2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強化題型）（人教版）二次函數(shù)的應(yīng)用（基礎(chǔ)）（解析版）

二次函數(shù)的應(yīng)用目錄一般式求解析式 1兩點式求解析式 3頂點式求解析式 5二次函數(shù)與x軸的交點問題 7二次函數(shù)與最值 10二次函數(shù)與銷售問題 11二次函數(shù)應(yīng)用題 15二次函數(shù)與面積最值 18一般式求解析式一般式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點．求這個二次函數(shù)的解析式并寫出圖象的對稱軸和頂點．【解答】解：把代入中得②①得解得：把代入①中得解得：這個二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)對稱軸是直線由二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式可得二次函數(shù)頂點坐標(biāo)：即．二次函數(shù)的解析式對稱軸是直線頂點坐標(biāo)是．已知拋物線經(jīng)過三點（1）求該拋物線的解析式；（2）利用配方法或公式法求該拋物線的頂點坐標(biāo)和對稱軸．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為．把代入得解得．故該拋物線解析式為：或．（2）．拋物線的頂點坐標(biāo)是對稱軸是直線．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、三點．（1）求該函數(shù)解析式；（2）用配方法將該函數(shù)解析式化為的形式．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、三點解得該函數(shù)解析式為；（2）．已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．（1）求二次函數(shù)的解析式并求出圖象的頂點的坐標(biāo)；（2）設(shè)點在該拋物線上若直接寫出的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為把和代入得解得：拋物線解析式為頂點的坐標(biāo)為；（2）拋物線的對稱軸為直線關(guān)于直線的對稱點為在該拋物線上且．兩點式求解析式交點式：交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求此拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、．二次函數(shù)的解析式為：；（2）拋物線的對稱軸為直線頂點坐標(biāo)為．已知：拋物線經(jīng)過、兩點頂點為．求：（1）求拋物線的解析式；（2）求的面積．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為所以；（2）因為則點坐標(biāo)為所以的面積．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點．（1）求這個函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)頂點的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時直接寫出的取值范圍．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點設(shè)二次函數(shù)的解析式為把代入得解得：．拋物線解析式為；（2）二次函數(shù)頂點坐標(biāo)為；（3）拋物線開口向下對稱軸為直線當(dāng)時函數(shù)有最大值把代入得當(dāng)時的取值范圍是．如圖拋物線分別經(jīng)過點．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求當(dāng)時自變量的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為把代入得解得所以拋物線的解析式為即；（2）把代入得解得或交點為拋物線開口向下當(dāng)時自變量的取值范圍為．頂點式求解析式頂點式：頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)已知二次函數(shù)的圖象以點為頂點且過點．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）直接寫出隨的增大而增大時自變量的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為把代入得解得所以拋物線解析式為即；（2）拋物線開口向下對稱軸為直線隨的增大而增大時自變量的取值范圍是．已知某二次函數(shù)的圖象的頂點為且過點．（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式．（2）判斷點是否在這個二次函數(shù)的圖象上并說明理由．【解答】解：（1）由頂點可設(shè)拋物線為：將點代入上式可得：解得所以二次函數(shù)的關(guān)系式．（2）點不在這個二次函數(shù)的圖象上理由如下：把代入得點不在這個二次函數(shù)的圖象上．已知拋物線的頂點坐標(biāo)為且過點．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式；（2）直接寫出該拋物線的開口方向及對稱軸．【解答】解：（1）拋物線頂點坐標(biāo)設(shè)拋物線解析式為拋物線經(jīng)過點解得：則該拋物線解析式為；（2）拋物線解析式為該拋物線的開口向上對稱軸為直線．已知拋物線的對稱軸為直線且過點．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）寫出拋物線的開口方向及頂點坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線的對稱軸是直線拋物線解析式為拋物線過解得拋物線解析式為；（2）拋物線為拋物線的開口向下頂點為．二次函數(shù)與x軸的交點問題判別式情況b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸的交點a＞0a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)根有兩個不相等的實數(shù)根x1x2有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2沒有實數(shù)根拋物線與軸只有一個公共點則的值為A． B． C． D．4【解答】解：拋物線與軸只有一個公共點方程有兩個相等的實數(shù)根△．故選：．二次函數(shù)與軸有兩個不同的交點的值可以是A． B． C． D．【解答】解：令則△二次函數(shù)圖象與軸由兩個不同交點即或．故選：．二次函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)為A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個【解答】解：二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同交點故選：．二次函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)是A．2個 B．1個 C．0個 D．不能確定【解答】解：由二次函數(shù)知拋物線與軸只有兩個公共點．故選：．已知二次函數(shù)與軸有交點則的取值范圍是A． B． C．且 D．且【解答】解：令則△當(dāng)時即時圖象與軸有交點且故選：．已知二次函數(shù)的圖象與軸只有一個公共點則的值為A．4 B．2 C．0 D．【解答】解：二次函數(shù)的圖象與軸只有一個公共點△解得．故選：．若拋物線與軸只有一個交點則的值為A． B．0 C．1 D．2【解答】解：拋物線與軸只有一個交點△解得故選：．已知拋物線是常數(shù)）與軸只有唯一的交點則的值為A． B．1 C．或1 D．或7【解答】解：拋物線是常數(shù)）與軸只有唯一的交點△．的值為或故選：．二次函數(shù)與最值已知二次函數(shù)當(dāng)時函數(shù)的最大值與最小值的差為A．4 B．5 C．8 D．9【解答】解：二次函數(shù)該函數(shù)圖象開口向上對稱軸是直線當(dāng)時該函數(shù)取得最大值此時當(dāng)時該函數(shù)取得最小值此時當(dāng)時函數(shù)的最大值與最小值的差為9故選：．已知二次函數(shù)當(dāng)時有最小值7最大值11則的值為A．3 B．9 C． D．【解答】解：二次函數(shù)該二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時函數(shù)的最值為和當(dāng)時有最小值7最大值11即故選：．已知二次函數(shù)當(dāng)時則函數(shù)的最小值和最大值為A．和5 B．和5 C．和 D．和5【解答】解：二次函數(shù)該函數(shù)圖象開口向上當(dāng)該函數(shù)取得最小值當(dāng)時該函數(shù)取得最小值；當(dāng)時該函數(shù)取得最大值此時；故選：．已知二次函數(shù)關(guān)于該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)下列說法正確的是A．有最大值4有最小值0 B．有最大值0有最小值 C．有最大值4有最小值 D．有最大值5有最小值【解答】解：二次函數(shù)該函數(shù)的對稱軸是直線函數(shù)圖象開口向下當(dāng)時時取得最大值5當(dāng)時取得最小值故選：．二次函數(shù)與銷售問題某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件第一批花了6600元第二批花了8000元第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍且第二批比第一批多購進50個．（1）求第二批每個掛件的進價；（2）兩批掛件售完后該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價為每個60元時每周能賣出40個若每降價1元每周多賣10個由于貨源緊缺每周最多能賣90個求每個掛件售價定為多少元時每周可獲得最大利潤最大利潤是多少？【解答】解：（1）設(shè)第二批每個掛件的進價為元則第一批每個掛件的進價為元根據(jù)題意可得解得．經(jīng)檢驗是原分式方程的解且符合實際意義．第二批每個掛件的進價為40元．（2）設(shè)每個售價定為元每周所獲利潤為元根據(jù)題意可知當(dāng)時隨的增大而減小當(dāng)時取最大此時．當(dāng)每個掛件售價定為58元時每周可獲得最大利潤最大利潤是1080元．2022年廣西雨水增多種植荔枝的果農(nóng)損失嚴重為了增加農(nóng)民收入助力鄉(xiāng)村振興．某駐村干部指導(dǎo)農(nóng)戶進行荔枝種植和銷售已知荔枝的種植成本為8元經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)今年端午節(jié)期間荔枝的銷售量（單位：與銷售單價（單位：元滿足的函數(shù)圖象如圖所示．（1）根據(jù)圖象信息求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價為30元時銷售荔枝獲得的利潤是多少元？（3）求端午節(jié)期間銷售荔枝獲得的最大利潤．【解答】解：（1）當(dāng)時設(shè)則解得：當(dāng)時當(dāng)時．（2）當(dāng)時當(dāng)荔枝的銷售單價定為30元千克時荔枝的銷售量為126千克；（3）設(shè)利潤為則：當(dāng)時開口向下對稱軸為直線當(dāng)時隨的增大而增大時當(dāng)時隨的增大而增大時最大利潤為3840元．某工廠開發(fā)生產(chǎn)一種新產(chǎn)品設(shè)生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為（件．總銷售額為（元且與之間滿足正比例函數(shù)關(guān)系當(dāng)時；總成本為（元與之間關(guān)系滿足下表．產(chǎn)品數(shù)量（件1234總成本（元15025150501507515100（1）分別求出、與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)工廠的總利潤為（元求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）至少生產(chǎn)并銷售多少件產(chǎn)品后工廠才不會虧損．【解答】解：（1）與之間滿足正比例函數(shù)關(guān)系當(dāng)時；設(shè)與之間關(guān)系為將代入得：解得；答：；（2）根據(jù)題意得：；答：；（3）當(dāng)即時工廠才不會虧損解得答：至少生產(chǎn)并銷售1000件產(chǎn)品后工廠才不會虧損．東平湖景區(qū)在2021年春節(jié)長假期間共接待游客達20萬人次預(yù)計在2023年春節(jié)長假期間將接待游客達28.8萬人次．（1）求景區(qū)2021至2023年春節(jié)長假期間接待游客人次的平均增長率；（2）景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶每杯成本價為6元根據(jù)銷售經(jīng)驗在旅游旺季若每杯定價25元則平均每天可銷售300杯若每杯價格降低1元則平均每天可多銷售30杯店家決定進行降價促銷活動則當(dāng)每杯售價定為多少元時既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額？【解答】解：（1）設(shè)景區(qū)2021至2023年春節(jié)長假期間接待游客人次的平均增長率是根據(jù)題意得：解得答：景區(qū)2021至2023年春節(jié)長假期間接待游客人次的平均增長率是；（2）設(shè)每杯售價定為元根據(jù)題意得：解得或讓顧客獲得最大優(yōu)惠取20答：當(dāng)每杯售價定為20元時既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠又可讓店家在此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤額．二次函數(shù)應(yīng)用題如圖要建一個矩形倉庫一邊靠墻（墻長并在邊上開一道寬的門現(xiàn)在可用的材料為長的木板．（1）若倉庫的面積為150平米求．（2）當(dāng)倉庫的面積最大時求并指出倉庫的最大面積．【解答】解：（1）設(shè)的長為則根據(jù)題意得解得：當(dāng)時當(dāng)時（不合題意舍去）；（2）設(shè)倉庫的面積為平方米根據(jù)題意得當(dāng)時答：當(dāng)時倉庫的最大面積為200平方米．為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》某校準備在校園里利用圍墻（墻長和長的籬笆墻圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外實線部分為籬笆墻且不浪費籬笆墻）請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①全部利用圍墻的長度但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度的水池且需保證總種植面積為試分別確定、的長；（2）方案二：如圖②使圍成的兩塊矩形總種植面積最大請問應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？【解答】解：（1）Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為設(shè)水池的長為則水池的面積為解得即的長為、的長為；（2）設(shè)長為則長度為總種植面積為當(dāng)時總種植面積有最大值為即應(yīng)設(shè)計為總種植面積最大此時最大面積為．如圖學(xué)校要用一段長為36米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形花圃墻長為16米．（1）若矩形的面積為144平方米求矩形的邊的長．（2）要想使花圃的面積最大、邊的長應(yīng)為多少米？最大面積為多少平方米？【解答】解：（1）設(shè)為米則米由題意得：解得：墻長為16米36米的籬笆答：矩形的邊的長為12米；（2）設(shè)為米矩形的面積為平方米則米且故拋物線開口向下當(dāng)時有最大值是160答：邊的長應(yīng)為10米時有最大面積且最大面積為160平方米．如圖某農(nóng)戶準備圍成一個長方形養(yǎng)雞場養(yǎng)雞場靠墻米）另三邊利用現(xiàn)有的36米長的籬笆圍成若要在與墻平行的一邊開一扇2米寬的門且籬笆沒有剩余．（1）若圍成的養(yǎng)雞場面積為120平方米則這個養(yǎng)雞場與墻垂直的一邊和與墻平行的一邊各是多少米？（2）這個養(yǎng)雞場的面積是否有最大值？若有求出這個最大值；若沒有請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)這個長方形養(yǎng)雞場與墻垂直的邊長是米則與墻平行的邊長是．即米．根據(jù)題意得：整理得解得．當(dāng)時符合題意．當(dāng)時符合題意．答：這個長方形養(yǎng)雞場與墻垂直的邊長為15米則與墻平行的邊長為6米．（2）存在理由如下：根據(jù)（1）中條件可知當(dāng)時的最大值為此時符合題意當(dāng)這個長方形養(yǎng)雞場與墻垂直的邊長為米則與墻平行的邊長為17米時面積的最大值為平方米．二次函數(shù)與面積最值如圖拋物線．與軸交于兩點與軸交于直線經(jīng)過點且與拋物線交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）若是位于直線上方的拋物線上的一個動點連接求的面積的最大值．【解答】解：（1）直線經(jīng)過點令則將代入得：解得：拋物線的解析式為：；（2）解得：過點作軸交于設(shè)則的面積當(dāng)時的面積最大且最大值是．如圖已知拋物線與直線的一個交點在軸上、另一交點為點直線與軸交于點拋物線的對稱軸為直線交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）點是拋物線上、之間的一點連接、當(dāng)面積最小時求點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）令根據(jù)題意得：．拋物線的對稱軸為直線．解得．拋物線解析式為；（2）聯(lián)立方程組解得．．設(shè)．頂點坐標(biāo)為對稱軸為直線．令時解得．．．．開口向上．當(dāng)時故．如圖拋物線過點、、連結(jié)、點以每秒1個單位長的速度從點運動到點．同時點以相同的速度從點出發(fā)沿著射線運動點到達點時、兩點同時停止運動設(shè)點運動時間為．（1）求拋物線的解析式；（2）點運動過程中的面積為．求與的函數(shù)關(guān)系并求出的最大值．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為解得；（2）過點作軸交于點過作作軸交于點當(dāng)時當(dāng)時有最大值；當(dāng)時當(dāng)時有最大值2；綜上所述：；；的最大值為21．據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)合肥市2021年第一季度總值約為2.4千億元人民幣若我市第三季度總值為千億元人民幣平均每個季度增長的百分率為則關(guān)于的函數(shù)表達式是A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意得關(guān)于的函數(shù)表達式是：．故選：．2．已知的圖象如圖所示對稱軸為直線．若是一元二次方程的兩個根且則下列說法正確的是A． B． C． D．【解答】解：是一元二次方程的兩個根、是拋物線與軸交點的橫坐標(biāo)拋物線的對稱軸為直線即故選項錯誤；解得：故選項正確；拋物線與軸有兩個交點故選項錯誤；拋物線開口向下拋物線的對稱軸為直線故選項錯誤；故選：．3．將二次函數(shù)在軸上方的圖象沿軸翻折到軸下方圖象的其余部分不變得到一個新圖象若直線與這個新圖象有4個交點則的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：如圖所示過點的直線與新圖象有三個公共點將直線向下平移到恰在點處相切此時與新圖象也有三個公共點令解得：或6即點坐標(biāo)將一次函數(shù)與二次函數(shù)表達式聯(lián)立得：整理得：△解得：當(dāng)一次函數(shù)過點時將點坐標(biāo)代入：得：解得：綜上直線與這個新圖象有4個公共點則的值為；故選：．4．在求解方程時先在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象觀察圖象與軸的兩個交點這兩個交點的橫坐標(biāo)可以看作是方程的近似解分析圖中的信息方程的近似解是A． B． C． D．【解答】解：由圖象可知拋物線與軸的交點接近和方程的近似解是故選：．5．若二次函數(shù)在時的最大值為5則的值是A．或6 B．或6 C．或6 D．或【解答】解：拋物線開口向下拋物線的對稱軸為①當(dāng)即時當(dāng)時函數(shù)最大值為5解得：；②當(dāng)即時當(dāng)時函數(shù)最大值為5解得：．③當(dāng)即時當(dāng)時函數(shù)最大值為5解得（舍去）或（舍去）綜上所述或故選：．6．已知拋物線的頂點為有下列結(jié)論：①當(dāng)時拋物線與直線沒有交點；②若拋物線與軸有兩個交點則其中一定有一個交點在點與之間；③若點在點所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）則．其中正確結(jié)論的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由消去得到△△的值可能大于0拋物線與直線可能有交點故①錯誤．拋物線與軸有兩個交點△拋物線經(jīng)過且時拋物線與軸一定有一個交點在與之間．故②正確拋物線的頂點在點圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）且解得故③正確故選：．7．在羽毛球比賽中某次羽毛球的運動路線呈拋物線形羽毛球距地面的高度與水平距離之間的關(guān)系如圖所示點為落地點且羽毛球到達的最高點到軸的距離為那么羽毛球到達最高點時離地面的高度為A． B． C． D．【解答】解：由已知得：拋物線對稱軸為直線設(shè)拋物線解析式為解得拋物線解析式為；令得羽毛球到達最高點時離地面的高度為故選：．8．已知二次函數(shù)在時取得的最大值為15則的值為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：二次函數(shù)拋物線的對稱軸為頂點當(dāng)時當(dāng)時解得或當(dāng)時的最大值為15故選：．二．填空題（共4小題）9．二次函數(shù)最小值為．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知二次函數(shù)最小值為故答案為：．10．已知關(guān)于的一元二次方程的兩個根分別是1和若二次函數(shù)與軸有兩個交點其中一個交點坐標(biāo)是則另一個交點坐標(biāo)是．【解答】