2023中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微匯總1

巧妙運(yùn)用“五同法”解題

所謂“五同法”，是指在解條件為多個(gè)等式的題時(shí)，將已知條件同時(shí)相乘、同時(shí)相加、

同時(shí)平方、同乘方、同時(shí)除來解題.巧妙運(yùn)用這些方法，常常給.我們解題帶來方便，本文

分類舉例說明如下：

一、同時(shí)相加

例1若△AB.C的三邊長分別是a、b、c,且滿足a4=b，+c4—b2c2、b4=c4+a4—a2c2'

c4=a4+b4-a2b2,則4ABC的形狀是().

(A)鈍角三角形(B)直角三角形

(C),等腰直角三角形(D)等邊三角形

解Va4=b,4+c4—b2c2,

b4=c4+a4—,a2c2,②

c4：=a4+b4—a2b2,③

①+②+③，得

a4+b4.+c4

,=2a4+2b4+2c4—b2c2—a2c2—a2b2.

即a4+b4+c4—b2c2—a2c2—a2b2=0.

/.2a4+2b4+2c4-2b2c2-2a2c2-2a2b2

=0.

則(a2—b2)2+(b2—c2)2+(c2—a2)

=0.

即a2—b2=b2—c2=c2—a2=0.

，a=b=c,從而AABC是等邊三角形，

故選D.

例2(第四屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競賽題)

xy+xz=8-x2

解方程組：,孫+”=12-

yz+xz=-4-x2

解原方程可變?yōu)椋?/p>

x(x+y+z)=8

<y(x+y+z)=12

z(x+y+z)=-4

①+②+③，得x+y+z=±4,

將④分別代入①、②、③，得

x=2x=-2

y=3；?y=-3

z=-1z=1

二、同時(shí)相乘

例3已知X］、X2、用、X4、X5、X6都是正數(shù)，且.滿足々［—［一=］,土且&=2,

王

西赴匕毛毛=3再毛/毛毛=4,百玉堊也=6,生也主=9.求占為W與%*6的值。

Z七/

工29》4天入6二］

解①

%七七三％=2

②

可赴玉毛毛=3③

ww^=4④

WW6=6⑤

xxxxx

i2345=9⑥

?,.①X②X,③X④X⑤X⑥，得

=Ix2x3x4x6x9,

玉工1工3%4毛%6

即（與々不工4毛毛）4=64

又,:不,占,專戶4，毛，%,都是正數(shù)，

X]X2X3X4X5X6=6.

三、同平.方

例4,已知同之忸+4網(wǎng)之1+4，同之|。+2|,求a+b+c的值.

解VIal>16+cl,

a2N(b+c)2,

2

即Q?N6?+2bc+c.①

同理可得爐Nc?+2QC+Q2；②

c2a2+2ab+b2.③

故①+②+③,得

a2+624-c

N2G2+2b2+2c2+2ab+2ac+2bc,

即a2+62+c2+2ab+26c+2acW0,

貝lj(a+b+c)?w0.

又???(a+b+cTN0,

四、同乘方

例4已知25x=2000,80y=2000,求的值.

%y

,解25,=2000,

兩邊同時(shí)y次方，得25"=200伊；①

;80,=2000,

兩邊同時(shí)x次方，得80”=2000'.②

①x②,得25"x80”=2000,x2000*,

即（25x80）"=2000f，

貝ij2000"=2000'”,町=x+y,

..一+_L=山=1.

xyxy

五、同時(shí)除

例5i§：a=-,b=-^-,c=-^-,且x+y+zwO,^―+—+—

y+zz+xx+ya+\b+lc+1

解???a=

y+z

1-ra=1-r---一,

y+z

即J_=L±￡,

ax

則山=y+z+x,

ax

V%+y+z#0,

.a_____%

①

?1+ax+y+z,

同理可得占=;

②

1+6%+y+z

cz

③

1+cx+y+z

將①+②+③,得

-a+--b--+--c--

Q+l6+1c+1

x

-------------+1+-------

x+y+zx+y+zx+y+z

_-+y+z

%+y+z

=1.

平行線間的“等積三角形”

...由.平行線間的平行線段相等，可得平行線間的距離處處相等，據(jù)此可彳導(dǎo)：

結(jié)論在兩條平行線間的兩個(gè)三角形有一條公共邊在其中的一.條直線上,,第三個(gè)頂點(diǎn)

在另一條直線上，則這兩個(gè)三角形的面積相等.

如圖1,若AB〃CD,貝ljSAAXD-SABCD.

圖1圖2

推論如圖2,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M.,N分別為邊AD,CD上的點(diǎn)，根據(jù)圖I

中的結(jié)論，可得

=

Sz\ABN=SABCM一S/Z7ABCD,

2

-ILSABCN+SAADN

-SAABMSACDM——SZZ7ABCD.

2

應(yīng)用上述的結(jié)論和推論，能巧妙解決與平行線有關(guān)的三角形面積問題，舉例說明如下.

例1如圖3,半圓的直?徑AB=10,P為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C,D為泮圓的三等分點(diǎn)，則

陰影部分的面積等于.

圖3

解析連結(jié)CD、OC、0D.點(diǎn)C、D為半圓的三等分點(diǎn)，.

/.乙AOC=乙COD=乙BOD=60°,

△coo為等邊三角形，

???LOCD=60°,/.乙AOC=LOCD.

???CD//AB,

,?S4Mb=S4UCD*

aQ25仃

J陰影二^MOCD=一^一；

注本題利用上述結(jié)論將圖中不規(guī)則的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積問題.

例2如圖4,在。ABCD中，E是DA延長線上一點(diǎn)，連結(jié)CE交AB于點(diǎn)F,求證：S

△BEF=S?AAFD.

證法1?.?DE〃BC,.'.SABEC=-SZJABCD

2

即5公訴+SA"C=ESoABCD，

:45//CD,S—CD~?SDABCD，.

SABFC+SdDF=~2^CJABCD?

1,SABEF+SABFC=S.BFC+SMUK

S^BEF=$2FIT

證法2如圖5,連結(jié)4c.

vAB//CD.：.St△4FD二5?/C，

=

?/DE//BC,：.S△A￡4S"4C，

S48"+SAAF￡=SAAFb：+AAFC>

SABEF=SA4/C，?‘SMEF=S&AFt)'

綜上可知，從復(fù)雜的圖形中提煉出平行線間的等積三角形，是解決與平行線有關(guān)的三

角.形面積問題的切入點(diǎn).

盤點(diǎn)解分式問題中的常見錯(cuò)誤

在分式學(xué)習(xí)過程中，部分同學(xué)不能正確理解分式意義，在運(yùn)算順序、技巧方法等方面

都容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，本文就教學(xué)過程中容易出現(xiàn)的幾類錯(cuò)誤進(jìn)行盤點(diǎn)，并運(yùn)用實(shí)例逐一分析,

望能夠?qū)ν瑢W(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、忽視隱含條件

例I關(guān)于X的分式方程/1+2=1的解為正數(shù)，則m的取值范圍是—.

X-11-X

誤解兩邊同乘（X—1）,得m-3=x—|,解得X=m—2.因?yàn)榉质椒匠痰慕鉃檎龜?shù),

所以m—2>0,即m>2.

分析這里的錯(cuò)誤在于忽視了x—1=0時(shí)，分母沒有意義的隱含條件，即x—IH0,那

么x#l,即m—2W1,所以mH3.

正確答案是：m>2且mW3.

例2已知分式紅摩的值為正整數(shù)，求整數(shù)x的值.

9-x2

誤解好當(dāng)=/6（：：3）工值為正整數(shù),則3-x的值分別是1,2,3,和6.解

9-x2（3+x）（3-x）3-x

得x=2,x=l.x=0,x=—3.

分析此解錯(cuò)誤之處在于，忽視了如坐的分母中x為+3和-3時(shí)無意義的隱含條

9-x2

件；而且，在約分時(shí)將3+x約去就更容易出錯(cuò).

正確答案是：x的值為2,I,。只有3個(gè).

例3先化簡&^+[+”如直），當(dāng)b=-l時(shí)，再從一2<a<2的范圍內(nèi)選取一

a-aba）

個(gè)合適的整數(shù)a代入求值.

誤解原式=（邛噌）/+2"+〃

a^a-b）a

a+ba1

=-------■------------=--------

a（々+0）2a+b

取a=0時(shí)，原式=—1.

分析此解法先化簡時(shí)進(jìn)行約分，忽視了題目中分母不能為0,只專注于化簡后得到

,2-b2

的分式分母不為0.在一2<a<2中，a可取的整數(shù)p值為t一I,0,I.當(dāng)a=-I時(shí)，分式二a----

a-ab

無意義；a=0時(shí)分式，2abtb1,黑與均都無意義；當(dāng)a=l時(shí)，分式無意義，

aa-aba+b

所以，a在規(guī)定的范圍內(nèi)取整數(shù)，原式均無意義，即所求值不存在.

A

評注分式的定義2?.中，隱含B不為。才有意義的條件，在具體運(yùn)算時(shí)容易忽略甚

B

至遺漏這一條件造成錯(cuò).誤，這類開放性的問題是各地中考的熱點(diǎn)題目，表面看給了學(xué)生很

多的自主選擇機(jī)會，卻步步陷阱，不慎即導(dǎo)致錯(cuò)誤，同學(xué)們只有在學(xué)習(xí)中不斷的總結(jié)研究

才能減少失誤.

二、遺忘顯性條件

例4若m為正實(shí)數(shù)，且m—，=3,則療--1=.

mm~

|/n+-]=3?+4=13,m+-=±Vf3,所以，〃2-_^=±3a.

Vm）mm"

分析此解錯(cuò)誤在已知條件明顯告訴m是正整數(shù)，m+,不可能為負(fù)數(shù)，但很多同

m

學(xué)受思維定勢的影響，誤認(rèn)為一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，他們互為相反數(shù)，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正確答案是：3,歷

評注初二的學(xué)生很容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，就是題目中的條件雖然非常清楚，但會受到忽

視、忽略，按照固有思維模式來解決分式,問題，且缺少解題后檢查的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

三、計(jì)算順序錯(cuò)誤

元+

例5計(jì)算一Y—~—111—X

x—2x+1X-114-X

誤解原式=

(%+1)(1%)_4+1

(?-1)(%+1)X-V

分析此解法的錯(cuò)誤在于，后面乘法剛好可以約分，所以不按運(yùn)算順序計(jì)算導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正確答案按從左到右的順序進(jìn)行是：

(X4-1)(%-1)xX-1X1--

(X~1)2X+I1+X

X-1

x+7

例6計(jì)算戶----------1----------

a+ba-b

誤解原式

a—b2a+ba2—b2a

1/..

7---rvx(a-6)

(a+6T)VZ(a-6)

1_1_______2(i

a+ba-ba-62

分析分式乘法分配律不能錯(cuò)誤地用到除法中去，而要按照運(yùn)算順序，先算括號內(nèi)的,

再算除法.

正確解法應(yīng)為：

原式=-AT?+

a-b

[(a+b)(a-b)+(7Tfe)77~T)J

I2a1

=T=2a'

評注多數(shù)同學(xué)雖然熟悉分式混合運(yùn)算順序，但在具體運(yùn)算時(shí)有從簡心理，想當(dāng)然自

己制造一些看似符合規(guī)律的“合理”法則，計(jì)算過程.混亂.

例7計(jì)算」--a-l

誤解占…「告-中

[__(a+_1)_2L

a+1a+1

分析分式與整式相加減時(shí)，多項(xiàng)式整式分母為1的式子，分?jǐn)?shù)線起到括號的作用,

不能忽略.正確解答為：

111a+1a+2a

a+1a+11a+1

評注我們在準(zhǔn)確運(yùn)用分式的運(yùn)算法則的同時(shí)，運(yùn)算過程中要正確完成約分通分以及

因式分解.

分式混合運(yùn)算是分式一章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是中考命題的熱點(diǎn)，關(guān)鍵是在類比已有的分

數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)上掌握分式運(yùn)算順序規(guī)律，分式的基本性質(zhì)，靈活運(yùn)用交換律、，結(jié)合律，使運(yùn)

算簡便，不能想當(dāng)然.，隨心所欲造成不必要的失誤.

四、將求分式的值混同于解分式方程

例&先化簡，再求值：斗士--—,其中x=2.

x2-3l1-x

______--3-+1____

-(x+l)(x-1)+(x-1)(%+1)

=?-3+(x+l)=2x-2.

分析當(dāng)x=2,原式=2x—2=2.上述錯(cuò)誤口關(guān)鍵是把分式運(yùn)算當(dāng)作了解分式方程，去

分母時(shí)發(fā)生混淆.

正確解法應(yīng)該是:

4-3__1_________/-3]

%2-11-x(x+l)(x-l)+x-l

_--3%+1

=(x+l)(x-l)+(x-l)(x+l)

—-—B+G+l)_2(%―1)

■"(x+l)(x-1)~(x+l)(x-1)

2

-X+1'

2

當(dāng)x=2時(shí)，原式=-.

3

評注學(xué)習(xí)了解分式方程以后，看到分母分式化簡運(yùn)算，也就習(xí)慣性的去分母，這就

需要不斷的積累總結(jié)分式運(yùn)算與解方程區(qū)別和聯(lián)系，減少失誤.

五、方程變形未考慮同解性

例9已知"2=也==生==々，求，—的值.

cabk+1

誤解由已知得a+b=ck,b+c=ak,a+c=bk,三式相加，得2(a+b+c)=k(a+b

k?

+c),兩邊除以(a+b+c),得北=2.代入=士.

分析當(dāng)a+b+c=O時(shí)，2。(a+b+c)=k(a+b+c)與k=2就因不是同解方程，

導(dǎo)致錯(cuò)誤.當(dāng)a+b+c=O時(shí)，a+b=-c.此時(shí)巴士=—1,即k=-1.代入一^—=—

ck2+\

2

2,

21

正確答案是：一和一一.

52

評注在解分式相關(guān)問題時(shí)，學(xué)生往往只注意與所求最密切相關(guān)的條件，或者偏向性

地選擇條件，從而忽視了部分條件而導(dǎo)致失誤.條件分式的求值，要依據(jù)題目自身特點(diǎn),

充分利用整體的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，才會有事半功倍的效果.

六、解分式方程遺忘檢驗(yàn)

4-5x2x+5]_

例10解方程之二

4-2%3x-62

誤解方程兩邊同乘6(x-2),得3(5x-4)=2(2x+5)-3(x-2),解得x=2.

分析將分式轉(zhuǎn)化為整式方程，關(guān)鍵是找準(zhǔn)最簡公分母，這里不能找成(4-2x)(3x

-6),而且要注意符號的變化，(x-2)與(2—X)互為相.反數(shù)，對于常數(shù)或者整式也不要漏

乘，而解分式方程與整式方程最大的區(qū)別是，將求得的解代人最簡公分母中檢驗(yàn)，分母為

零的解不是原方程的解，這里當(dāng)x=2時(shí)，6(x-2)=0,所以x=2不是原方程的解.

評注需要指出的是，檢驗(yàn)是解分式方程的一個(gè)必不可少的步驟.

例析追擊和相遇問題的解題方法

一、追擊類問題

例1甲乙兩人同時(shí)去B地，甲騎自行車，乙騎摩托車中途摩托車,出現(xiàn)故障改步行，

下圖是他們的路程隨時(shí)間變化的圖線。⑴求出甲乙兩人路程與時(shí)間的關(guān)系函數(shù)；（2）甲到達(dá)

終點(diǎn)用了多長時(shí)間?（3）兩人何時(shí)相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離是多少?

解析（1）對于第一問，欲求甲乙的路程-時(shí)間關(guān)系函數(shù)，利用圖中給出的數(shù)據(jù)即可

求出。,設(shè)甲路程隨時(shí)間變化的關(guān)系式為'=匕凡由于甲圖過點(diǎn)（1.5,15）,解出％=10,

代回上式可得甲的路程-時(shí)間關(guān)系函數(shù)為X=10x。從圖中可以看,出乙的曲線呈現(xiàn)分段

變化，設(shè).第一段時(shí)乙的關(guān)系函數(shù)為%=&x，則當(dāng)XG[0,1.5]時(shí)，將已知點(diǎn)（1.5,30）

代入，得到乙的關(guān)系函數(shù)為%=20》。在第二段中，當(dāng)XG[1.5,7.5]時(shí)，設(shè)其關(guān)系函數(shù)表

達(dá)式為為=%》+6，將點(diǎn)（L5,，30）、（7.5,60）代入得到表達(dá)式%=5x+22.5,綜上

，可知乙的路程-時(shí)間關(guān)系函數(shù)為《（20x,0<x<1.5。（2）己知甲的路程-時(shí)間關(guān)

5x+22.5,1.5<x<7.5

系函數(shù)，將y=60代入，即可求出對應(yīng)的時(shí)間x=6。（3）從路程-時(shí)間關(guān)系圖的幾何意義

出發(fā)，甲乙兩人的距離即是兩圖線之間的縱向距離，觀察圖形，兩人距離最”值可能出現(xiàn)在

x=L5及x=6處，代入計(jì)算可知，當(dāng)x=L5時(shí)，兩人距離最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)為

點(diǎn)撥對于一次函數(shù)的追擊類問題，只要圍繞圖形結(jié)合題設(shè)便可迅速求解。值得注意

的是必須看清圖形坐標(biāo)軸信息，理清圖形語言的幾何意義，為解題提供捷徑。

二、相遇類問題

例2甲乙兩地之間有一條筆直的公路，小明從甲地出發(fā)沿公路步行前往乙地，同時(shí)

小亮從乙地出發(fā)沿公路騎自行車前往甲地，小亮到達(dá)甲地后停留一段時(shí)間，原路原速返回，

追上小明后兩人一起步行到乙地。設(shè)小明與甲地的距離為必，小亮與甲地的距.離為為，

小明小亮之間的距離為s,小明行走時(shí)間為x,y、為與x之間的函數(shù)圖象如圖1，s與x

之間的部分圖形如圖2。⑴求小亮從乙到甲的為與x之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求小亮由甲返回

到與小明相遇的s與x的函數(shù)關(guān)系；(3)補(bǔ)全圖2的信息，并求出。值。

解析圖1是小明與小亮的路程時(shí)間圖象，結(jié)合題目背景可知，段是小亮從乙

地到甲地.的過程，設(shè)其關(guān)系式為必=依+6.將已知點(diǎn)代人可得左=一200、8=2000,

得到其關(guān)系式為%=-200X+2000。

(2)8七段為小亮在甲地停留的過程，段則是小亮與小明相遇的過程，設(shè)

yDE=kx+b,已知小亮的騎行速度，結(jié)合已知點(diǎn)E(24,0),可得。石段的關(guān)系式為

yDE=200x-4800,同時(shí)可以得到=50x。此時(shí)，小亮與小明相遇的s與x的關(guān)系

即是OC與。E之間的縱坐標(biāo)之差，s=50x—200(x-24)=-l50%+4800。

(3)首先，a值表示兩人第一次相遇時(shí)間，已知兩地距離與兩人速度，

4=2000/(200+50)=8。GE段：：當(dāng)x=10時(shí)，小亮到達(dá)甲地，此后14分鐘，小亮

停留在甲地，此時(shí)，兩人之間的距離s滿足關(guān)系：s=500+50x(104x424)。EM段:

此時(shí)，小亮出發(fā)往乙地,直至與小明相遇，兩人之間的距離。滿足關(guān)系式s=—150x+4800,

最終狀態(tài)兩人相遇即s=0,此段的時(shí)間xe[24,32]。MC段：此時(shí)兩人已經(jīng)相遇，且同

時(shí)步行至乙地，故兩人之間的距離s始終為0。至此，對兩人的運(yùn)動過程的分析全部完成,

將對應(yīng)的關(guān)系式與區(qū)間段代入圖形即可得到對應(yīng)的圖2。

點(diǎn)撥遇到復(fù)雜類.型的相遇追擊問題，切忌慌亂，此時(shí)可以多讀題目，將題目背景與

圖形進(jìn)行反復(fù)關(guān)聯(lián)對照。同時(shí)，將已知的信息盡可能多的標(biāo)注在圖形上，從而提高審題效

率。

一次函數(shù)類的相遇.與追擊問題常常與學(xué)生的生活實(shí)際相聯(lián)系，有條件時(shí)我們不妨安排

,學(xué)生進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，在生動趣味的實(shí)驗(yàn)過程中深化學(xué)生理解。在教學(xué)過程中，盡可能追求

學(xué)生對題目圖形的理解，務(wù)必做到圖形與情境的一一對應(yīng)。

例析一次函數(shù)圖象截出的等腰三角形問題

當(dāng)一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形是一個(gè)等腰直角三角形時(shí)，這個(gè)特殊的三角形

能給我們解題帶來許多的精彩..

例1如圖1,直線y=—x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段

上任意一點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），過點(diǎn)M分別作MC_LQ4于點(diǎn)C,MD上OB于點(diǎn)、D.

圖1

⑴當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動時(shí)，你認(rèn)為四邊形OCMD的周長是否發(fā)生變化?并說明理曲

⑵當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形OCMD的面積有最大值?最大值是多少？

⑶如圖2,3當(dāng)四邊形OCM3為正方形時(shí)，將.四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動,

設(shè)平移的距離為。(0<a<4),正方形與AAOB重疊部分的面積為S.試求S與a

的函數(shù)關(guān)系式，.并畫出該函數(shù)的圖象.

分析第(1)問，要想確定四邊形的周長在點(diǎn)的運(yùn)動過程是如何變化的，首先要解決的

問題就是結(jié)合圖形表示出四邊形的周長.根據(jù)矩形的性質(zhì)，已知這里四邊形的周長是

2(OC+MC),四邊形周長.的變化規(guī)律就取決于線段和OC+MC的變化規(guī)律.結(jié)合題目條

件，我們會有兩種基本的思路:一是坐標(biāo)法表示線段，線段OC的長恰好是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)

的絕對值，A/C的長恰好是點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的絕對值，這是這一方法的精髓;二是轉(zhuǎn)化線段

和法，根據(jù)條件知道AQ4B是一個(gè)等腰直角三角形，且腰。4=03=4,因此MC=C4,

所以

線段MC+OC就轉(zhuǎn)化成了OC+AC^OA,從而也能將所求問題化解.

第⑵問，在探求周長的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探求四邊形的面積變化規(guī)律.借鑒第⑴問的

思路，解題的關(guān)鍵是先表示出四邊形的面積，即OCxMC,利用坐標(biāo)法就可以將四邊形

的面積問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問題，最值自然就可以確定.

第(3)問，解答時(shí)體現(xiàn)兩種數(shù)學(xué)思想的靈活應(yīng)用:一是數(shù)形結(jié)合的思想，初步判定重合部

分圖形的形狀，確定面積的分割法表,示;二是分類的思想，抓住a的變化規(guī)律，立足正方形

成立的條件，給出a的正確分類也是解題的重要因素.

解(1)因?yàn)橹本€y=-x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、8兩點(diǎn)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(4,0),點(diǎn)6的坐標(biāo)為(0,4).所以。4=4,08=4,所以A/LBO是等腰直角三角形.因?yàn)?/p>

MC±OA,MD±OB,所以四邊形OCMO是矩形，且△MC4是等腰直角三角形，所

以MC=AC.因?yàn)榫匦蜲CMD的周長為2(OC+MC)=2(OC+C4)=2OA=8,所以

四邊形OCMZ)的周長是定值，且為8；

⑵設(shè)四邊形OCMD的面積為S,根據(jù)題意，得

S=MC.MD=(-%+4).x=-x2+4x=—(X-2>+4

所以四邊形的面積是關(guān)于點(diǎn)加的橫坐標(biāo)尤(0＜*＜4)的二次函數(shù)，并且當(dāng)

x=2,即當(dāng)點(diǎn)“運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OQKD的面積最大且最大面積為4；

(3)設(shè)兩個(gè)圖形重合部分的面積為S,正方形OCMD與直線的交點(diǎn)0,如圖2,當(dāng)

1,

0＜。42時(shí)，5=4—a'

2

如圖3,當(dāng)2＜。＜4時(shí)，此時(shí)a為正方形的邊與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以交點(diǎn)的縱坐

標(biāo)為-。+4;縱坐標(biāo)的絕對值恰好是重疊圖形的等腰直角三角形的腰長，所以

s=；(a-4)2;所以S與。函數(shù)的圖象如圖4所示.

點(diǎn)評這道題是知識與方法的盛宴.涉及的知識點(diǎn)廣，有幾何知識，一次函數(shù)知識，二

次函.數(shù)知識等;涉及的數(shù)學(xué)思想多，有數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化的思想，分類的思想，平移

的思想等，可謂是包羅萬象，值得深思與探究.

.例2(2013年長沙中考題)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2與X軸，

y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)8,動點(diǎn)P(a,b)在第一象限，由點(diǎn)尸向x軸，y軸所作的垂線PM,

PN(垂足為M,N)分別與直線AB相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)P(a,b)運(yùn)動時(shí)，矩形

PMQV的面積為定值2.

(1)求NQAB的度數(shù)；

⑵求證AAO/sMEO;

(3)當(dāng)點(diǎn)E,廣都在線段AB上時(shí)，由三條線段AE,EF,8尸組成一個(gè)三角形，記

此三角形的外接圓面積為,\OEF的面積為S,,試探究:S,+S2是否存在最小值?若存

在，請求出該最小值;若不存在，請說明理由.

圖5

分析第⑴問的證明是比較容易的;第⑵問的證明抓住一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):兩邊對應(yīng)成比例且

夾角相等的兩個(gè)三角形相似;第⑶問的關(guān)鍵在判定三條線段組成的三角形的形狀.

解(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)y=0時(shí)，x=2,所以點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)8坐標(biāo)

為(0,2),OA=OB,所以NQ4B=45。；

2

(2)法1因?yàn)榫匦蜵WW的面積是2,所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(。，一)，點(diǎn)E坐標(biāo)為

a

(a,—a+2),點(diǎn)尸坐標(biāo)為(四二2,2)

aa

AF=-V2,BE=6a

a

2A/2

OA_2_V2AF_丁_0

BEy[2aaOB2a

*_O_A_AF,

"BE~OB

NOAF=NEBO=45°

AAOFs^BEO

法2：A(2,0),5(0,2)

:.OA=OB^2

:.OA.OB=4

?.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(a,。)

/.E(a,2-a),F(2-b,b),如圖5

在等腰直角三角形AED中，得AF=Ob,

.在等腰直角三角形BEP中，BE=0a,

AF,BE-'J2b-\[2a=2ab

因?yàn)榫匦蔚拿娣e是定值2,r.。。=2

:.AF.BE=4

:.AF.BE=OA.OB

OAAF

"1BE~'OB

NOAF=NEBO=45°

AAOFsABEO

(3)根據(jù)⑵知，以BF,EF,AE為邊的三角形是直角三角形，且斜邊是

EF=g(a+b-2),所以三角形的外接圓面積為

S、=N(a；fy=]gf力一2)2

過點(diǎn)。作￡尸邊上的高O。，易求得高為。。=&,

/.S2=^x^2x^2(?+/?-2)=a+h-2

2

Sl+S2=y(a+h-2)+(a+/7-2)

所以關(guān)于a+。一2的二次函數(shù)的開口向上，所以\+$2有最小值，當(dāng)一2=-工

71

時(shí)一，函數(shù)有最小值，但是此值不在取值范圍內(nèi)，因此取不到.因?yàn)椤?，b都是正數(shù)，

:.a+b>2\[ab=2>/2

:.a+b-2>242-2>——

71

.?.當(dāng)。+匕一2=2正一2時(shí)，5+§2的值最小，最小值為](2/一2月+2&—2

反思此題可以引申出如下幾個(gè)獨(dú)立的新結(jié)論：

結(jié)論1如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,

點(diǎn)8,動點(diǎn)P(a,b)在第一象限，由點(diǎn)P向x軸，y軸所作的垂線PM,PN(垂足為“，

N)分別與直線AB相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)尸(a,。)運(yùn)動時(shí)，矩形P用。V的面積為定值

2,若E,尸都在直線上，求證:NEOF是一個(gè)定值.

第⑵問的三種證明方法都可以幫助你實(shí)現(xiàn)證明.

結(jié)論2如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,

點(diǎn)6,動點(diǎn)P(a,8)在第一象限，由點(diǎn)「向犬軸，y軸所作的垂線PM，PN(垂足為M.,

N)分別與直線AB相交于點(diǎn)E,點(diǎn)/，當(dāng)點(diǎn)P(a,份運(yùn)動時(shí)，矩形PMON的面積為定值

2,若E,尸都在直線A8上，試判斷以BF,EF,AE為邊的三角形的形狀，,并證明你

的猜想.

相信讀者也會輕松解決.

結(jié)論3如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,

點(diǎn)6,動點(diǎn)P(a,8)在第一象限，由點(diǎn)「向犬軸，y軸所作的垂線PM,PN(垂足為M,

N)分別與直線AB相交于點(diǎn)E,點(diǎn)/，當(dāng)點(diǎn)P(a,份運(yùn)動時(shí)，矩形PMQV的面積為定值

2,若E,尸都在直線43上，設(shè)AOM面積為d，AOEE的面積為S2，AOEl的面

積為邑，試判斷S-S2，S3之間的關(guān)系，并證明你的猜想

根據(jù)結(jié)論2,你同樣能輕松解,決.

結(jié)論4如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-尤+2與x軸，＞軸分別交于點(diǎn)A,

點(diǎn)6,動點(diǎn)尸3,份在第一象限，由點(diǎn)P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為“，

N）分別與直線AB相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)尸（兄。）運(yùn)動時(shí)，矩形PMQV的面積為定值

2,若E,產(chǎn)都在直線AB上，設(shè)面積為，，APEF的面積為§2，AME4的面積

為S3,試判斷S-S1,S3之間的關(guān)系，并證明你的猜想.

結(jié)論5如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=—x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,

點(diǎn)3,動點(diǎn)尸（。力）在第一象限，由點(diǎn)P向x軸，y.軸所作的垂線尸河，PN（垂足為

N）分別與直線AB相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸.，當(dāng)點(diǎn)尸（。,。）運(yùn)動時(shí)，矩形PMQV的面積為定值

2,確定點(diǎn)尸所在函數(shù)的解析式.

上述結(jié)論的答案分別是：

結(jié)論1：NEOF=45。.

結(jié)論2：直角三角形.

結(jié)論3：S；=S：+S；.

結(jié)論4：S2=SI+S3.

2

結(jié)論5：y=~.

X

例析數(shù)字開方中的常見錯(cuò)誤

數(shù)字開方問題是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識，有些同學(xué)由于對平方根、算術(shù)平方根、立方

根、無理數(shù)等概念理解不清，常常會出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，下面對一些易犯的典型錯(cuò)誤進(jìn)

行剖析，希望能夠引.起同學(xué)們的注意.

一、因忽視平方根的性質(zhì)而出錯(cuò)

例1.填空：⑴62的平方根是;

(2)(-11)2的平.方根是.

錯(cuò)解⑴62的平方根是6：

(2)(-11)2的平方根是一11.

剖析上述錯(cuò)解錯(cuò)在忽視了平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且它們互為相反

數(shù).

正解(1)因62=36,,而36的平方根是±6,故62的平方根是±6；

(2)同理(—11)a的平方根是±11.

二、因忽視算術(shù)平方根的意義而出錯(cuò)

例2填空：49的算術(shù)平方根是.

錯(cuò)解49的算術(shù)平方根是±7.

剖析上述錯(cuò)解錯(cuò)在混淆了平方根與算術(shù)平方根的概念算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)的非負(fù)

平方根，即算術(shù)平方根是一個(gè)非負(fù)數(shù)，只能一個(gè)正數(shù)或0,不可能是負(fù)數(shù).

正解49的算術(shù).平方根是7.

三、因忽視立方根的性質(zhì)而出錯(cuò)

例3填空：27的立方根是..

錯(cuò)解27的立方根是±3.

剖析上述錯(cuò)解錯(cuò)在混淆了立方根與平方根的區(qū)別，一個(gè)正數(shù)的立方根仍是一個(gè)正

數(shù).

正解27的立方根是3

四、因?qū)忣}不清而出錯(cuò)

例4回的平方根和立方根分別是()

(A)±9,廊.(B)±3,土婀

(C)3,正(D)+3,?

錯(cuò)解1病的平方根是±9；立方根是兩.應(yīng)選A

錯(cuò)解2&11=也=±3；

也質(zhì)=±的.故應(yīng)選日

錯(cuò)解3疑！=囪=3；

出質(zhì)=士衿.故應(yīng)選C.

剖析錯(cuò)解1錯(cuò)在把庖的平方根與立方根理解為81的平方根與立方根；錯(cuò)解2錯(cuò)

在沒有掌握任何實(shí)數(shù)的立方根都只有一個(gè)；錯(cuò)解3錯(cuò)在混淆，了平方根與算術(shù)平方根兩個(gè)不

同概念.

正解因?yàn)椴?9,所以9的平方根是±3,即新的平方根是.±3；9的立方根是衿，

即病的立方根是正.

故應(yīng)選D

五、因忽視無理數(shù)的概念而出錯(cuò)

例5“有限小數(shù)都是有理，數(shù)，無限小數(shù)都是無理數(shù)，”這句話是否正確？

錯(cuò)解正確，

剖析因?yàn)橛欣頂?shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，所以“，有限小數(shù)都是有理數(shù)”是正

確的；無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)，其中無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，

所以“無限小數(shù)都是無理數(shù)”的說法是錯(cuò)誤的，故這句話總體上是錯(cuò)誤的.

六、因忽視零而出錯(cuò)

例6若m是有理數(shù)，n是無理數(shù)，試問mn一定是無理數(shù)嗎？

錯(cuò)解m一定是無理數(shù).

剖析有理數(shù)包括正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)，當(dāng)m=0時(shí)，mn=0,則mn為有理數(shù).

正解當(dāng)m=0時(shí);mn是有理數(shù)；當(dāng)mWO時(shí)，mn是無理數(shù).

例7x是什么數(shù)時(shí)，口7有意義？

錯(cuò)解因?yàn)椴徽搙為何實(shí)數(shù)一x2<0,所以不論x為何值，Q7都沒有意義.

剖析當(dāng)x=0時(shí)，-X2=Q,這時(shí)有意義.錯(cuò)因在于誤認(rèn)為一x2總是負(fù)數(shù)，而

忽視了零.

正解.當(dāng)x=0時(shí)，CF有意義.

例析反比例函數(shù)的四個(gè)模型及其應(yīng)用

近年來各省市中考都有考查反比例函數(shù)的難題，一般都放在選擇題最后一題或填空題

最后兩個(gè)題的位置，屬于中檔偏上的題型.由于此類型的題目不僅要考察反比例函數(shù)的相關(guān)

性質(zhì)，.而且常與其它幾何圖形相互結(jié)合考察幾何圖形特征，因此考察面較廣又比較復(fù)雜，

學(xué)生常常找不到解題突破口.筆者認(rèn)為，這類題型解題方法是有章可循的.解決反比例函數(shù)

的常用方法有:關(guān)鍵點(diǎn)法、模型法、設(shè)而不解法、面積不變性等.其中模型法的應(yīng)用常常能

讓問題簡單化，甚至能直接看出答案.下面筆者主要談?wù)劮幢壤瘮?shù)的四個(gè)模型及其應(yīng)用，

供參考.

一、反比例函數(shù)的四個(gè)模型（證明略）

模型1⑴s矩形4goe=網(wǎng)；

圖1圖2

模型2形AMNB

(1)，(2)

模型3AM=BN.

模型4AM//BN.

注以上四個(gè)模型中點(diǎn)A、8都是反比例函數(shù)上的任一點(diǎn).

二、模型的應(yīng)用

例1如圖5,一次函數(shù)），=◎+/?的圖象與x軸、y軸交于A、3兩點(diǎn)，與反比例

k

函數(shù)y=—的圖象交于C、。兩點(diǎn)，過C、。兩點(diǎn)分別作y軸“x軸的垂線，垂足為E、

x

F,連接CV,￡>E.有下列四個(gè)結(jié)論:

①ADEF與XCEF的面-積相等;

②/\A.OBsAFOE；

.③ADCE/LCDF,

?AC^BD.

其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.

解析此題主要考察模型1,3.

對結(jié)論①，?:J省,&CE尸耳,，鼠四=?.①正確；

對結(jié)論②，SADEF=SACEF,且兩三角形同底，，兩三角形EF邊上的高相等，

AB//EF,:.MOBsAFOE,.?.②正確；

結(jié)論③中，T找不到全等條件，.??③錯(cuò)誤；

對于結(jié)論④，直接運(yùn)用模型3可得AC=08,.?.④正確.

k

例2已知反比例函數(shù)y=2（%〉0）的圖象與一次函數(shù)y=—x+6相交與第一象限的

x

A、8兩點(diǎn)，如圖6所示，過A、8兩點(diǎn)分別作x、y軸的垂線，線段AC、BD相交

與P.給出以下結(jié)論：

①3=06；

②AOAMskOBN；

③若△A3尸的面積是8,則％=5;

④尸點(diǎn)一定在直線y=x上.

其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.

圖6

解析對于結(jié)論①，先求出直線y=-x+6與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得出△(?所是

等腰直角三角形，由模型3可得=即絲AOBE,所以。4=08,故①

正確；

對于結(jié)論②，AMA.OE,BNA.OF,且由①NAOM=NBQV,知AQ4Ms

bOBN,故②正確；

對于③，設(shè)A(x,6—x),則8(6—?x,x),P(x,6—2x).再由三角形的面積公式求

出x的值，故可得出A點(diǎn)坐標(biāo).再根據(jù)點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上即可求出反比例函數(shù)的

解析式.故③正確；

對于④，由②得A"=8N,所以又因?yàn)樗渣c(diǎn)P

在線段A3的垂直平分線上，所以點(diǎn)P在直線y=x上，故④正確.

k

例3如圖7,反比例函數(shù)y=-(A>0)的圖象與矩形ABC。的兩邊相交于E、F兩

x

點(diǎn),若E是AB的中點(diǎn)，S岫EF=2，則上的值為.

圖7

解析由模型4,可得EF〃AC,所以△BEFSMAC.

又，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，S即EF=2,

即S&BEF:SABAC=1：4,S矩形AOCB=16,

所以S矩形Ao”。=網(wǎng)=]S矩形AOCB=8

即左=8.

例4(2013年重慶中考題)如圖8,在直角坐標(biāo)系中，正方形。46c的頂點(diǎn)。與原點(diǎn)

k

重合，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)y=t/>0).的圖象與正方形的兩

x

邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、軸，垂足為。，連結(jié)。M、ON、MN,下列

結(jié)論：

QkOAMwbOCN；

②四邊形DAMN與AMON面積相等；

③若AMON=45°,MN=2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0+1).

其中正確的結(jié)論是：__________(填寫序號)

解析對于①，由模型】可得邑…邑”，，而則NJAM;

再根據(jù)“SAS”可判斷AOCN烏AQAM,故①正確；

對于②.，由模型2可得S四邊影"MN=SAOMN，故②正確；

對于③，作NE_LQM于E點(diǎn)，則AONE為等腰直角三角形.設(shè)NE=x,則

OM=ON=Cx,EM=6x-x=@-l)x.

在中，利用勾股定理，可求出必=2+、歷，

所以O(shè)N?=(岳)2=4+2&.

易得為等腰直角三角形，得到BN=^MN=g.

2

設(shè)正方形ABCO的邊長為a,

在RtAOCN中,利用勾股定理，可求出a的值為亞+1,

從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)為。V2+1).故③正確.

總之，利用反比例函數(shù)的以上4個(gè)模型，是處理反比例函數(shù)問題的重要方法之一，我

們在教學(xué)中應(yīng)該重?視這些幾何模型的掌握和應(yīng)用.

例析初中數(shù)學(xué)中“或”與“且”的正確使.用

“或”與“且”屬邏輯聯(lián)結(jié)詞，是初中數(shù)學(xué)不加定義卻經(jīng)常使用的概念，學(xué)生使用時(shí)

常

因概念混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤.下面舉例說明“或”與“且”的正確使用方法.

一、或表示選擇關(guān)系

在數(shù)學(xué)中含或此、或彼、或兩者三種選擇，aZ?=0oa=0,或6=0。。，沙至少

有一個(gè)為0.

例