2023學(xué)年中考數(shù)學(xué)全真模擬預(yù)測試卷（解析版）

一、精心選一選：本大題共8小題，每小題4分，共32分。每小題給出的四個

選項(xiàng)中有且只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的，答對的得4分，答錯、不答或答

案超過一個的一律得0分。

1.（4分）（2023?胡文）2023的相反數(shù)是（）

A.2023B.-2023C.熹D.-熹

考相反數(shù).

八占、、??

分直接根據(jù)相反數(shù)的定義求解.

析：

解解：2023的相反數(shù)為-2023.

答：故選B.

點(diǎn)本題考查了相反數(shù)：a的相反數(shù)為-a.

評：

2.（4分）（2023?胡文）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（a+b）2=a2+b2B.3a2-2a2=a2C.-2（a-1）=-D.a64-a3=a2

2a-1

考完全平方公式；合并同類項(xiàng)；去括號與添括號；同底數(shù)幕的除法.

八占、、??

專計算題

題：

分A、原式利用完全平方公式化簡得到結(jié)果，即可作出判斷；

析：B、原式合并得到結(jié)果，即可作出判斷；

C、原式去括號得到結(jié)果，即可作出判斷；

D、原式利用同底數(shù)幕的除法法則計算得到結(jié)果，即可作出判斷.

解解：A、原式=a2+2ab+b:本選項(xiàng)錯誤；

答：B、3a2-2a2=a2,本選項(xiàng)正確；

C、-2（a-1）=-2a+2,本選項(xiàng)錯誤；

D、a6-i-a3=a3,本選項(xiàng)錯誤,

故選B

點(diǎn)此題考查了完全平方公式，合并同類項(xiàng)，去括號與添括號，以及同底數(shù)幕

評：的除法，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵.

3.（4分）（2023?胡文）對于一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：2,4,4,5,6,9.下列說法錯誤

的是（）

A.眾數(shù)是4B.中位數(shù)是5C.極差是7D.平均數(shù)是5

考極差；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)

/占、、、?

分根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和極差的定義分別進(jìn)行計算，即可求出答案.

析：

解解：4出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多,

答：則眾數(shù)是4；

共有6個數(shù)，中位數(shù)是第3,4個數(shù)的平均數(shù)，

則中位數(shù)是（4+5）4-2=4.5；

極差是9-2=7；

平均數(shù)是：（2+4+4+5+6+9）4-6=5；

故選B.

點(diǎn)此題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和極差，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中

評：的最大值減去最小值，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦?/p>

排列后，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中

出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

4.（4分）（2023?胡文）如圖，一次函數(shù)丫=（m-2）x-1的圖象經(jīng)過二、三、

四象限，則m的取值范圍是（)

B.m<0C.m>2D.m<2

考一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

八占、、??

分根據(jù)一次函數(shù)圖象所在的象限得到不等式m-2<0,據(jù)此可以求得m的取

析：值范圍.

解解：如圖，?.?一次函數(shù)y=（m-2）x-1的圖象經(jīng)過二、三、四象限，

答：電-2V0,

解得，m<2.

故選D.

點(diǎn)本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k、b的關(guān)系.解答本題

評：注意理解：直線y=kx+b所在的位置與k、b的符號有直接的關(guān)系.k>0時,

直線必經(jīng)過一、三象限.k<0時-，直線必經(jīng)過二、四象限.13>0時-，直線

與y軸正半軸相交.b=0時-，直線過原點(diǎn)；b<0時-，直線與y軸負(fù)半軸相

交.

5.（4分）（2023?胡文）如圖是一個圓柱和一個長方體的兒何體，圓柱的下底面

緊貼在長方體的上底面上，那么這個幾何體的俯視圖可能是（）

D.

考簡單組合體的三視圖.

八占、、?.

分找到從上面看所得到的圖形即可.

析:

解解：從上面可看到一個長方形里有一個圓.

答：故選C.

點(diǎn)本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

評：

6.（4分）（2023?胡文）如圖，將RtaABC（其中NB=35°,ZC=90°）繞點(diǎn)A

按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△ABC的位置，使得點(diǎn)C、A、Bi在同一條直線上，那么旋

轉(zhuǎn)角等于（）

A.55°B.70°C.125°D.145°

考旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

占?

八、、?

分根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出NBAC,然后求出NBAB，,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

析：性質(zhì)對應(yīng)邊的夾角NBAB，即為旋轉(zhuǎn)角.

解解：?.?/B=35°,ZC=90°,

答：...NBAC=90°-ZB=90°-35°=55°,

?.?點(diǎn)C、A、Bi在同一條直線上，

.*.ZBAB/=180°-ZBAC=180°-55°=125°，

???旋轉(zhuǎn)角等于125°.

故選C.

點(diǎn)本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的

評：性質(zhì)，明確對應(yīng)邊的夾角即為旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵.

7.（4分）（2023?胡文）如圖，AABC內(nèi)接于。0,ZA=50°,則N0BC的度數(shù)為

()

A.40°B.50°C.80°D.100°

考圓周角定理.

占?

/、、、?

分連接0C,利用圓周角定理即可求得NB0C的度數(shù)，然后利用等腰三角形的

析：性質(zhì)即可求得.

解解：連接0C.

答：則NB0C=2NA=100°,

V0B=0C,

Z0BC=Z0CB=180-loo=4O°.

故選A.

點(diǎn)本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)定理，正確理解定理是關(guān)鍵.

評：

8.（4分）（2023?胡文）下列四組圖形中，一定相似的是（）

A.正方形與矩形B.正方形與菱形

C.菱形與菱形D.正五邊形與正五邊形

考相似圖形.

占?

八、、?

分根據(jù)相似圖形的定義和圖形的性質(zhì)對每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出一定相似

析：的圖形.

解解：A、正方形與矩形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊不一定成比例，故不符合題意;

答：B、正方形與菱形，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義,

故不符合題意；

C、菱形與菱形，對應(yīng)邊不值相等，但是對應(yīng)角不一定相等，故不符合題意;

D、正五邊形與正五邊形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊一定成比例，符合相似的定

義，故符合題意.

故選：D.

點(diǎn)本題考查了相似形的定義，熟悉各種圖形的性質(zhì)和相似圖形的定義是解題

評：的關(guān)鍵.

二、細(xì)心填一填：本大題共8小題，每小題4分，共32分）

9.（4分）（2023?胡文）不等式2x-4Vo的解集是x<2.

考解一元一次不等式.

八占、、??

專計算題.

題：

分利用不等式的基本性質(zhì)，將兩邊不等式同時加4再除以2,不等號的方向

析：不變.

解解：不等式2x-4<0移項(xiàng)得，

答：2x<4,

系數(shù)化1得，

x<2.

點(diǎn)本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學(xué)生往往在解題時不注意移

評：項(xiàng)要改變符號這一點(diǎn)而出錯.

解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，在不等式的兩邊同時加上或減去同一

個數(shù)或整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正

數(shù)不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號

的方向改變.

10.（4分）（2023?胡文）小明同學(xué)在“百度”搜索引擎中輸入“中國夢”，搜索

到相關(guān)的結(jié)果個數(shù)約為8650000,將這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為8.65義1。6.

考科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

占?

八、、?

分科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確

析：定n的值時，要看把原數(shù)變成a時?，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與

小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值

VI時，n是負(fù)數(shù).

解解:8650000=8.65X106,

答：故答案為：8.65X106.

點(diǎn)此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10”的

評：形式，其中l(wèi)W|a|V10,n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n

的值.

11.（4分）（2023?胡文）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB/7DE,BE=CF,

請?zhí)砑右粋€條件AB=DE，使△ABCgZWEF.

考全等三角形的判定.

占?

/、、、?

專開放型.

題：

分可選擇利用AAS或SAS進(jìn)行全等的判定，答案不唯一，寫出一個符合條件

析：的即可.

解解：添加AB=DE.

答：VBE=CF,

/.BC=EF,

VAB^DE,

.*.ZB=ZDEF,

?.?在AABC和ADEF中，

'AB=DE

■NB=NDEF，

BC=EF

AABC^ADEF（SAS）.

故答案可為：AB=DE.

點(diǎn)本題考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的

評：幾種判定定理.

12.（4分）（2023?胡文）已知在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=±,則tanB的

13

值為12.

~5—

考互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系.

占?

/、、、?

分根據(jù)題意作出直角aABC,然后根據(jù)sinA=至，設(shè)一條直角邊BC為5,斜邊

“13

析：AB為13,根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊AC的長度，然后根據(jù)三角函數(shù)

的定義可求出tnaB.

解

答：

VsinA=A,

13

.,.設(shè)BC=5,AB=13,

則AC="^二

故tanB=.^=l±.

BC5

故答案為：12.

5

點(diǎn)本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是掌握三

評：角函數(shù)的定義和勾股定理的運(yùn)用.

13.（4分）（2023?胡文）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正

方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2,5,

1,2.則最大的正方形E的面積是10.

考勾股定理.

占?

/、、、?

分根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛,B,C,D的面

析：積和即為最大正方形的面積.

解解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S”C、D的面積和

答：為S2,S,+S2=S3,于是S3=Sl+S2,

即S3=2+5+1+2=10.

故答案是：10.

點(diǎn)本題考查了勾股定理的應(yīng)用.能夠發(fā)現(xiàn)正方形A,B,C,D的邊長正好是兩

評：個直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A,B,C,

D的面積和即是最大正方形的面積.

14.（4分）（2023?胡文）經(jīng)過某個路口的汽車，它可能繼續(xù)直行或向右轉(zhuǎn)，若

兩種可能性大小相同，則兩輛汽車經(jīng)過該路口全部繼續(xù)直行的概率為1.

-L

考可能性的大小.

/占、、、?

分列舉出所有情況，看兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的情況占總

析：情況的多少即可.

解解：畫樹狀圖得出：

容.直行

口.

直行右拐直行右拐

一共有4種情況，兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的有一種，

，兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的概率是：1.

4

故答案為：--

4

點(diǎn)本題主要考查用列表法與樹狀圖法求概率，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情

評：況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15.（4分）（2023?胡文）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)P在DC邊上且DP=1,

點(diǎn)Q是AC上一動點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為5.

考軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì).

八占、、??

分要求DQ+PQ的最小值，DQ,PQ不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DQ,

析：PQ的值，從而找出其最小值求解.

解解：如圖，連接BP,

答：???點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱，

.?.QB=QD,

則BP就是DQ+PQ的最小值，

???正方形ABCD的邊長是4,DP=1,

，CP=3,

..BP=.J^2^2=5,

???DQ+PQ的最小值是5.

故答案為：5.

點(diǎn)此題考查了正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，得出

評：DQ+PQ的最小時Q點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

16.(4分)(2023?胡文)統(tǒng)計學(xué)規(guī)定：某次測量得到n個結(jié)果X”x2,…，xn.當(dāng)

函數(shù)y=(x-x)2+(x-xc)2+…+(x-x)2取最小值時，對應(yīng)x的值稱為這次

測量的“最佳近似值”.若某次測量得到5個結(jié)果9.8,10.1,10.5,10.3,9.8.則

這次測量的“最佳近似值”為10.1

考方差.

八占、、??

專新定義.

題：

分根據(jù)題意可知“量佳近似值”X是與其他近似值比較，根據(jù)均值不等式求

析：平方和的最小值知這些數(shù)的底數(shù)要盡可能的接近，求出X是所有數(shù)字的平

均數(shù)即可.

解解：根據(jù)題意得：

答：x=（9.8+10.1+10.5+10.3+9.8）4-5=10.1；

故答案為：10.1.

點(diǎn)此題考查了一組數(shù)據(jù)的方差、平均數(shù)，掌握新定義的概念和平均數(shù)的平方

評：和最小時要滿足的條件是解題的關(guān)鍵.

三、耐心做一做：本大題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證

明過程或演算步驟。

17.（8分）（2023?胡文）計算:V4+I-3|-（n-2023）°.

考實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)基.3718684

八占、、??

專計算題.

題：

分本題涉及零指數(shù)塞、平方根、絕對值等考點(diǎn).針對每個考點(diǎn)分別進(jìn)行計算,

析：然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果.

解解：原式=2+3-1=4.

答：

點(diǎn)本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此

評：類題目的關(guān)鍵是掌握零指數(shù)幕、平方根、絕對值等考點(diǎn)的運(yùn)算.

n2

18.（8分）（2023?胡文）先化簡，再求值：（A-，）+「-2a+l,其中a=3.

a-2a-2a-2

考分式的化簡求值.

/占、、、?

分原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除以一

析：個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算,約分得到最簡結(jié)果,

將a的值代入計算即可求出值.

解解：原式=(a+1)(a-l)?a-2

2

a-2(a-l)a-1

答：

當(dāng)a=3時，原式=且工=2.

3-1

點(diǎn)此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是

評：找最簡公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式.

19.(8分)(2023?胡文)胡文素有“文獻(xiàn)名邦”之稱，某校就同學(xué)們對“胡文

歷史文化”的了解程度進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果制成如圖所示的兩幅統(tǒng)

根據(jù)統(tǒng)計圖的信息，解答下列問題:

(1)本次共調(diào)查60名學(xué)生;

（2）條形統(tǒng)計圖中m=18；

（3）若該校共有學(xué)生1000名，則該校約有200名學(xué)生不了解“莆仙歷史文

化”.

考條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖.3718684

占?

/vvv?

分（1）根據(jù)了解很少的有24人，占40%,即可求得總?cè)藬?shù)；

析：（2）利用調(diào)查的總?cè)藬?shù)減去其它各項(xiàng)的人數(shù)即可求得；

（3）利用1000乘以不了解“莆仙歷史文化”的人所占的比例即可求解.

解解：（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：244-40%=60（人），

答：故答案是：60；

（2）m=60-12-24-6=18,故答案是：18；

（3）不了解“莆仙歷史文化”的人數(shù)是：1000義芷=200.

60

故答案是：200.

點(diǎn)本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同

評：的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示

出每個項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

20.（8分）（2023?胡文）定義：如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB,

則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).

如圖2,Z^ABC中，AB=AC=1,ZA=36°,BD平分NABC交AC于點(diǎn)D.

（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；

（2）求出線段AD的長.

A

考黃金分割.

八占、、??

分（1）判斷△ABCs/SBDC,根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得出答案.

析：（2）根據(jù)黃金比值即可求出AD的長度.

解解：（解VZA=36°,AB=AC,

答：.,.NABC=NACB=72。，

?.,BD平分NABC,

.*.ZCBD=ZABD=36O,ZBDC=72°,

.*.AD=BD,BC=BD,

二.AABC^ABDC,

/,旦!=①，即包=以，

ABBCACAD

.\AD=AC<D.

???點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).

（2）\?點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，

,-.AD=2ZL2AC=^L2.

22

點(diǎn)本題考查了黃金分割的知識，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解黃金分割

評：的定義，注意掌握黃金比值.

21.（8分）（2023?胡文）如圖，口ABCD中，AB=2,以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的

圓交邊BC于點(diǎn)E,連接DE、AC、AE.

（1）求證：Z\AED義ZM）CA；

（2）若DE平分NADC且與。A相切于點(diǎn)E,求圖中陰影部分（扇形）的面積.

考切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；扇形面積的

點(diǎn)：計算.

分（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AE,易證得四邊形AECD是等腰梯

析：形，即可得AC=DE,然后由SSS,即可證得：4AED之ZXDCA；

（2）由DE平分NADC且與。A相切于點(diǎn)E,可求得NEAD的度數(shù)，繼而求

得NBAE的度數(shù)，然后由扇形的面積公式求得陰影部分（扇形）的面積.

解（1）證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

答：.\AB=CD,AD//BC,

...四邊形AECD是梯形，

VAB=AE,

.,.AE=CD,

...四邊形AECD是等腰梯形,

/.AC=DE,

在AAED和ADCA中，

'AE=DC

<DE=AC，

AD=DA

AAAED^ADCA(SSS)；

(2)解：:DE平分NADC,

...ZADC=2ZADE,

■.?四邊形AECD是等腰梯形，

.,.ZDAE=ZADC=2ZAED,

「DE與。A相切于點(diǎn)E,

.*.AE±DE,

即NAED=90°,

ZADE=30°,

.*.ZDAE=60o,

.*.ZDCE=ZAEC=180°-ZDAE=120°,

???四邊形ACD是平行四邊形，

.*.ZBAD=ZDCE=120°,

ZBAE=ZBAD-NEAD=60°,

.**S陰影XJiX22=—n.

3603

點(diǎn)此題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的判定與性

評：質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

22.（10分）（2023?胡文）如圖，直線1：y=x+l與x軸、y軸分別交于A、B兩

點(diǎn)，點(diǎn)C與原點(diǎn)0關(guān)于直線1對稱.反比例函數(shù)丫=野勺圖象經(jīng)過點(diǎn)C,點(diǎn)P在反

比例函數(shù)圖象上且位于C點(diǎn)左側(cè)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線分別交直線1于M、

N兩點(diǎn).

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求AN?BM的值.

考反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.

占?

/、、、?

專計算題.

題：

分（1）連接AC,BC,由題意得：四邊形AOBC為正方形，對于一次函數(shù)解析

析：式，分別令x與y為0求出對于y與x的值，確定出OA與OB的值，進(jìn)而

C的坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；

（2）過M作MEJ_y軸，作ND_Lx軸，根據(jù)P在反比例解析式上，設(shè)出P

坐標(biāo)得出ND的長，根據(jù)三角形AND為等腰直角三角形表示出AN與BM的長,

即可求出所求式子的值.

解解：（1）連接AC,BC,由題意得：四邊形AOBC為正方形，

答：對于一次函數(shù)y=x+l,令x=0,求得：y=l；令y=0,求得：x=-1,

.*.OA=OB=1,

AC(-1,1),

將C(-l,1)代入y=X得：1=工，即k=-l,

X-1

則反比例函數(shù)解析式為y=

(2)過M作MEJ_y軸,作ND_Lx軸，

設(shè)P(a,-工)，可得ND=-1，ME=|a|=-a,

aa

,/△AND和ABME為等腰直角三角形，

，AN=MX(-1)=-選，BM=-&a,

aa

點(diǎn)此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識有：一次函數(shù)

評：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌

握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

23.（10分）（2023?胡文）如圖所示，某學(xué)校擬建一個含內(nèi)接矩形的菱形花壇（花

壇為軸對稱圖形）.矩形的四個頂點(diǎn)分別在菱形四條邊上，菱形ABCD的邊長AB=4

米，ZABC=60°.設(shè)AE=x米（0VxV4）,矩形EFGH的面積為S米

（1）求S與X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）學(xué)校準(zhǔn)備在矩形內(nèi)種植紅色花草，四個三角形內(nèi)種植黃色花草.已知紅色

花草的價格為20元/米2,黃色花草的價格為40元/米2.當(dāng)x為何值時，購買

花草所需的總費(fèi)用最低，并求出最低總費(fèi)用（結(jié)果保留根號）？

考二次函數(shù)的應(yīng)用；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

/占、、、?

專應(yīng)用題.

題：

分（1）連接AC、BD,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得EH〃BD,EF〃AC,4BEF為

析：等邊三角形，從而求出EF,在Rt/XAEM中求出EM,繼而得出EH,這樣即

可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）根據(jù)（1）的答案，可求出四個三角形的面積，設(shè)費(fèi)用為W,則可得

出W關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求最值即可.

解解：（1）連接AC、BD,

答:

A

???花壇為軸對稱圖形，

，EH〃BD,EF〃AC,

.,.△BEF^ABAC,

VZABC=60°,

.'.△ABC、ABEF是等邊三角形，

.?.EF=BE=AB-AE=4-x,

在RtaAEM中，ZAEM=ZABD=30°,

則EM=AEcosNAEM=2^x,

2

.,.EH=2EM=V^x,

故可得S=(4-x)X73X=-V3X2+4V3X.

(2)易求得菱形ABCD的面積為8加cm?,

由(1)得，矩形ABCD的面積為日2,則可得四個三角形的面積為(8?+^X2

-4?x),

設(shè)總費(fèi)用為肌

則W=20(-Fx?+4加x)+40(8?+?x?-4?x)

=20?x2-80?x+320?

=20如(x-2)2+240?,

V0<x<4,

當(dāng)x=2時一，W取得最小，W最小=240?元.

即當(dāng)x為2時，購買花草所需的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為240T元.

點(diǎn)本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，首先需要根據(jù)花壇為軸對稱圖形，得出EH〃

評：BD,EF〃AC,重點(diǎn)在于分別得出EF、EH關(guān)于x的表達(dá)式，另外要掌握配方

法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用.

24.(12分)(2023?胡文)如圖，拋物線y=ax?+bx+c的開口向下，與x軸交于

點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(1,0).與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)若4ACD的面積為3.

①求拋物線的解析式；

②將拋物線向右平移，使得平移后的拋物線與原拋物線交于點(diǎn)P,且NPAB=N

DAC,求平移后拋物線的解析式.

考二次函數(shù)綜合題.

占?

/、、、?

分(1)已知拋物線與X軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是-3和1,設(shè)拋物線解析

析：式的交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+3)(x-1),再配方為頂點(diǎn)式，可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)①設(shè)AC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)為E,先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC

的解析式，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可得到DE的長，然后由S.D“XDEXOA

2

列出方程，解方程求出a的值，即可確定拋物線的解析式；

②先運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷出在4ACD中NACD=90°,利用三角函數(shù)

求出tanNDAC".設(shè)y=-x?-2x+3=-(x+1)?+4向右平移后的拋物線解

3

析式為y=-(x+m)2+4,兩條拋物線交于點(diǎn)P,直線AP與y軸交于點(diǎn)F.根

據(jù)正切函數(shù)的定義求出OF=1.分兩種情況進(jìn)行討論：(I)如圖2①，F(xiàn)點(diǎn)

的坐標(biāo)為(0,1),(II)如圖2②，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-1).針對這兩種

情況，都可以先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再得出m的值，進(jìn)而求出平移后拋物線

的解析式.

解解：(1)?.?拋物線丫=2乂2+6乂+0與x軸交于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(1,0),

答：，拋物線解析式為y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a,

y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=a(x+1)2-4a,

.,?頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,-4a)；

(2)如圖1,①設(shè)AC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)為E.

,拋物線y=ax?+2ax-3a與y軸交于點(diǎn)C,

.?.C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3a).

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+t,

則"一3k+t=0,

(t=-3a

'k二-a

解得:

t=-3a

直線AC的解析式為：y=-ax-3a,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(-1,-2a),

；.DE=-4a-(-2a)=-2a,

=

SAACD=SACDE+SAADE=-XDE0A—X(-2a)X3=-3a，

22

-3a=3,解得a=-1,

拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

(2)Vy=-x2-2x+3,

???頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4),C(0,3),

VA(-3,0),

...ADJ(-1+3)2+(4-0)2=20,CD2=(-1-0)2+(4-3)2=2,AC2=(0+3)

2+(3-0)2=18,

.*.AD2=CD2+AC2,

AZACD=90°,

/.tanZDAC=^?=

ACV183

VZPAB=ZDAC,

tanZPAB=tanZDAC=1.

3

如圖2,設(shè)y=-x?-2x+3=-(x+1)2+4向右平移后的拋物線解析式為丫=

-(x+m)2+4,兩條拋物線交于點(diǎn)P,直線AP與y軸交于點(diǎn)F.

?.?tanNPAB=%5=L

OA33

.,.0F=l,則F點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)或(0,-1).

分兩種情況:

(I)如圖2①，當(dāng)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)時，易求直線AF的解析式為y9x+l,

3

(2

由年"I，解得「3I”(舍去)，

y=-X2-2X+3打=5y2-°

，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,11),

39

將P點(diǎn)坐標(biāo)(Z-11)代入y=-(x+m)~+4,

39

得11=-(2+m)2+4,

93

解得匝=-工m=l(舍去),

32

...平移后拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4；

3

(II)如圖2②，當(dāng)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-1)時，易求直線AF的解析式為

y=-Ax-1,

3

由,解得「「3卜=-3（舍去）,

y=Q

y=-X2-2X+3了廣-可\2

...P點(diǎn)坐標(biāo)為0,

39

將P點(diǎn)坐標(biāo)（與，-V）代入y=-（x+m）::+4,

39

得--=-（J+m）2+4,

93

解得m—U,012=1（舍去），

3

..?平移后拋物線的解析式為『g字"4；

綜上可知，平移后拋物線的解析式為1(x-9+4或尸-(x-學(xué)"4.

點(diǎn)此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)

評：的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角函數(shù)的定義，三角形的面積、兩函數(shù)交

點(diǎn)坐標(biāo)的求法，函數(shù)平移的規(guī)律等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，解題

的關(guān)鍵是方程思想、數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用.

25.（14分）（2023?胡文）在Rt^ABC,ZC=90°,D為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N

分別在BC、AC邊上，且DMLDN.作MFLAB于點(diǎn)F,NE_LAB于點(diǎn)E.

（1）特殊驗(yàn)證：如圖1,若AC=BC,且D為AB中點(diǎn)，求證：DM=DN,AE=DF；

（2）拓展探究：若ACWBC.

①如圖2,若D為AB中點(diǎn)，（1）中的兩個結(jié)論有一個仍成立，請指出并加以證

明；

②如圖3,若BD=kAD,條件中“點(diǎn)M在BC邊上”改為“點(diǎn)M在線段CB的延長

線上”，其它條件不變，請?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

考相似形綜合題.

八占、、??

分