第一章 集合與常用邏輯用語-小結-人教版必修一（含解析）

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學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

單選題

1.已知集合，，則()

A.B.C.D.

2.設命題：，，則命題的否定為()

A.，B.，

C.，D.，

3.設為全集，則“”是“”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.由實數，，，，所組成的集合，最多含元素個數為()

A.B.C.D.

5.已知集合，，則()

A.，B.C.D.

6.已知集合僅有兩個子集，則實數的取值構成的集合為()

A.B.C.D.

7.有下列關系式：；；；；；其中不正確的是()

A.B.C.D.

8.如圖所示，是全集，，，是的三個子集，則陰影部分所表示的集合是()

A.B.C.D.

9.將命題“”改寫成全稱量詞命題為()

A.對任意，，都有成立

B.存在，，使成立

C.對任意，，都有成立

D.存在，，使成立

10.年月，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例．年月日，世界衛(wèi)生組織正式將造成此次肺炎疫情的病毒命名為“新型冠狀病毒”年月日，世界衛(wèi)生組織將新型冠狀病毒感染的肺炎命名為新冠肺炎新冠肺炎患者癥狀是發(fā)熱干咳渾身乏力等外部表征“某人表現(xiàn)為發(fā)熱干咳渾身乏力”是“新冠肺炎患者”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.設集合，，定義，，則中元素的個數為()

A.個B.個C.個D.個

12.已知集合滿足，則實數的值是()

A.或B.或C.或或D.或

13.下列集合表示圖形中的陰影部分的是()

A.B.

C.D.

14.下列各組命題中，滿足是的充要條件的是()

A.，

B.數能被整除，數能被整除

C.，

D.若，，，都不為

15.中國古代重要的數學著作孫子算經下卷有題：今有物，不知其數，三三數之，剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知若，則整數的最小值為()

A.B.C.D.

16.設非空數集同時滿足條件：中不含元素，，若，則則下列結論正確的是()

A.集合中至多有個元素B.集合中至多有個元素

C.集合中有且僅有個元素D.集合中至少有個元素

二、多選題

17.下列命題中是假命題的是()

A.，B.，

C.，D.，

18.已知全集，集合、滿足，則下列選項正確的有()

A.B.C.D.

19.已知，都是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，則()

A.是的既不充分也不必要條件B.是的充分條件

C.是的必要不充分條件D.是的充要條件

20.由無理數引發(fā)的數學危機一直延續(xù)到世紀直到年，德國數學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數的“分割”來定義無理數史稱戴德金分割，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續(xù)多年的數學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項中，可能成立的是()

A.是一個戴德金分割

B.沒有最大元素，有一個最小元素

C.有一個最大元素，有一個最小元素

D.沒有最大元素，也沒有最小元素

21.下列說法不正確的是()

A.是的充分不必要條件

B.若，為無理數，為有理數，則是的充分條件

C.是的充要條件

D.若四邊形是正方形，四邊形的對角線互相垂直，則是的充要條件

22.已知集合，若，則實數的值可能為()

A.B.C.D.

23.已知集合，集合，則()

A.B.C.D.

24.已知集合，則的必要不充分條件可能是()

A.B.C.D.

三、填空題

25.錢大媽常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思中：“沒好貨”是“便宜”的條件填“充分”、“必要”、充要、“既不充分也不必要”

26.若，，，則．

27.已知，，且，則的值等于．

28.某網店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出種商品，第二天售出種商品，第三天售出種商品；前兩天都售出的商品有種，后兩天都售出的商品有種，則該網店：

第一天售出但第二天未售出的商品有種；

這三天售出的商品最少有種．

29.命題“”的否定是．

30.設全集，若，，，則集合．

31.已知“”是“”成立的必要非充分條件，請你寫出符合條件的實數的一個值

32.已知集合，，設集合同時滿足下列三個條件：；若，則；若，則．

當時，一個滿足條件的集合是寫出一個即可

當時，滿足條件的集合的個數為．

四、解答題

33.本小題分

已知集合，求：

；

．

34.本小題分

已知集合或．

若，求的取值范圍；

若“”是“”的充分條件，求的取值范圍．

35.本小題分

已知集合，，全集．

當時，求；

若，求實數的取值范圍．

36.本小題分

已知，證明：“”成立的充要條件是“”．

37.本小題分

從給出的兩個條件，，中選出一個，補充在下面問題中，并完成解答已知集合，

若“”是“”的充分不必要條件，求實數的值；

已知_____，若集合含有兩個元素且滿足，求集合．

38.本小題分

設，為兩個集合，我們定義集合為兩個集合，的差集，記為

已知，求和

求證：

39.本小題分

已知集合，且．

求實數的值；

若，求集合．

40.本小題分

已知集合，或．

若，求的取值范圍

若，求的取值范圍．

41.本小題分

已知命題“，”為假命題，求實數的取值范圍．

42.本小題分

在；“”是“”的充分不必要條件；這三個條件中任選一個，補充到本題第問的橫線處，求解下列問題．

問題：已知集合，．

當時，求；

若______，求實數的取值范圍注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分

43.本小題分

求證：一元二次方程有一正根和一負根的充要條件是．

44.本小題分

已知集合問是否存在，使

中只有一個元素；

中至多有一個元素；

中至少有一個元素．若存在，分別求出來；若不存在，說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

求出集合，根據并集的定義求出即可．

本題考查了集合的運算，考查解二次方程問題，是一道基礎題．

【解答】

解：，，

，

故選D．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎．

根據含有量詞的命題的否定即可得到結論．

【解答】

解：命題為全稱量詞命題，則命題的否定為，，

故選：．

3.【答案】

【解析】

【分析】

通過集合的包含關系，以及充分條件和必要條件的判斷，推出結果．

本題考查集合與集合的關系，充分條件與必要條件的判斷，是中檔題．

【解答】

解：“”能推出，

由能推出”

故“”是“的充分必要的條件．

故選C．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查的是集合中元素的個數，屬于基礎題．

首先要考慮集合元素的特征，特別是互異性，然后進行化簡，即可獲得問題的解答．

【解答】

解：由題意可知，且，

所以以實數，，，，為元素所組成的集合，最多含有，兩個元素．

故選：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查集合的表示方法、集合的交集及其運算．

聯(lián)立與中兩方程建立方程組，求出方程組的解即可確定出兩集合的交集．

【解答】

解：聯(lián)立得

消去得：，

即，

解得，，

則．

故選D．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了一元二次方程與集合的子集個數問題，屬于基礎題．

由集合僅有兩個子集，說明集合中元素只有一個，根據二次項系數是否為分類討論求．

【解答】

解：由集合僅有兩個子集，說明集合中元素只有一個，

由題意，當時，方程為，解得，滿足僅有兩個子集；

當時，方程有兩個相等實根，所以，解得；

所以實數的取值構成的集合為：．

故選B．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查元素與集合，集合與集合之間的關系，空集和集合的關系，屬于基礎題．

根據集合元素的無序性判斷；根據子集的定義判斷；根據集合及空集的定義判斷；利用元素與集合的關系判斷．

【解答】

解：對：因為集合中的元素具有無序性，顯然正確；

對：因為集合，故正確，即正確；

對：空集是一個集合，而集合是以空集為元素的一個集合，因此不正確；

對：是一個集合，僅有一個元素，但是空集不含任何元素，于是，故不正確；

對：由可知，非空，于是有，因此正確；

對：顯然成立，因此正確．

綜上，本題不正確的有，于是本題選項為．

故選D．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查圖，屬于中檔題．

根據圖分析陰影部分與集合，，的關系，進而可得答案．

【解答】

解：由已知的圖可得：

陰影部分的元素屬于，屬于，但不屬于，

故陰影部分表示的集合為，

故選C．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了全稱量詞命題、存在量詞命題的定義，屬于基礎題．

利用全稱量詞命題的概念直接得結論

【解答】

解：“”改寫成全稱量詞命題為“，都有”，

故選A．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了充分條件，必要條件的判斷，屬于基礎題．

直接利用題意以及充分條件，必要條件的定義進行判斷．

【解答】

解：某人表現(xiàn)為發(fā)熱、干咳、渾身乏力”，則其不一定是“新冠肺炎患者”，充分性不成立，

若某人為新冠肺炎感染者，則表現(xiàn)為發(fā)熱干咳渾身乏力，必要性成立，

故選A．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查集合中元素個數的求法，元素與集合的關系，屬新定義題型，是一道基礎題．

根據題中的新定義可知，中元素為點集，集合有三個元素，集合有四個元素，列舉可得集合中的元素個數．

【解答】

解：的取值可以是，，之一，的取值可以是，，，之一，

的可能情況有：

，，，，

，，，，

，，，，共種不同情況，

所以中元素的個數是個．

故選D．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查由集合關系求參數，屬于基礎題；

對討論，注意考慮集合為空集時的情況．

【解答】

解：當時，，滿足；

當時，要使，則，

當時，，

當時，，所以實數的值是，，．

故選C．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查韋恩圖的知識，掌握集合的運算法則是解題的關鍵屬中檔題．

由韋恩圖分析陰影部分表示的集合，關鍵是要分析陰影部分的性質，根據集合運算的定義，轉化為集合語言即可．

【解答】

解：圖中中陰影部分表示元素滿足：是中的元素，或者是與的公共元素．

故可以表示為．

也可以表示為：．

故選A．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查充要條件的判定，考查邏輯推理能力，屬于基礎題．

通過舉例，特殊值，根據充分、必要條件的定義依次判斷即可得出結果．

【解答】

解：對于選項A，因為等價于同號或至少一個為，等價于，所以，則正確；

對于選項B，數能被整除，當，，即是的不必要條件，故錯誤；

對于選項C，當時，，故，是的不充分條件，故錯誤；

對于選項D，若，，，當時，，是的不充分條件，故錯誤．

故選：．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查集合的應用，描述法的定義，交集及其運算，元素與集合的關系．

先從四個選擇中最小的數開始進行檢驗是否滿足，即屬于，，中每一個集合，找出最小的一個即可．

【解答】

解：，

，，，

，

所以是四個答案中最小的一個，

故選：．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了集合中元素的個數．

因為，，再將，，分別代入化簡，可以得出集合中有且僅有個元素．

【解答】

解：若，則，

則，

，

則，

若，則，無解，

同理可證這個元素中，任意個元素都不相等，故集合中至少有個元素．

故選D

17.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查命題真假的判斷，存在量詞命題與全稱量詞命題真假的判斷，屬于中檔題．

舉反例可判斷；根據方程的根可判斷．

【解答】

解：當時，，所以，不正確，所以是假命題；

當時，，所以，，正確；所以是真命題；

當時，，所以，不正確，所以是假命題；

當且僅當時，，又，所以，不正確，所以是假命題．

故選ACD．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查集合之間的包含關系和交并補混合運算，屬基礎題．

根據已知條件，利用集合的交集、并集、補集的運算法則求解．

【解答】

解：如下圖所示：

全集，集合、滿足，

則，，，．

故選：．

19.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬于基礎題．

根據充分、必要、充要條件的定義判斷即可．

【解答】

解：由，都是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，

則，，，

故，，

所以是的充分條件，是的充分條件，是的充要條件，是的充要條件，

故選BD．

20.【答案】

【解析】

【分析】

本題是以集合為背景的創(chuàng)新題型，考查集合中交集和并集的定義，集合中元素的性質，屬于中檔題．

由題意知，作為有理數集的兩個子集：集合與集合，易判斷它們中有無最大元素和最小元素．

【解答】

解：，不是戴德金分割，A錯誤；

，，顯然集合中沒有最大元素，

集合中有一個最小元素，即選項B可能

假設答案C可能，即集合、中存在兩個相鄰的有理數，顯然這是不可能的，

，，

顯然集合中沒有最大元素，集合中也沒有最小元素，即選項D可能．

故選BD．

21.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查充分、必要條件，屬于基礎題．

理解和掌握充分條件和必要條件的定義是解答本題的關鍵，分別對、、、四個選項利用充分、必要條件的定義進行驗證，可得正確結論．

【解答】

解：對于，，反之不成立，因此是的必要不充分條件，故A說法不正確

對于，若，，則，不能推出，因此不是的充分條件，故B說法不正確

對于，，故C說法正確

對于，正方形的對角線互相垂直，但是對角線互相垂直的不一定是正方形，如菱形，故D說法不正確．

故選ABD．

22.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查實數的取值范圍的求法，考查子集等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

先求出集合，當時，，成立；當時，，由，得或，由此能求出實數的取值．

【解答】

解：集合，，，

當時，，成立；

當時，，

，或，

解得或，

綜上，實數的取值范圍為．

故選ABC．

23.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查集合間的基本關系，交集、并集的運算，屬基礎題．

直接化簡，，再利用集合間的基本關系可得答案．

【解答】

解：由題意可知：，集合

，代表所有的偶數，代表所有

的整數，所以，即．

故選：．

24.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查必要條件、充分條件與充要條件的應用，考查交集運算的問題，屬于基礎題．

根據題意可求出的充要條件，討論和，求得，進而可得到的必要不充分條件．

【解答】

解：，

若，

時，有，解得：；

時，有，解得：．

綜上，當時，有．

所以的必要不充分條件可能是或者．

25.【答案】必要

【解析】

【分析】

本題考查了充分、必要條件的判定方法，考查了推理能力，屬于基礎題．

由“便宜”“沒好貨”，利用充分、必要條件的判定方法即可判斷出結論．

【解答】

解：因為“便宜”“沒好貨”，

所以“沒好貨”是“便宜”的必要條件．

故答案為：必要．

26.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查集合的交集運算與性質，注意集合中元素的特征：互異性、確定性、無序性．

根據題意，由可得，由于中有個元素，則分三種情況討論，，，，分別求出的值，求出，并驗證是否滿足，即可得答案．

【解答】

解：，則，

分種情況討論：

，則，此時，，此時，不合題意，

，則，此時，，此時，符合題意，

，此時無解，不合題意；

則，

故答案為．

27.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查元素與集合的關系，集合的交、并、補混合運算，重點考查分析理解，邏輯推理能力，屬基礎題．

根據，可得，即可解得的值，進而可求得集合，又根據，可得，即，即可解得的值，即可得答案．

【解答】

解：因為，

所以，則，解得，

所以，解得，

又因為，

所以，即，

所以，解得，

所以，

故答案為：

28.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查集合的包含關系及其應用，考查了集合中元素的個數判斷，考查學生的邏輯思維能力，是中檔題．

由題意畫出圖形得答案；求出前兩天所受商品的種數，由特殊情況得到三天售出的商品最少種數．

【解答】

解：設第一天售出商品的種類集為，第二天售出商品的種類集為，第三天售出商品的種類集為，

如圖，則第一天售出但第二天未售出的商品有種；

由知，前兩天售出的商品種類為種，第三天售出但第二天未售出的商品有種，

當這種商品屬于第一天售出但第二天未售出的種商品中時，即第三天沒有售出前兩天未售出的商品時，這三天售出的商品種類最少為種．

故答案為：；．

29.【答案】，

【解析】

【分析】

本題考查命題的否定的寫法，屬簡單題．

根據全稱量詞命題的否定要改成存在量詞命題的原則，可寫出原命題的否定．

【解答】

解：原命題為：，，

原命題為全稱量詞命題，

其否定為存在量詞命題，且不等號須改變，

原命題的否定為：，，

故答案為：，．

30.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查集合的交并補混合運算的意義，利用韋恩圖解決是關鍵訣竅．

解法一：畫出韋恩圖，根據已知，將中的元素逐一填入，即得答案．

解法二：可以直接根據求得．

【解答】

解：解法一：由已知條件，畫出韋恩圖如圖所示，

根據已知，將中的元素逐一填入，可得，

解法二：，

故答案為：．

31.【答案】答案不唯一，只需滿足即可

【解析】

【分析】

根據必要非充分條件的定義可知解集的包含關系，從而得到不等式組，解不等式組求得范圍后，寫出一個符合范圍的值即可．

本題考查根據必要非充分條件求解參數值的問題，屬于?？碱}型．

【解答】

解：由必要非充分條件的定義可知：

解得：，經檢驗或時，滿足題意，

符合條件的實數的一個值為．

故答案為：答案不唯一，只需滿足即可

32.【答案】或或或

【解析】

【分析】

本題主要考查了集合間的關系以及元素與集合的關系的應用，題目較難．

根據的值分情況討論的情況，注意同時滿足題干的三個條件．

【解答】

解：時，集合，

由；若，則；若，則；可知：

當時，則，即，則，即，但元素與集合的關系不確定，故或；

當時，則，，元素與集合的關系不確定，

故或．

當時，集合，

由；若，則；若，則，可知：

，同屬于，此時屬于的補集；或，同屬于的補集，此時屬于；

屬于時，屬于的補集；或屬于的補集，屬于；而元素，沒有限制．

故滿足條件的集合共有個．

故答案為：或或或；．

33.【答案】解：

或，

或．

【解析】本題考查集合的交集、并集、補集及其運算，屬于中檔題．

直接利用交集的定義求解；

首先求集合的補集，再求．

34.【答案】解：，

，

則的取值范圍是；

因為“”是“”的充分條件，

，

所以或，

則的取值范圍是或．

【解析】本題考查根據交集運算求解參數的取值范圍，充分條件的定義．

根據交集的運算及已知列出不等式組，解不等式組即可；

根據條件便知，即可得到的取值范圍．

35.【答案】解：當時，則，，

或，；

若，則：

時，，

，此時滿足題意；

時，

．

綜上所述，或．

【解析】本題考查了交、補集的混合運算，考查集合的關系，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．

當時，求出集合，即可求；

若，分類討論，建立不等式組，即可求實數的取值范圍．

36.【答案】證明：先證充分性：若，

則，即充分性成立．

再證必要性：若，則，

，，即成立．

綜上，“”成立的充要條件是“”．

【解析】本題考查了充要條件的應用，屬于基礎題．

先證充分性：若，可得成立；再證必要性：若，由因式分解可得成立，即可得證．

37.【答案】解：因為“”是“”的充分不必要條件，

所以，

當時，即時，不滿足互異性，不符合題意；

當時，即或時，可知符合題意；

所以；

若選：

則，不滿足互異性，不符合題意；

若選：

，，所以，

所以，，；

若選：

，，

所以，

所以，，，，，．

【解析】本題考查了充分條件與必要條件的判斷、集合與集合關系的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．

利用“”是“”的充分不必要條件，得到，分情況求解即可；

分別選擇進行研究，利用集合與集合之間的關系進行分析求解即可．

38.【答案】解，

，

證明

，

所以

同理，所以．

【解析】本題主要考查了對新定義的理解，考查了學生的應變能力．

依據定義求，，再求，，即得結果；

依據定義證明，同理即可

39.【答案】解：集合，，且，

，或，

解得，或，或，

當時，，不滿足集合中元素的互異性，舍去，

當時，，，滿足，

實數的值為；

由得，，

，

集合可能為或或或．

【解析】本題考查了并集及其運算，以及集合的關系判斷及應用，熟練掌握并集的定義是解本題的關鍵．

由為的子集，得到中所有元素都屬于，列出關于的方程，求出方程的解即可得到的值，注意驗證；

由中求得的的值代入確定出，，根據，得到中必然含有元素，寫出集合的所有可能情況即可．

40.【答案】解：因為，所以解得，

所以的取值范圍是．

因為，

所以，

所以或，解得或，

所以的取值范圍是或．

【解析】本題考查集合的交集和并集的運算，屬于基礎題．

由，得到解得的取值范圍即可；

因為，得所以或，解得的取值范圍即可．

41.【答案】解：因為命題“，”為假命題，

所以它的否定：“，”為真命題，

即關于的方程有實數根，

當時，方程化為，顯然有解；

當時，應