2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（人教版） 二次函數(shù)與三角形存在性問題（強(qiáng)化）（解析版）

二次函數(shù)與三角形存在性問題【例題精講】如圖拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)與軸交于點(diǎn)頂點(diǎn)為連接直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）求四邊形的面積；（3）是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)連接當(dāng)時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)使得為等腰三角形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線過點(diǎn)和解得拋物線的解析式為．令得．解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為．把點(diǎn)分別代入得解得直線的解析式為．（2）如圖1設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．拋物線的解析式為頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．．（3）．．如圖2過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)交于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)．點(diǎn)在直線上．．．．解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（4）存在．為等腰三角形或或設(shè)當(dāng)時(shí)解得：；當(dāng)時(shí)解得：或（舍去）；當(dāng)時(shí)解得：或或綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．如圖已知拋物線與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)連接．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）如圖1當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)過點(diǎn)作上軸于點(diǎn)交直線于點(diǎn)．若求的面積；（3）拋物線上存在一點(diǎn)使是以為直角邊的直角三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）令拋物線則解得：；故答案為：；（2）在中當(dāng)時(shí)．設(shè)直線的解析式為將代入得：解得直線的解析式為若則設(shè)軸于點(diǎn)解得（舍此時(shí)．的面積為3；（3）是以為直角邊的直角三角形有兩種情況：①點(diǎn)為直角頂點(diǎn)如圖過點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)連接．又直線的解析式為聯(lián)立解得或（舍；；②點(diǎn)為直角頂點(diǎn)如圖過點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)交軸于點(diǎn)連接設(shè)直線的解析式為將代入得直線的解析式為聯(lián)立解得或（舍．綜上點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【題組訓(xùn)練】1．如圖拋物線與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）證明與的面積相等；（3）是否存在使為直角三角形的拋物線？若存在請(qǐng)求出；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為拋物線與軸交于、兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)解得兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、（2）當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為過點(diǎn)作軸于則（3）存在使為直角三角形的拋物線．過點(diǎn)作于點(diǎn)則為直角三角形在中在中．①如果是直角三角形且時(shí)即解得．存在拋物線使得是直角三角形；②如果是直角三角形且時(shí)．即解得．存在拋物線使得是△；③以為直角的直角三角形不存在綜上存在拋物線和使是直角三角形．3．如圖拋物線交軸于、兩點(diǎn)交軸于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為對(duì)稱軸為．點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合）過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)交于點(diǎn)．（1）求拋物線及直線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作垂足為點(diǎn)．求線段的最大值；（3）試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在這樣的點(diǎn)使得以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線對(duì)稱軸為點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱設(shè)把代入得：解得：設(shè)直線的解析式為則解得：直線的解析式為故拋物線解析式為直線的解析式為；（2）設(shè)則軸軸當(dāng)時(shí)的最大值為；（3）存在設(shè)以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形或或當(dāng)時(shí)解得：（舍去）或；當(dāng)時(shí)解得：（舍去）或；當(dāng)時(shí)解得：；綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．4．如圖在平面直角坐標(biāo)系中已知拋物線與直線相交于兩點(diǎn)其中．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)為直線下方拋物線上任意一點(diǎn)連接求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形時(shí)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)得：解得故拋物線的表達(dá)式為；（2）由點(diǎn)、的坐標(biāo)得直線的表達(dá)式為過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)則面積故面積有最大值當(dāng)時(shí)面積的最大值為8此時(shí)點(diǎn)；（3）由拋物線的表達(dá)式知其對(duì)稱軸為直線設(shè)點(diǎn)由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得：當(dāng)時(shí)即解得；當(dāng)時(shí)同理可得：；當(dāng)時(shí)同理可得：故點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或．5．如圖已知二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為與點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）請(qǐng)你直接寫出的面積；（3）在軸上是否存在點(diǎn)使得是等腰三角形？若存在請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：解得故拋物線的表達(dá)式為令則故點(diǎn)的坐標(biāo)為；令解得或故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）連接則的面積；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意得：當(dāng)時(shí)則解得或當(dāng)時(shí)同理可得（舍去）或當(dāng)時(shí)同理可得故點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．6．如圖已知二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)交軸于點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）將直線向下移動(dòng)個(gè)單位若直線與拋物線有交點(diǎn)求的取值范圍；（3）直線分別交直線和拋物線于點(diǎn)當(dāng)是等腰三角形時(shí)直接寫出的值．【解答】解：（1）將代入函數(shù)解析式得解得這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是①；（2）由拋物線的表達(dá)式知點(diǎn)設(shè)直線的表達(dá)式為則解得故直線的表達(dá)式為直線平移后的表達(dá)式為②聯(lián)立①②并整理得：則△解得故；（3）設(shè)：點(diǎn)則當(dāng)時(shí)①解得或3（舍去②解得或3（舍去當(dāng)時(shí)解得或（舍當(dāng)時(shí)則解得或（舍當(dāng)是等腰三角形時(shí)的值為12．7．如圖二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)且的面積為6．（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）如果點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且是等腰三角形直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）由解析式可知點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以或二次函數(shù)與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得．解得所求二次函數(shù)的解析式為；（3）（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)①如圖1當(dāng)時(shí)則點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱則點(diǎn)的坐標(biāo)為；②如圖2當(dāng)時(shí)當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)則故點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)則過點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；③如圖3當(dāng)時(shí)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)題意得．解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為；故點(diǎn)的坐標(biāo)為．（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或．8．如圖直線和拋物線都經(jīng)過和兩點(diǎn)拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)）．（1）求直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求四邊形的面積；（3）在軸上是否存在點(diǎn)使得是以為直角邊的直角三角形？若存在求出所有的點(diǎn)若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）把代入中得即把代入中得把代入中得即把代入中得即直線表達(dá)式是拋物線解析式為：；（2）解方程得點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)過作軸于作軸于即四邊形的面積為10；（3）設(shè)①當(dāng)時(shí)即；②當(dāng)時(shí)或4或綜上所述以為直角邊時(shí)或或．9．如圖拋物線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、、點(diǎn)為拋物線上動(dòng)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)在第四象限連接、及當(dāng)為何值時(shí)的面積最大？最大面積是多少？（3）是否存在點(diǎn)使為以為直角邊的直角三角形若存在直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)、拋物線的對(duì)稱軸為點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)拋物線表達(dá)式為故解得：拋物線的表達(dá)式為；（2）如圖過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)由點(diǎn)的坐標(biāo)得直線的表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)的面積當(dāng)時(shí)有最大值；（3）直線表達(dá)式中的值為1①當(dāng)時(shí)直線與軸的夾角為設(shè)直線的表達(dá)式為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入并解得直線的表達(dá)式為聯(lián)立得解得或3（不合題意舍去）故點(diǎn)的坐標(biāo)為②當(dāng)時(shí)同理可得點(diǎn)綜上點(diǎn)的坐標(biāo)為或．10．如圖在平面直角坐標(biāo)系中矩形點(diǎn)在軸上點(diǎn)在軸上其中已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1點(diǎn)在直線上點(diǎn)為軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)連接、若求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2在（2）的條件下為射線上一點(diǎn)作直線于點(diǎn)連接若為直角三角形請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）矩形拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)；（2）設(shè)解得或點(diǎn)在軸由側(cè)；（3）設(shè)直線的解析式為直線與軸的交點(diǎn)為如圖1當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合點(diǎn)為此時(shí)為等腰直角三角形；如圖2過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)設(shè)直線的解析式為或或；如圖3當(dāng)時(shí)直線的解析式為；綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．11．如圖拋物線與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使是直角三角形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為將點(diǎn)代入頂點(diǎn)為；（2）存在一點(diǎn)使是直角三角形理由如下：拋物線的對(duì)稱軸為直線設(shè)是直角三角形①當(dāng)為斜邊時(shí)解得點(diǎn)坐標(biāo)為或；②當(dāng)為斜邊時(shí)解得點(diǎn)坐標(biāo)為；③當(dāng)為斜邊時(shí)解得點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．12．如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線交軸于點(diǎn)交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）將拋物線關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線記作點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)若是以為直角邊的直角三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)代入解得頂點(diǎn)；（2）設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)則關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為點(diǎn)在拋物線上拋物線記作的解析式為設(shè)過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)或或．13．如圖拋物線與軸交于兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)為連接為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與、重合）過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接、、、當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下在軸上是否存在點(diǎn)使為等腰三角形若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將代入；（2）設(shè)直線的解析式為設(shè)則或（舍；（3）或（舍；（4）存在理由如下：①當(dāng)時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱；②當(dāng)時(shí)或；③當(dāng)時(shí)作的垂直平分線交軸于點(diǎn)交于點(diǎn)；綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．14．將拋物線向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線再將拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖（1）點(diǎn)在拋物線（對(duì)稱軸右側(cè)）上點(diǎn)在對(duì)稱軸上是以為斜邊的等腰直角三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖（2）直線為常數(shù)）與拋物線交于兩點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；直線與拋物線交于兩點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．求證：直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．【解答】解：（1）拋物線向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線即（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)如圖所示：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為的對(duì)稱軸解得或或或點(diǎn)在第一象限或（舍去）或．當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)同理可求點(diǎn)綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或．（3）把代入中得將代入中得設(shè)的解析式為則解得直線的解析式為：當(dāng)時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)即直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．15．已知拋物線的對(duì)稱軸是直線與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)）與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖若點(diǎn)是拋物線上、兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合）過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)；①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為用含的式子表示出的長并求出的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；②過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)是否存在點(diǎn)使為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在說明理由；（3）點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)直接寫出使為等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸是直線解得拋物線的解析式為：．當(dāng)時(shí)解得點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為．答：拋物線的解析式為：；點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為將代入得：解得直線的解析式為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)的最大值是4點(diǎn)是拋物線上、兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合）此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．答：用含的式子表示出的長為的最大值是4此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)為等腰直角三角形點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)如圖：交拋物線于點(diǎn)軸拋物線的對(duì)稱軸是直線點(diǎn)的橫坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)為等腰直角三角形的長為解得：或（舍去）；點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)如圖：交拋物線于點(diǎn)軸拋物線的對(duì)稱軸是直線點(diǎn)的橫坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)為等腰直角三角形的長為解得：或（舍去）；存在點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值為或；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為．①當(dāng)點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)時(shí)如圖點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)時(shí)如圖：則點(diǎn)的坐標(biāo)為；③當(dāng)點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)時(shí)如圖：過點(diǎn)作于即則點(diǎn)的坐標(biāo)為；故點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．16．在平面直角坐標(biāo)系中拋物線是常數(shù)與軸交于、兩點(diǎn)與軸交于點(diǎn)對(duì)稱軸為直線．（1）填空：（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)時(shí)拋物線上的點(diǎn)到軸的最大距離為5求的值；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)是否存在以為斜邊的等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線對(duì)稱軸為直線對(duì)稱軸為直線故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)此時(shí)點(diǎn)到軸的距離小于5當(dāng)時(shí)解得；（3）存在是以為斜邊的等腰直角三角形設(shè)①如圖過點(diǎn)作軸的垂線再分別過點(diǎn)和點(diǎn)作垂線的垂線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)解得或（舍去）；②如圖點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)和點(diǎn)重合點(diǎn)和點(diǎn)重合此時(shí)；③如圖過點(diǎn)作軸的垂線再分別過點(diǎn)和點(diǎn)作垂線的垂線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)同理：△△解得（舍去）綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．17．如圖拋物線的圖象過點(diǎn)、、．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使得的周長最小若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的周長；若不存在請(qǐng)說明理由；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)使為等腰三角形？若存在求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)、不妨設(shè)拋物線的解析式為將點(diǎn)代入其解析式得解得拋物線的解析式為即；（2）如圖1拋物線的對(duì)稱軸為直線連接與直線交于點(diǎn)則當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)周長取得最小值設(shè)點(diǎn)直線表達(dá)式為將點(diǎn)代入得解得則直線表達(dá)式為當(dāng)時(shí)故點(diǎn)周長最小值為：；（3）設(shè)則如圖2所示當(dāng)時(shí)即解得此時(shí)點(diǎn)；如圖3所示當(dāng)時(shí)即解得此時(shí)點(diǎn)；如圖4所示當(dāng)時(shí)即解得：（舍去）此時(shí)點(diǎn)綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為．18．如圖已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）與軸交于點(diǎn)連接．（1）求、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)（不與、重合）軸且交拋物線于點(diǎn)交軸于點(diǎn)當(dāng)線段的長度最大時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下當(dāng)線段的長度最大時(shí)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)使得為直角三角形直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）對(duì)于令則令則解得：；（2）設(shè)的表達(dá)式為則解得直線的表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)最大此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線設(shè)且為直角三角形分點(diǎn)為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)為直角頂點(diǎn)和點(diǎn)為直角頂點(diǎn)三種情況①當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)則有即解得：此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為②當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)則有即解得：此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或③當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)則有即解得：此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為綜上所述點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．19．如圖拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)與軸相交于點(diǎn)且點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)若．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）設(shè)的面積為試判斷有最大值或最小值嗎？若有求出其最值若沒有請(qǐng)說明理由；（3）在上是否存在點(diǎn)使為直角三角形？若存在請(qǐng)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）把、代入得解得二次函數(shù)的解析式為．（2）有最大值．如圖1設(shè)直線的解析式為該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為把、代入得解得；由得；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)不存在以、、為頂點(diǎn)的三角形不存在最小值；當(dāng)時(shí)的最大值為．（3）存在．若如圖2則軸且在直線上