直線的解析式為．．．．的面積等于3．（3）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為過點(diǎn)作于點(diǎn)設(shè)交直線與點(diǎn)如圖是直線上方該拋物線上除點(diǎn)外的一點(diǎn)．．．．．．與的面積相等．解得：或2．設(shè)是直線上方該拋物線上除點(diǎn)外的一點(diǎn)．．10．如圖拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）與軸交于點(diǎn)．（1）求直線的解析式；（2）拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2求四邊形的面積．【解答】解：（1）令得令得解得或設(shè)直線的解析式為：把代入得解得直線的解析式為：；（2）當(dāng)時(shí)連接如圖．11．如圖在平面直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣20）、B（30）與y軸交于點(diǎn)C（0﹣3）點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)和直線BC的解析式．（2）若點(diǎn)P在直線BC的下方當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）當(dāng)S△PBC＝S△ABC時(shí)求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（﹣20）B（30）C（0﹣3）代入二次函數(shù)解析式則解得：∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x﹣3；設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d則解得：∴直線BC的解析式為y＝x﹣3；（2）如圖作PD⊥x軸交BC于點(diǎn)DPE⊥y軸延長EP與過點(diǎn)B的x軸垂線交于F設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m）則點(diǎn)D坐標(biāo)為（mm﹣3）∴PD＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣m2+mS△PBC＝S△PDC+S△PDB＝PD?PE+PD?PF＝PD?EF＝PD?OB∴S△PBC＝（﹣m2+m）×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+∴當(dāng)m＝時(shí)S△PBC取最大值此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣）；（3）∵S△ABC＝AB?OC＝×5×3＝∴S△PBC＝S△ABC＝×＝設(shè)P（mm2﹣m﹣3）由（2）知PQ＝|﹣m2+m|S△PBC＝（xB﹣xC）PQ＝×|﹣m2+m|∴×|﹣m2+m|＝即|m2﹣3m|＝2當(dāng)m2﹣3m＝2時(shí)解得m＝；當(dāng)m2﹣3m＝﹣2時(shí)解得：m＝1或m＝2∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或或1或2．12．如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)其中點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為連接．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上以每秒個(gè)單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．連接設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求的值；（2）在運(yùn)動(dòng)的過程中當(dāng)為何值時(shí)四邊形的面積最小最小值為多少？【解答】解：（1）把代入則解得：．（2）拋物線解析式為當(dāng)時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為又等腰直角三角形由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可知：過點(diǎn)作軸垂足為如圖：即又當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)時(shí)四邊形的面積最小最小值為4．13．如圖拋物線與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)使四邊形的面積最大求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）即解得：設(shè)拋物線解析式為將代入得：解得：該拋物線的解析式為；（2）如圖過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)設(shè)直線解析式為將代入得：解得：直線解析式為設(shè)則當(dāng)時(shí)四邊形的面積最大此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．如圖拋物線與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)且．直線與拋物線交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)點(diǎn)到軸的距離為3．（1）求拋物線的解析式與直線的解析式．（2）若點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)且在直線上方連接、求當(dāng)面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及該面積的最大值．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為把代入得解得拋物線解析式為即；拋物線的對稱軸為點(diǎn)到軸的距離為3點(diǎn)、關(guān)于直線對稱設(shè)直線的解析式為把分別代入得解得直線的解析式為；（2）過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)如圖設(shè)則的面積當(dāng)時(shí)的面積有最大值最大值為此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．15．如圖拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)為．（1）直接寫出拋物線的解析式、對稱軸及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）若直線與拋物線交于、兩點(diǎn)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的面積．【解答】解：（1）把和兩點(diǎn)代入拋物線中得：解得：拋物線的解析式為：對稱軸為：；頂點(diǎn)的坐標(biāo)是：．（2）把代入到直線中得：直線是．解方程得．當(dāng)時(shí)點(diǎn)．設(shè)拋物線的對稱軸與交于點(diǎn)則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1代入得點(diǎn)．．．16．拋物線與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)已知點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)是拋物線在第一象限內(nèi)圖象上的點(diǎn)求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)代入得解得；（2）拋物線解析式為當(dāng)時(shí)則設(shè)直線的解析式為把代入得解得直線的解析式為過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)如圖設(shè)則時(shí)有最大值此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為面積的最大值為1．17．如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．（2）當(dāng)?shù)拿娣e為8時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)解得拋物線的解析式為；（2）拋物線與軸交于兩點(diǎn)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)的面積為8或點(diǎn)坐標(biāo)為或或．18．如圖關(guān)于的二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和