2023年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編專題24 圓的有關(guān)位置關(guān)系（解析版）

專題24圓的有關(guān)位置關(guān)系（45題）一、單選題1．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，切于點(diǎn)B，連接交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，連接，證明，，可得，從而可得．【詳解】解：如圖，連接，

∵切于點(diǎn)B，∴，∵，，∴，∴，∴；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到，再根據(jù)勾股定理得到．【詳解】解：連接，∵是的切線，為切點(diǎn)，∴，∵，，∴在中，，∵，∴在，，故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖，連接，

直線與相切，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點(diǎn)為．若，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求解在和，最終得到，即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解．【詳解】解：如圖所示，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

∵，，∴，∴四邊形為矩形，，，∴為的切線，由題意，為的切線，∴，，∵，∴設(shè)，，，則，，在中，，在中，，∵，∴，解得：或（不合題意，舍去），∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強(qiáng)，熟練運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵．5．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在斜邊上，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，首先根據(jù)勾股定理求出，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，，證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出．【詳解】如圖所示，連接，，

∵，，，∴，∵以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴解得．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓與三角形綜合題，切線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．二、填空題6．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是外一點(diǎn)，，分別與相切于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，已知，則的度數(shù)是___________．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖，

∵，分別與相切于點(diǎn)，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，求得是解題的關(guān)鍵．7．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)，連接，若，則__________．【答案】34【分析】首先根據(jù)等邊對(duì)等角得到，然后利用外角的性質(zhì)得到，利用切線的性質(zhì)得到，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵切于點(diǎn)A，∴，∴．故答案為：34．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，與相切于點(diǎn)，連接，若，則的大小為__________．

【答案】【分析】證明，可得，結(jié)合，證明，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟記基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別與相切于兩點(diǎn)，且．若點(diǎn)是上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，則的大小為___________．

【答案】或【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，得出，然后根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，

∵分別與相切于兩點(diǎn)∴，∵．∴∵，∴，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，多邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E為邊上一點(diǎn)，以為直徑的半圓O與相切于點(diǎn)D，連接，．P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_____________．

【答案】或【分析】連接，勾股定理求出半徑，平行線分線段成比例，求出的長(zhǎng)，勾股定理求出和的長(zhǎng)，分和兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，

∵以為直徑的半圓O與相切于點(diǎn)D，∴，，∴設(shè)，則，在中：，即：，解得：，∴，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∵，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，

不存在的情況；綜上：的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，等腰三角形的定義．熟練掌握切線的性質(zhì)，等腰三角形的定義，確定點(diǎn)的位置，是解題的關(guān)鍵．11．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且．若，，則的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】連接，證明，設(shè)，則，再證明，列出比例式計(jì)算即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切于點(diǎn)A，∴；∵,∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，∴，解得，故的長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判斷和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則_________．

【答案】【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線長(zhǎng)定理得到，進(jìn)而推出是的垂直平分線，即，則．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于H，∵是的內(nèi)切圓，∴分別是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵與分別相切于點(diǎn)，，∴，又∵，∴是的垂直平分線，∴，即，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊所在的直線相切時(shí)，r的值為________．

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于邊上的高，根據(jù)直角三角形的面積不變性計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于邊上的高，∴,∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點(diǎn)為的直徑，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，為軸上一點(diǎn)，的面積為6，則的值為________．

【答案】24【分析】設(shè)，則，則，根據(jù)三角形的面積公式得出，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，∵與軸相切于點(diǎn)，∴軸，∴，則點(diǎn)D到的距離為a，∵為的直徑，∴，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握切線的定義：經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．15．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，，半徑為2的與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)，則t的取值范圍是_____．

【答案】【分析】利用切線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再求得，分兩種情況討論，畫出圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)與兩邊的切點(diǎn)分別為D、G，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，

由，∵，∴，∴，∴，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，

同理，∵，∴，當(dāng)與相切時(shí)，有最大或最小值，連接，∵D、E都是切點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴的最大值為；如圖，

同理，的最小值為；綜上，t的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得是解題的關(guān)鍵．16．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為直徑，為弦，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

（1）若，則的長(zhǎng)是_________（結(jié)果保留）；（2）若，則_________．【答案】；【分析】（1）連接，根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；（2）連接，根據(jù)垂徑定理的推論得出，是的切線，則,得出，根據(jù)平行線分線段成比例得出，設(shè)，則，勾股定理求得,J進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）如圖，連接，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．（2）解：如圖，連接，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵是的切線，∴,∴∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，且，如果過點(diǎn)A，過點(diǎn)D，若與有公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是________．【答案】【分析】先畫出圖形，連接，利用勾股定理可得，，從而可得，再根據(jù)與有公共點(diǎn)可得一個(gè)關(guān)于的不等式組，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：由題意畫出圖形如下：連接，

過點(diǎn)，且，的半徑為7，過點(diǎn)，它的半徑為，且，，，，，在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，即，，與有公共點(diǎn)，，即，不等式①可化為，解方程得：或，畫出函數(shù)的大致圖象如下：

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即不等式①的解集為，同理可得：不等式②的解集為或，則不等式組的解集為，又，半徑r的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)與不等式，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系正確建立不等式組是解題關(guān)鍵．三、解答題18．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．（2）根據(jù)是的切線，可得，在中，勾股定理求得，根據(jù)，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵于點(diǎn)，∴，∴．

（2）∵是的切線，是的半徑，∴．在中，∵，∴．∵，∴∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若直徑，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，余角的性質(zhì)即可求得結(jié)論；(2)根據(jù)已知條件可知，再根據(jù)正切的定義和相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系即可求得線段的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，即，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵在中，∴∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，又∵，即，解得（取正值），∴，【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定定理，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，找出正切的定義與相似三角形相似比的關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的與相交于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，且．

(1)求的長(zhǎng)；(2)若，求證：為的切線．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）如圖所示，連接，先求出，再由圓周角定理得到，進(jìn)而求出，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；（2）如圖所示，連接，先由三角形內(nèi)角和定理得到，則由圓周角定理可得，再由是的直徑，得到，進(jìn)而求出，進(jìn)一步推出，由此即可證明是的切線．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵是的直徑，且，∴，∵E為上一點(diǎn)，且，∴，∴，∴的長(zhǎng)；

（2）證明：如圖所示，連接，∵，，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求弧長(zhǎng)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作．

(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)；（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）(2)在（1）的條件下，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，即可求解；（2）根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對(duì)的圓周角是直角，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明，即可得證．【詳解】（1）解：方法不唯一，如圖所示．

（2）∵，∴．又∵，∴，∴．∵點(diǎn)在以為直徑的圓上，∴，∴．又∵為的切線，∴．∵，∴，∴，∴．∵在和中，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且．

(1)求證：EF與相切；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用圓周角定理得到，結(jié)合已知推出，再證明，推出，即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)半徑為x，則，在中，利用正弦函數(shù)求得半徑的長(zhǎng)，再在中，解直角三角形即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵為半徑，∴EF與相切；（2）解：設(shè)半徑為x，則，∵，，∴，在中，，，∴，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，∴半徑為4，則，在中，，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，，垂足為E．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖：，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得、即，再根據(jù)可得，進(jìn)而得到即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接，有圓周角定理可得，再解直角三角形可得，進(jìn)而得到，然后說明，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接

∵，∴,∵，∴,∴,∴,∴?！?，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：如圖：連接∵是的直徑，∴,在中，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線證明、圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．24．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：是切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可推出，利用已知條件進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換即可求出，最后利用可證明，從而證明是切線．（2）根據(jù)互余的兩個(gè)角相等，利用可求出，設(shè)參數(shù)表示出和，再根據(jù)勾股定理用參數(shù)表示出和，最后利用即可求出參數(shù)的值，從而求出長(zhǎng)度，即可求的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：連接，，如圖所示，

，為的直徑，，，，，，，，，，，是切線．（2）解：連接，如圖所示，

由（1）得，，，，．，．設(shè)則，在中，，．在中，．，，．．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于利用參數(shù)表達(dá)線段長(zhǎng)度．25．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，（2）先由“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，證是直角三角形，用勾股定理求出長(zhǎng)，再通過三角形相似即可求解．【詳解】（1）連接

∵為的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，為半徑，∴為的切線，（2）∵為直徑，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴，

在中，由勾股定理得：．【點(diǎn)睛】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．26．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)C，連接，．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)的半徑為【分析】（1）利用兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似，得出結(jié)論；（2）連接，由圓周角定理得出，證出，由切線的判定可得出結(jié)論；（3）由相似三角形的性質(zhì)得出，由比例線段求出和的長(zhǎng)，可求出的長(zhǎng)，則可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴；（2）證明：連接，

∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（3）解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴．∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，，，以O(shè)為圓心，為半徑畫圓，請(qǐng)按下列步驟完成作圖，并回答問題：①過點(diǎn)A作切線，且（點(diǎn)C在A的上方）；②連接，交于點(diǎn)D；③連接，與交于點(diǎn)E．(1)求證：為的切線；(2)求的長(zhǎng)度．【答案】(1)畫圖見解析，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，即可證明出為的切線；（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）如圖所示，∵是的切線，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)D在上，∴為的切線；（2）∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴解得．【點(diǎn)睛】此題考查了格點(diǎn)作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．28．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知：點(diǎn)是外一點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：如圖，過點(diǎn)作出的兩條切線，，切點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且．求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）①連接，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫圓，兩圓交于點(diǎn)兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，與交于兩點(diǎn)，作直線，（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

①連接，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，與交于兩點(diǎn)，作直線，則直線即為所求；（2）如圖所示，點(diǎn)在上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），且，∵是的切線，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．29．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是斜邊上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，由角平分線的定義可得，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，從而可得，再根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；（2）連接，，由，，可得，，再由直角三角形的性質(zhì)可得，再由圓周角定理可得，根據(jù)角平分線的定義可得，利用銳角三角函數(shù)求得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，證明是等邊三角形，可得，從而證明是等邊三角形，可得垂直平分，再由，可得，從而可得，再利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，是的半徑，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴于點(diǎn)D，又∵為的半徑，∴是的切線．（2）解：連接，，∵在中，，，∴，，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，在中，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，又∵，∴垂直平分，∵，，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)及扇形的面積公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．30．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知內(nèi)接于的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的切線于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求證：平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得，由圓周角定理可得，即，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)平行線的判定定理即可解答；（2）由圓周角定理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合得到即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明是的切線，，即．是的直徑，．∴．，，，即，．（2）解：與都是所對(duì)的圓周角，．，，．由（1）知，，平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．31．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，于，以為直徑的分別交，于點(diǎn)，，連接．

(1)求證：①是的切線；②；(2)若，，求．【答案】(1)①見解析，②見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，根據(jù)，可得，進(jìn)而即可得證；②連接，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得出，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出，進(jìn)而可得，結(jié)合，即可得證；（2）連接交于．根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)等面積法求得，由得：，在中，即可求解．【詳解】（1）證明：①四邊形是菱形，，，則又為的半徑的外端點(diǎn)，是的切線．②連接，

∵∴為直徑，，而，又．（2）解：連接交于．

菱形，，，，，在中，，，，，在中，，由得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求角的正弦值，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．32．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分，與相切于點(diǎn)A，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作，垂足為B．

(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到即可證明；（2）首先根據(jù)勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可．【詳解】（1）∵與相切于點(diǎn)A，∴，∵平分，，∴，∴是的切線；（2）∵的半徑為4，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了圓切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．33．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)，是的切線，且，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)已知可得，則，又，等量代換得出，即可證明；（2）連接，證明，在中，，求得，根據(jù)得出，進(jìn)而可得，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵以為直徑的交于點(diǎn)，是的切線，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴；（2）解：連接，如圖，則，

∴，∴，∴，在中，，∴，∴，又∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行線分線段成比例，正切的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．34．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是直徑，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)．在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，連接，使．

(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由是直徑，得，再證，從而有，于是即可證明結(jié)論成立；（2）由圓周角定理求得，在中，解直角三角形得，從而利用扇形及三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

∵是直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴直線是的切線；（2）解：∵，，∴，∴，∵在中，，，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式以及解直角三角形，熟練掌握?qǐng)A周角定理，切線的判定以及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．35．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在上，以為圓心，為半徑的半圓分別交，于點(diǎn)，且點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接、，證出，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)，分別求出和即可得出答案．【詳解】（1）連接、，

，，，，，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，，，為半徑，是的切線；（2），，為等腰直角三角形，設(shè)，則，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定定理、扇形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理．36．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．

(1)求證：直線是的切線；(2)當(dāng)時(shí)，判斷的形狀，并說明理由；(3)在（2）的條件下，，連接交于點(diǎn)P，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)是等邊三角形，理由見解析(3)【分析】（1）證明，可推出，即可證明直線是的切線；（2）證明，，得到，據(jù)此計(jì)算即可證明結(jié)論成立；（3）利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求得，得到等邊的邊長(zhǎng)，在中，利用余弦函數(shù)即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴直線是的切線；（2）解：是等邊三角形，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∴是等邊三角形；（3）解：∵是等邊三角形，∴，則，∵，∴，∴，∵為的直徑，，∴，∵，，即，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了圓和三角形的綜合題，切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．37．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)E，C在上，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，垂直于過C點(diǎn)的直線，垂足為D，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；(2)若，，①求的半徑；②求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)①3；②2【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等和等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得到，推出，進(jìn)而得到，再利用圓的切線的判定定理即可證明結(jié)論；（2）①連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角和平行線的判定，得到，進(jìn)而得到，再利用銳角三角函數(shù)，求得，即可求出的半徑；②利用銳角三角函數(shù)，分別求出和的長(zhǎng)，即可得到線段的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：①如圖，連接，

是直徑，，，，，，，，，，的半徑為；②由（1）可知，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是圓和三角形綜合題，考查了圓的切線的判定定理，圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)，靈活運(yùn)用正弦值求邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．38．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過點(diǎn)C做射線的垂線，垂足為E．

(1)求證：是切線；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接OC，證明，即可得到結(jié)論；（2）連接AC，證明，從而可得，再代入求值即可；（2）連接，證明，從而可得，，求出扇形的面積即可得到陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：連接，

∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴半徑，∴是切線；（2）連接，

∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）連接，

∵，∴，∵在中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、切線的判定以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的判定定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．39．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，，E為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)是的外接圓，得到，由平行線的性質(zhì)，得到，即可得證．（2）連接，等邊對(duì)等角，求出的度數(shù)，圓周角定理求出度數(shù)，得到為等邊三角形，求出半徑和的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵是的外接圓，∴點(diǎn)是三邊中垂線的交點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；

（2）解：連接，

∵，∴，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，求弧長(zhǎng)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．40．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，以為直徑的是的外接圓，延長(zhǎng)到點(diǎn)D．使得，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上，交于N，交于G．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）由是的直徑得到，則，由得到，則，結(jié)論得證；（2）證明，則，可得，解得或3，由即可得到的長(zhǎng)；（3）先證明，則，得到，由得到，則，由同角的余角相等得到，則，得，進(jìn)一步得到，則，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切線；（2）∵，，∴，∴，∴，解得或3，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵，即，∴；（3）證明：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．41．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)經(jīng)過兩點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；(2)已知的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用垂徑定理得，利用菱形的性質(zhì)得，利用半徑相等得，即可證明，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)，由題意得，求得，由勾股定理得到，求得，利用菱形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，由垂徑定理知，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：∵四邊形是菱形，，∴設(shè)，∵的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為，∴在中，，∴，，∴，∵四邊形是菱形，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．42．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)O在上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過C、D兩點(diǎn)．

(1