湖南省多校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

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學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題

1、已知集合，，則()

A.B.C.D.

2、已知，復(fù)數(shù)是實數(shù)，則()

A.B.C.6D.-6

3、函數(shù)的部分圖象大致為()

A.B.

C.D.

4、某高?，F(xiàn)有400名教師，他們的學(xué)歷情況如圖所示，由于該高校今年學(xué)生人數(shù)急劇增長，所以今年計劃招聘一批新教師，其中博士生80名，碩士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后碩士生的比例下降了，招聘后全校教師舉行植樹活動，樹苗共1500棵，若樹苗均按學(xué)歷的比例進行分配，則該高校本科生教師共分得樹苗的棵數(shù)為()

A.100B.120C.200D.240

5、設(shè)，則“”是“”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6、若，，，則()

A.B.C.D.

7、已知正三棱柱的頂點都在球O的球面上，若正三棱柱的側(cè)面積為6，底面積為，則球O的表面積為()

A.B.C.D.

8、弘揚國學(xué)經(jīng)典，傳承中華文化，國學(xué)乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經(jīng)”是國學(xué)經(jīng)典著作，“五經(jīng)”指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》．小明準備學(xué)習(xí)“五經(jīng)”，現(xiàn)安排連續(xù)四天進行學(xué)習(xí)且每天學(xué)習(xí)一種，每天學(xué)習(xí)的書都不一樣，其中《詩經(jīng)》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學(xué)習(xí)，《周易》不能安排在第一天學(xué)習(xí)，則不同安排的方式有()

A.32種B.48種C.56種D.68種

二、多項選擇題

9、已知直線與圓相交于E，F(xiàn)兩點，則()

A.圓心C到直線l的距離為1B.圓心C到直線l的距離為2

C.D.

10、已知函數(shù)，下列說法正確的是()

A.的最小正周期為

B.的極值點為

C.的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到

D.若，則

11、已知雙曲線的右焦點到漸近線的距離為1，P為C上一點，下列說法正確的是()

A.C的離心率為

B.的最小值為

C.若A，B為C的左、右頂點，P與A，B不重合，則直線PA，PB的斜率之積為

D.設(shè)C的左焦點為，若的面積為，則

12、已知函數(shù)，若，，則實數(shù)a的取值可能為()

A.2B.C.D.1

三、填空題

13、已知向量，，若，則________．

14、已知，則__________

15、如圖，某圓柱與圓錐共底等高，圓柱側(cè)面的展開圖恰好為正方形，則圓柱母線與圓錐母線所成角的正切值為________．

16、已知拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，且AB的中點到x軸的距離為6，則的最大值為________．

四、解答題

17、在等比數(shù)列中，，且是和的等差中項．

（1）求的通項公式；

（2）若，，求數(shù)列的前n項和．

18、已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．

（1）若，，，求的面積；

（2）若，證明：．

19、某單位準備從8名報名者（其中男性5人，女性3人）中選4人參加4個副主任職位競選．

（1）設(shè)所選4人中女性人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）若選出的4名副主任分配到，，，這4個科室上任，一個科室分配1名副主任，且每名副主任只能到一個科室，求科室任職的是女性的情況下，科室任職的是男性的概率．

20、如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，為等邊三角形．

（1）若，證明：．

（2）在（1）條件下，若，，求平面PAB與平面PAD夾角的余弦值．

21、已知是橢圓的左頂點，過點的直線l與橢圓C交于P,O兩點（異于點A），當(dāng)直線l的斜率不存在時，．

（1）求橢圓C的方程；

（2）求面積的取值范圍．

22、已知函數(shù)，且，．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，函數(shù)有三個零點，，，且，試比較與2的大小，并說明理由．

參考答案

1、答案：B

解析：，解得；，解得，

所以集合，，

所以．

故選：B

2、答案：C

解析：因為為實數(shù)，

所以，解得．

故選：C

3、答案：A

解析：定義域為R，

因為，

所以奇函數(shù)，排除C，D．

當(dāng)時，，則，，所以，排除B．

故選：A．

4、答案：B

解析：設(shè)招聘x名碩士生，由題意可知，，

解得，

所以本科生教師共分得樹苗棵．

故選：B

5、答案：B

解析：若，，則，而，

所以“”推不出“”；

若，又，則，

所以，即“”可以推出“”．

所以“”是“”的必要不充分條件，

故選：B

6、答案：C

解析：因為，，，所以．

故選：C.

7、答案：A

解析：由正三棱柱是直三棱柱，設(shè)其高為h，，

因為正三棱柱的側(cè)面積為6,底面積為，

可得，且，解得，

設(shè)的外接圓半徑為r，則，解得，

設(shè)球O的半徑為R，則，

所以球O的表面積為．

故選：A.

8、答案：D

解析：①若《周易》不排，先將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，

再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，則共有種安排方式．

②若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，

在《尚書》和《春秋》中先選1種，然后將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，

再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，

共有種安排方式；

③若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》只安排一個，

先在《詩經(jīng)》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，

最后將剩下的3種書全排列即可，

共有種安排方式．

所以共有種安排方式．

故選：D

9、答案：BD

解析：因為圓心到直線l的距離，所以A錯誤，B正確．

因為，所以C錯誤，D正確．

故選：BD

10、答案：BC

解析：的最小正周期為，所以A錯誤；

由，得，

由三角函數(shù)的性質(zhì)可驗證的極值點為，所以B正確；

將的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，所以C正確；

若，則，

所以，

則或，

則或，所以D錯誤．

故選：BC.

11、答案：ACD

解析：由已知可得，，所以，

則C的方程為，離心率為，A正確；

因為的最小值為，所以B錯誤；

設(shè)，則，，

，所以C正確；

設(shè)，由

可得，得，

則，所以D正確．

故選：ACD

12、答案：BCD

解析：因為，

所以，

設(shè)，則有，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，

所以原問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)，恒成立，

由，設(shè)，

，因為，所以，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以有，顯然，恒成立；

當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，因此有，所以，不恒成立，

綜上所述：，故選項BCD符合題意，

故選：BCD

13、答案：

解析：因為，所以，解得．

故答案為：.

14、答案：

解析：

.

故答案為：.

15、答案：

解析：因為圓柱母線與圓錐旋轉(zhuǎn)軸平行，所以圓柱母線與圓錐母線所成角的大小等于．

因為圓柱側(cè)面的展開圖恰好為正方形，所以，所以．

故答案為：.

16、答案：20

解析：由題意知，拋物線C的準線方程為．

設(shè)AB的中點為M，分別過點A，B，M作準線的垂線，

垂足分別為C，D，N，

因為M到x軸的距離為6，所以．

由拋物線的定義知，，

所以．

因為，所以．

所以當(dāng)，即直線l過焦點F時，取最大值為20.

故答案為：20

17、答案：（1）答案見解析

（2）

解析：（1）設(shè)的公比為q，，因為是和的等差中項，

所以，則，

化簡得，解得或，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，．

（2）因為，所以，，

，①

則，②

則①-②得．

故．

18、答案：（1）9

（2）證明見解析

解析：（1）因為，所以，即，

因為，

所以解得．

所以的面積．

（2）證明：因為，，

所以，化簡得，

所以，

即，

所以，

所以．

因為，，

所以或（舍去），

所以．

19、答案：（1）分布列見解析，

（2）

解析：（1）依題意，X的可能取值為0，1，2，3，

所以，，

，，

X的分布列為

X0123

P

所以．

（2）設(shè)“A科室任職的是女性”，“B科室任職的是男性”，

則，，

所以．

20、答案：（1）證明見解析

（2）

解析：（1）證明：取AD的中點O，連接OP，OC．

因為為等邊三角形，所以．

又，，PO,平面POC，

所以平面PCO，因為平面POC，

所以，即OC是線段AD的中垂線，

所以．

（2）由（1）知，又，所以，且平面PCO．

以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以，的方向為x，y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，．

在中，，，由余弦定理易得為，

所以點的坐標(biāo)為，

所以，，．

設(shè)是平面PAB的法向量，可得令，得．

設(shè)是平面PAD的法向量，可得令，得．

設(shè)平面PAB與平面PAD所成的二面角為，

則．

21、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）依題意，，當(dāng)直線l的斜率不存在時，由，得直線l過點，于是，解得，

所以橢圓C的方程為．

（2）依題意，直線l不垂直于y軸，設(shè)直線l的方程為，,

由消去x整理得，則，

的面積

，令，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，

則，即，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

故面積的取值范圍為．

22、答案：（1）答案見解析

（2），理由見解析

解析：（1）由，得，又，所以