2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強化題型）（人教版） 正多邊形與圓（基礎(chǔ)）（解析版）

正多邊形與圓目錄正多邊形求線段長度 1正多邊形求角度 4正多邊形求面積 6正多邊形與坐標(biāo)軸 10正多邊形與規(guī)律 13綜合運用 16正多邊形求線段長度正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。正多邊形的有關(guān)計算(1)首先要明確與正多邊形計算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑R——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距r，正多邊形的中心角α，正多邊形的邊長a。

(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了2n個全等的直角三角形。如圖正方形ABCD內(nèi)接于⊙O點E為BC上一點連接BE若∠CBE＝15°BE＝5則正方形ABCD的邊長為（）A．7 B．52 C．10 D．【解答】解：連接OAOBOE∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O∴OA＝OB＝OE∠AOB=360°4=90°AB＝BC∠ABC＝∴∠OAB＝∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝45∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°∵∠CBE＝15°∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°∴△OBE是等邊三角形∴OB＝BE＝5∴OA＝5∴AB=OA2∴正方形ABCD的邊長為52．故選：B．如圖面積為18的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O則⊙O的半徑為（）A．32 B．322 C．3 【解答】解：如圖連接OAOB則OA＝OB∵四邊形ABCD是正方形∴∠AOB＝90°∴△OAB是等腰直角三角形∵正方形ABCD的面積是18∴AB=18=3∴OA＝OB=22AB故選：C．如圖正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O⊙O的半徑為1則邊心距OM的長為（）A．3 B．32 C．12 D【解答】解：連接OB∵六邊形ABCDEF是⊙O內(nèi)接正六邊形∴∠BOM=360°6×2=∴OM＝OB?cos∠BOM＝1×3故選：B．如圖在正六邊形ABCDEF中點G是AE的中點若AB＝4則CG的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：如圖連接ACEC．∵ABCDEF是正六邊形∴△ACE是等邊三角形∵AB＝4∴AC＝CE＝AE＝43∵AG＝GE＝23∴CG⊥AE∴CG=A故選：B．正多邊形求角度如圖在同一平面內(nèi)將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合則∠1的度數(shù)為（）A．18° B．25° C．30° D．45°【解答】解：∵正方形的每個內(nèi)角的度數(shù)是90°正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是(6-2)×180°6=120∴∠1＝120°﹣90°＝30°故選C．如圖正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的內(nèi)接多邊形則∠BOM的度數(shù)是（）A．36° B．45° C．48° D．60°【解答】解：如圖連接AO．∵△AMN是等邊三角形∴∠ANM＝60°∴∠AOM＝2∠ANM＝120°∵ABCDE是正五邊形∴∠AOB=360°5=∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．故選：C．如圖正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O點M在AB上則∠CME的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．60°【解答】解：連接OCODOE∵多邊形ABCDEF是正六邊形∴∠COD＝∠DOE＝60°∴∠COE＝2∠COD＝120°∴∠CME=12∠COE＝60故選：D．如圖在正六邊形ABCDEF中MN分別為邊CDBC的中點AN與BM相交于點P則∠APM的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形∴∠ABC＝∠BCD=(6-2)×1806=120°AB＝BC∵M(jìn)N分別為邊CDBC的中點∴BN＝CM∴△ABN≌△BCM（SAS）∴∠BNP＝∠CMB∵∠CBM＝∠PBN∴∠BPN＝∠BCD＝120°∴∠APM＝120°故選：B．正多邊形求面積如圖正六邊形ABCDEF中點MN分別為邊BCEF上的動點則S空白A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：連接AD作FP⊥AD于點PEQ⊥AD于點Q∵正六邊形各內(nèi)角為120°∴∠EAP＝60°設(shè)各邊長為a則AF＝a∴AP＝QD=12∴AD＝2aFP=AF∴S四邊形AMDN＝AD?FP＝2a×32a=3S正六邊形=332∴S陰影＝S正六邊形﹣S四邊形AMDN=332a2-∴S空白故選：A．如圖所示的“六芒星”圖標(biāo)是由圓的六等分點連接而成若圓的半徑為4則圖中陰影部分的面積為（）A．83 B．123 C．16 D．【解答】解：如圖連接OB交AC與點H．由題意△ABC是等邊三角形OB＝4OH＝BH＝2∵OB⊥AC∴CH＝AH=BH∴AC＝2CH=4∴陰影部分的面積＝6×34×（433）故選：A．如圖邊長相等的正八邊形和正方形部分重疊擺放在一起已知正方形面積是2那么非陰影部分面積是（）A．6 B．6+2 C．2+42 D【解答】解：∵正方形面積是2∴其邊長為：2如圖將正八邊形的每一條邊延長可得正方形ABCD∵正八邊形的每個內(nèi)角為180°-360°8=∴∠AEF＝45°∴△AEF為等腰直角三角形在Rt△AEF中AE＝EF?sin45°=2∴AB=2+1×2∴正八邊形的面積為：S正方形ABCD﹣4S△AEF=(2=4+42∴非陰影部分面積是S正八邊形﹣S正方形=4+42-2＝2故選：C．如圖所示的正八邊形的邊長為2則對角線AB的長為（）A．22+2 B．4 C．2+2 D【解答】解：∵多邊形是正八邊形∴∠ACD＝∠BDC=(8-2)×180°8=過C作CE⊥AB于E過D作DF⊥AB于F則四邊形CEDF是矩形∴CD＝EFAC＝BD＝2∠DCE＝∠CEA＝∠CEF＝90°∴∠ACE＝45°∴AE＝BF=22×∴AB=2+2+2故選：A．正多邊形與坐標(biāo)軸如圖正六邊形ABCDEF的半徑OA＝2則點B的坐標(biāo)為（）A．（-31） B．（﹣13） C．（﹣2-3） D．（-3【解答】解：連接OB∵正六邊形ABCDEF的半徑OA＝OD＝2∴OB＝OA＝AB＝2∠ABO＝∠60°∴∠OBH＝60°∴BH=12OB＝1OH＝OBcos∠OBH=3∴B（-31）故選：A．如圖正五邊形ABCDE的頂點A在y軸正半軸上邊CD∥x軸若點E坐標(biāo)為（32）則點B的坐標(biāo)為（）A．（3﹣2） B．（﹣32） C．（﹣3﹣2） D．（2﹣3）【解答】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：該正五邊形關(guān)于y軸對稱所以點E和點B關(guān)于y軸對稱∵點E的坐標(biāo)為（32）∴點B的坐標(biāo)為（﹣32）故選：B．如圖ABCDEF是中心為原點O頂點AD在x軸上半徑為4的正六邊形則頂點F的坐標(biāo)為（）A．（223） B．（﹣22） C．（﹣223） D．（﹣13）【解答】解：連接OF．∵∠AOF=360°6=60°OA∴△AOF是等邊三角形∴OA＝OF＝4設(shè)EF交y軸于G則∠GOF＝30°．在Rt△GOF中∵∠GOF＝30°OF＝4∴GF＝2OG＝23．∴F（﹣223）．故選：C．如圖邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點O重合AF∥x軸將正六邊形ABCDEF繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)n次每次旋轉(zhuǎn)60°當(dāng)n＝100時頂點A的坐標(biāo)為（）A．（﹣223） B．（﹣2﹣23） C．（2﹣23） D．（223）【解答】解：連接OA∠AOH＝30°AH＝2∴OH=OA2∵六邊形ABCDEF是正六邊形∴正六邊形ABCDEF繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)6次回到原位置100÷6＝16…4∴當(dāng)n＝100時頂點A的坐標(biāo)為（﹣2﹣23）故選：B．正多邊形與規(guī)律如圖是一長條型鏈子其外型由邊長為1cm的正六邊形排列而成．其中每個黑色六邊形與6個白色六邊形相鄰．若鏈子上有59個黑色六邊形則此鏈子上的白色六邊形個數(shù)為（）A．348 B．238 C．354 D．355【解答】解：根據(jù)題意分析可得：其中左邊第一個黑色六邊形與6個白色六邊形相鄰．即每增加一個黑色六邊形則需增加4個白色六邊形．若鏈子上有59個黑色六邊形則鏈子共有白色六邊形6+58×4＝238（個）．故選：B．如圖一組有規(guī)律的正多邊形各正多邊形中的陰影部分面積均為a按此規(guī)律則第n個正多邊形的面積為（）A．n+13a B．n+12a C．n(【解答】解：n＝1時S＝a；n＝2時過A作AE⊥BD于E則∠ABE＝30°設(shè)正六邊形的邊長為2x則AE＝xBE=3xBD＝23x即a＝2x?23x＝43x2又正六邊形面積為6×12×2x?3x＝63x2n＝3時作AD⊥BE于DFG⊥BE于G則∠ABD＝45°設(shè)正八邊形的邊長為2x則BD＝AD=2x△ABD的面積為x2四邊形ABEF面積為（2+22）x2則a＝2x?（2+22）x＝（4+42）x2正八邊形面積為2a．通過計算可以看出第n個正多邊形的面積為n+12故選：B．如圖將幾個全等的正八邊形進(jìn)行拼接相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊圍成一圖后中間形成一個正方形．設(shè)正方形的邊長為1則該圖形外輪的周長為20；若n個全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形且相鄰的兩個正多邊形有一條公共邊設(shè)正三角形的邊長為1則該圖形外輪廓的周長是27．【解答】解：由拼圖可知每個正八邊形有5條邊在“外圍”因此周長為5×4＝20若n個全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形且相鄰的兩個正多邊形有一條公共邊可知這個正多邊形為正十二邊形如圖則“外圍”的周長為（12﹣3）×3＝27故答案為：20如圖邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中邊AB在x軸正半軸上頂點F在y軸正半軸上將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)每次旋轉(zhuǎn)60°那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標(biāo)為(-3【解答】解：如圖連接ADBD在正六邊形ABCDEF中∵AB＝1AD＝2∠ABD＝90°∴BD=A在Rt△AOF中AF＝1∠OAF＝60°∴∠OFA＝30°OA=12AF∴OB＝OA+AB=12+∴點D的坐標(biāo)為（32故答案為：（32∵將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)每次旋轉(zhuǎn)60°∴6次一個循環(huán)∵2025÷6＝337……3∴經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的D3的坐標(biāo)相同∵D與D3關(guān)于原點對稱∴D3（-32∴經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標(biāo)（-3綜合運用閱讀與思考請閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)：克羅狄斯?托勒密（約90年﹣168年）是希臘數(shù)學(xué)家天文學(xué)家地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面他還論證了四邊形的特性即有名的托勒密定理托勒密定理的內(nèi)容如下：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．即：如圖1若四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O則有AB?CD+AD?BC＝AC?BD．任務(wù)：（1）材料中劃橫線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為AB?CD+AD?BC＝AC?BD．（2）如圖2正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙OAB＝2求對角線BD的長．【解答】解：（1）根據(jù)托勒密定理可得：AB?CD+AD?BC＝AC?BD故答案為：AB?CD+AD?BC＝AC?BD；（2）如2圖連接AD、AC．∵五邊形ABCDE是正五邊形∴△ABC≌△DCB≌△AED（SAS）∴設(shè)BD＝AC＝AD＝x．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中由托勒密定理可得：AB?CD+AD?BC＝AC?BD即2×2+x?2＝x2解得：x1＝1+5x2＝1-∴對角線BD的長為1+5（1）如圖1△ABC為等邊三角形點M是BC上一點點N是CA上一點BM＝CNBN、AM相交于點Q求∠BQM的度數(shù)；（2）當(dāng)（1）中的“等邊△ABC”的邊數(shù)逐漸增加分別變?yōu)檎叫蜛BCD（如圖2）、正五邊形ABCDE（如圖3）、正六邊形ABCDEF（如圖4）…“點N是CA上一點”變?yōu)辄cN是CD上一點其余條件不變分別確定∠BQM的度數(shù)并直接將結(jié)論填入下表：正多邊形正方形正五邊形正六邊形…正n邊形∠BQM的度數(shù)90°108°120°…(n【解答】解：（1）在△ABM與△BCN中AB=∴△ABM≌△BCN（SAS）∴∠BAM＝∠NBC∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ＝∠NBC+∠ABQ＝∠ABM＝60°∴∠AQN＝60°．（2）由（1）可知∠AQN＝各個多邊形的一個角的大小所以正方形中∠AQN＝90°正五邊形中∠AQN＝108°正六邊形中∠AQN＝120°…正n邊形中∠AQN=(故答案為：90°108°120°(n一．選擇題（共8小題）1．如圖在擰開一個邊長為的正六角形螺帽時扳手張開的開口則這個正六邊形的面積為A． B． C． D．【解答】解：如圖：作于由正六邊形得．由得．即解得這個正六邊形的面積故選．2．有一個正邊形的中心角是則為A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：故選：．3．如圖與正六邊形的邊分別交于點點為劣弧的中點．若．則點到的距離是A．4 B． C． D．【解答】解：連接過作于正六邊形點為劣弧的中點故選：．4．如圖點、、分別是邊長為2的正六邊形中不相鄰三條邊的中點則的周長為A．6 B． C． D．9【解答】解：分別過正六邊形的頂點作于于則的周長故選：．5．一個圓的內(nèi)接正多邊形中一條邊所對的圓心角為則該正多邊形的邊數(shù)是A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為．由題意可得：故選：．6．已知一個正多邊形的中心角為則以該正多邊形的頂點為頂點的等腰三角形的種類數(shù)（全等的三角形為同一類）是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由于一個正多邊形的中心角為所以這個正多邊形的邊數(shù)為如圖以正八邊形的頂點為頂點的等腰三角形（全等的三角形為同一類）有共3個故選：．7．如圖正六邊形內(nèi)接于為的中點連接若的半徑為2則的長度為A． B． C．2 D．1【解答】解：連接、、如圖所示：正六邊形內(nèi)接于為的中點；故選：．8．如圖正五邊形內(nèi)接于則正五邊形中心角的度數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：五邊形是的內(nèi)接正五邊形五邊形的中心角的度數(shù)為故選：．二．填空題（共4小題）9．如圖如果、分別是圓的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊一定是圓的內(nèi)接正邊形的一條邊那么12．【解答】解：連接、、如圖分別為的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊即恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．故答案為：12．10．已知邊長為2的正三角形能將其完全覆蓋的最小圓的面積為．【解答】解：連接、過作于是邊長為4的等邊三角形能夠完全覆蓋這個正三角形的最小圓的面積為：故答案為：．11．如圖萬名塔