北師大版九年級上冊數學導學案

最新北師大版九年級上冊數學導學案

目錄

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質與判定

第1課時菱形的性質

第2課時菱形的判定

1.2矩形的性質與判定

第1課時矩形的性質

第2課時矩形的判定

1.3正方形的性質與判定

第1課時正方形的性質

第2課時正方形的判定

第二章一元二次方程

2.1認識一元二次方程

第1課時一元二次方程

第2課時一元二次方程的解及其估算

2.2用配方法求解一元二次方程

第1課時用配方法求解簡單的一元二次方程

2.3用公式法求解一元二次方程

第1課時用公式法求解一元二次方程

第2課時利用一元二次方程解決面積問題

2.4用因式分解法求解一元二次方程

2.5一元二次方程的根與系數的關系

2.6應用一元二次方程

第四章圖形的相似4.1成比例線段

第1課時線段的比和成比例線段第2課時比例的性質

4.2平行線分線段成比例4.3相似多邊形

4.4探索三角形相似的條件第1課時利用兩角判定三角

形相似第2課時利用兩邊及夾角判定三角形相似第3

課時利用三邊判定三角形相似第4課時黃金分割

4.5相似三角形判定定理的證明4.6利用相似三角形測

高4.7相似三角形的性質第1課時相似三角形中的對

應線段之比第2課時相似三角形的周長和面積之比4.8

圖形的位似

第2課時平面直角坐標系中的位似變換第五章投影與

視圖

5.1投影

第1課時投影的概念與中心投影第2課時平行投影與

正投影5.2視圖

第2課時用配方法求解較復雜的一元二次方程第1課

時位似多邊形及其性質第1課時幾何問題及數字問題

與一元二次方程第1課時簡單圖形的三視圖第2課時

營銷問題及平均變化率問題與一元二次方程第2課時

復雜圖形的三視圖第三章概率的進一步認識

3.1用樹狀圖或表格求概率

第1課時用樹狀圖或表格求概率

第2課時概率與游戲的綜合運用

第六章反比例函數

6.1反比例函數

6.2反比例函數的圖象與性質第1課時反比例函數的圖

象

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3.2用頻率估計概率

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質與判定

第1課時菱形的性質

學習目標：

①通過折、剪紙張的方法，探索菱形獨特的性質。

②通過學生間的交流、計論、分析、類比、歸納、運用已

學過的知識總結菱形的特征。教學重點：菱形的概念和菱形的

性質，菱形的面積公式的推導。

教學難點：菱形的性質的理解及菱形性質的靈活運用。

【預習案】

學習過程：

活動一：

自學課本例題以上的內容，完成下列問題：

1.如何從一個平行四邊形中剪出一個菱形來？

菱形

平行四邊形

的四邊形叫做菱形，生活中的

有。

菱形【探究案】

2.按探究步驟剪下一個四邊形。

①所得四邊形為什么一定是菱形？

②菱形為什么是軸對稱圖形？

有對稱軸。

圖中相等的線段有：

圖中相等的角有：

③你能從菱形的軸對稱性中得到菱形所具有的特有的性質

嗎？自己完成證明。

性質：

證明：

活動二：對比菱形與平行四邊形的對角線

菱形的對角線：

平行四邊的對角線：

活動三：菱形性質的應用

1.菱形的兩條對角線的長分別是6cm和8cm,求菱形的周

長和面積。

【訓練案】

2.如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20cm,NABC=60。

沿菱形的兩條對角線修建了兩條小路AC和BD,

求兩條小路的長和花壇的面積。

課效檢測：

一、填空

(1)菱形的兩條對角線長分別是12cm,16cm,它的周

長等于，面積等于。

(2)菱形的一條邊與它的兩條對角線所夾的角比是3：2,

菱形的四個內角是。

(3)已知：菱形的周長是20cm,兩個相鄰的角的度數比

為1：2,則較短的對角線長是。

(4)已知：菱形的周長是52cm,一條對角線長是24cm,

則它的面積是。

二、解答題

已知：如圖，在菱形ABCD中，周長為8cm,

NBAD=120對角線AC,BD交于點O,求

這個菱形的對角線長和面積。

A

OD

第2課時菱形的判定

學習目標：

1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符號語言的應用；

2.靈活運用判定方法進行有關的證明和計算.

重點：掌握并會應用菱形的判定方法.

難點：菱形判定方法的應用.

B

C

【預習案】

課前預習

你還記得菱形的定義嗎？菱形有哪些特殊性質？

邊

角

對角線

對稱性:

【探究案】

1.木工在做菱形的窗格時，總是保證四條邊框一樣長，你知

道其中的道理嗎？借助以下圖形探索：如圖，在四邊形ABCD

中,AB=BC=CD=DA,試說明四邊形ABCD是菱形.

證明：

B

DA

我發(fā)現，的四邊形是菱形。

2.如下圖，在DABCD中，若ACLBD,則DABCD是什么圖形?

證明：

我發(fā)現，的平行四邊形四邊形是菱形.

菱形的判定方法：

1、的四邊形是菱形

符號語言

2、的平行四邊形是菱形

符號語言

課堂活動

活動1預習反饋

活動2例習題分析

例DABCD的對角線AC、BD相交于點0,且AB=5

AO=4,OB=3.求證：DABCD是菱形。

A

C

BoD

A

B

平行練習

C

oDl、一個平行四邊形的一條邊長是15,兩條對角線的長

分別是12和

9

,這是一個特殊的平行四邊形嗎？為什么？求它的面積。

歸納：S

菱形

2、如圖，用兩張等寬的紙條交叉重疊地放在一起，重合

的四邊形ABCD是一個菱形嗎？為什么？

【訓練案】

課后鞏固

1、如圖，AE〃BF,AC平分/BAD,且交BF于點C,BD

平分NABC,且交AE于點D,連接CD,

求證：四邊形ABCD是菱形。

A

D

0

BCF

E

2、如圖，四邊形ABCD是菱形，點M,N分別在AB,AD

上，且BM=DN,MG〃AD,NF〃AB,點F,G

分別在BC,CD上，MG與NF相交于點E.求證：四邊形

AMEN,EFCG都是菱形。

B

F

C

E

G

A

MN

D

1.2矩形的性質與判定

第1課時矩形的性質

學習目標：

1.能運用綜合法證明矩形性質定理。

2.體會證明過程中所運用的歸納概括以及轉化等數學思

想方法。

【預習案】

回顧舊知：

1.你了解哪些特殊的平行四邊形？

2.這些特殊的平行四邊形與平行四邊形有哪些關系？

3.能用一張圖來表示它們之間的關系嗎？

自學提示：

（一）自主學習：

①平行四邊形活動框架在變化過程中，哪些量發(fā)生了變化?

哪些量沒有變化？從中得到哪些

結論？你能試著說明結論是否成立？

②矩形的一條對角線把矩形分成兩個什么三角形？矩形的

兩條對角線把矩形分成四個什么樣的三角形？

1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形，叫做

矩形。由此可見，矩形是特殊的，它具有平行四邊形

的所有性質。

2.結合上面兩個圖形說說矩形有哪些平行四邊形不具

有的特殊性質？

3.證明：矩形的四個角都是直角

已知：如圖，

求證：___________________

證明：

D

證明：矩形對角線相等

A已知：如圖，

求證：

證明：

BCBC【探究案】

合作探究：

問題一:如圖，矩形ABCD,對角線相交于0,觀察對角

線所分成的三角形，你有什么發(fā)現？

A

O

BC

D

問題二將目光鎖定在RtAABC中，你能發(fā)現它有什么特

殊的性質嗎？

證明：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.”

已知:AB

求證：

證明：

DC

問題三上面結論的逆命題是：。是否正確？請給予證明。

【訓練案】

鞏固練習

1.矩形除了具備平行四邊形的性質外，還有一些特殊性質:

四個角，對角線。

2.在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點0,若

A0B100,則OABo3、已知矩形的長為20,寬為12,

順次連結矩形四邊中點所形成的四邊形的面積是.

4,如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,

已知NAOD=120。，AB=2.5cm,求矩形對角線的長。

六、反思領悟

這節(jié)課我們學到了：

我的疑問是：

第2課時矩形的判定

學習目標：

1.會證明矩形的判定定理。

2.能運用矩形的判定定理進行計算與證明。

3.能運用矩形的性質定理與判定定理進行綜合推理與

證明。

【預習案】

學習準備：

1.矩形是軸對稱圖形，它有條對稱軸.

2.在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,若對

角線AC=10cm,?邊BC=?8cm,?則△ABO的周長為

3.矩形是特殊的平行四邊形，怎樣判定一個平行四邊

形是矩形呢？

請同學們說出最基本的方法：（用定義）

【訓練案】

鞏固練習

1.矩形除了具備平行四邊形的性質外，還有一些特殊性質:

四個角，對角線。

2.在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點0,若，貝L

3、已知矩形的長為20,寬為12,順次連結矩形四邊中點所形

成的四邊形的面積是.

4,如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,

已知NAOD=120。，AB=2.5cm,求矩形對角線的長。

六、反思領悟

這節(jié)課我們學到了：

我的疑問是：

第2課時矩形的判定

學習目標：

1.會證明矩形的判定定理。

2.能運用矩形的判定定理進行計算與證明。

3.能運用矩形的性質定理與判定定理進行綜合推理與證明。

【預習案】

學習準備：

1.矩形是軸對稱圖形，它有條對稱軸.

2.在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,若對

角線AC=10cm,?邊BC=?8cm,?則△ABO的周長為

3.矩形是特殊的平行四邊形，怎樣判定一個平行四邊形是

矩形呢？

請同學們說出最基本的方法：(用定義)

【探究案】

1.知識點一：探究“對角線相等的平行四邊形是矩形?！?/p>

如圖在DABCD中，對角線AC、BD相交于0,如果

AC=BD

求證：DABCD是矩形。

證明：DABCD是平行四邊形

，AB=CD,AB〃CD()

.*.ZABC+ZDCB=180

在^ABC^ADCB中

/.△ABC^ADCB()

.\ZABC=ZDCB

NABC二

??.□ABCD是矩形()

2.知識點二：探究“三個角都是直角的四邊形是矩形?！?/p>

已知：在四邊形ABCD中NA=NB=NC=90°

求證：四邊形ABCD矩形

證明：?.?NA+NB+NC+ND二度

而NA=NB=NC=90度

ND=

???——_—_

，四邊形ABCD是平行四邊形()

，四邊形ABCD矩形()

【訓練案】

1.如圖，DABCD中，AB=6,BC=8,AC=10,

求證:DABCD是矩形。

2.如上圖已知：nABCD的AC、BD對角線相交于0,

△A0B是等邊三角形，AB=4cm,求這個平行四邊形的面積。

能力提升：

△ABC中，點0是AC邊上一動點，過0點作直線

MN//BC,設MN交NBCA的平分線于點E,交NBCA的外角

平分線于點F,

(1)試說明EO=OF的理由。

(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說

明你的結論。

1.3正方形的性質與判定

第1課時正方形的性質

學習目標：

1.理解正方形的定義，掌握正方形的性質和判定；

2.能運用正方形的性質和判定進行簡單的計算與證明.

【預習案】

自主學習：

1、正方形具有而一般菱形不具有的性質是（）

A.四條邊都相等B.對角線互相垂直平分C.對角線相等

D.每一條對角線平分一組對角2、正方形具有而一般矩

形不一定具有的性質是（）

A.四個角相等B,四條邊相等C.對角線互相平分D.對角

線相等

3、已知一個正方形的邊長為2cm,則對角線長為

4、已知一正方形的對角線長為2cm,則它的邊長為

5、若正方形的一條對角線長為4cm,則正方形的周長

為,面積為;對角線

的交點到邊的距離為O

【探究案】

探究點1:矩形和正方形的關系

做一做：用一張長方形的紙片（如圖所示）折出一個正方

形.

問題1:什么樣的四邊形是正方形？

探究點2：正方形的性質

問題2：正方形有什么性質？

由正方形的定義得知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形,

又是有一個角是直角的菱形.

所以，正方形具有矩形的性質，同時又具有菱形的性質.

正方形性質定理1：正方形的四個角都是，四條邊都。

正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等并且。例1.

求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角

三角形.

已知：四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD

相交于點0（如圖）.

求證：△ABO、△BCO、△CDO.△DAO是

全等的等腰直角三角形.

例2.已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點,

點F是CB的延長線上一點，且DE=BF.

求證：（1）EA=AF；（2）EA±AF.

【訓練案】

1.⑴正方形的四條邊,四個角,兩條對角

線.

⑵正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的

⑶正方形的邊長為6,則面積為

⑷正方形的對角線長為6,則面積為

2.如右圖，E為正方形ABCD邊AB上的一點，已知

EC=30,EB=10,

則正方形ABCD的面積為,對角線為

3.如右圖，E為正方形ABCD內一點，且aEBC是等邊

三角形,

求NEAD與NECD的度數.

第2課時正方形的判定

學習目標：

1、知道正方形的判定方法，會運用平行四邊形、矩形、

菱形、正方形的判定條件進行有關

的論證和計算。

2、經歷探究正方形判定條件的過程，發(fā)展學生初步的綜

合推理能力，主動探究的學習習

慣，逐步掌握說理的基本方法。

3、理解特殊的平行四邊形之間的內在聯系，培養(yǎng)學生辯

證看問題的觀點。

學習重點：掌握正方形的判定條件。

學習難點：合理恰當地利用正方形的判定定理解決問題。

【預習案】

預習檢測

1、下列說法中錯誤的是（）

A、對角線相等的菱形是正方形B、有一組鄰邊相等的

矩形是正方形

C、四條邊都相等的四邊形是正方法D、有一個角為直

角的菱形是正方形

2、已知四邊形兩對角線：①互相垂直；②相等；③互

相平分。具備條件—可得平行四邊

形；具備條件可得矩形；具備條件可得是

菱形；具備條件可得正方形。（填序號）

3.我們學習了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思

考一下，它們之間有怎樣的包含關系？請畫出來。

【探究案】

探究點1：用菱形證明正方形.

1.已知四邊形ABCD是菱形，當滿足條件時，

它成為正方形（填上你認為正確的一個條件即可）.

證明:

探究點2：用矩形證明正方形.

2.已知四邊形ABCD是矩形，當滿足條件時，

它成為正方形（填上你認為正確的一個條件即可）.

證明：

探究點3：用平行四邊形證明正方形

3.在RtAABC中，NACB=90。，CD平分ZACB,

DEIBC,DF±AC,垂足分別是E,Fo

求證：（1）四邊形CFDE是平行四邊形。

（2）四邊形CFDE是矩形或菱形（任選一項）。

（3）四邊形CFDE是正方形。

【訓練案】

1.如下圖E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD±,

且NEAF=45。，試說明EF=BE+DF。

2.畫一個正方形，使它的對角線長為30,并說明畫法的依

據。

3.如圖，在正方形ABCD的BC、CD邊上取E、F兩點，

使NEAF=45°,AGLEF于G.求證：AG=AB。

達標測試答案

1.解：將△ADF旋轉到△ABC,則△ADFZ^ABG

，AF=AG,NADF=NBAG,DF=BG

ZEAF=45。且四邊形是正方形，

.*.ZADF+ZBAE=45°

ZGAB+NBAE=45°

即NGAE=45°

.?.△AEF^AAEG(SAS)

，EF=EG=EB+BG=EB+DF

2.畫法：1、畫線段=30cm,取AC的中點O。

2、過點O畫AC的垂線，并分別在AC的兩側取

0B=0D=15cm。

3、連結AB、BC、CD、DA.

則四邊形ABCD就是所要畫的正方形.

證明：VAO=CO,BO=DO

四邊形ABCD是平行四邊形。

又「AC=BD,，平行四邊形ABCD是矩形：ACJ_BD

???平行四邊形ABCD是菱形。

.二四邊形ABCD是正方形

補標練習答案：解析：欲證AG=AB,就圖形直觀來看，

應證RQABE與RQAGE全等，但條件不夠.

NEAF=45。怎么用呢？顯然Nl+N2=45。，若把它們拼在

一起，問題就解決了.

證明：把△AFD繞A點旋轉90。至△AHB.

VZEAFM50,.?.Nl+N2=45°.

VZ2=Z3,??.Nl+N3=45°.

又由旋轉所得AH=AF,AE=AE.

.?.△AEF^AAEH,

，NAEH=NAEF,

又?:NABE=NAGE,AE=AE,

AAABE^AAGE,

，AG=AB.

第二章一元二次方程

2.1認識一元二次方程

第1課時一元二次方程

學習目標：

1.通過設置問題，建立數學模型，模仿一元一次方程概

念給一元二次方程下定義.2.一元二次方程的一般形式及其

有關概念.

3.解決一些概念性的題目.

4.通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激

發(fā)學生的學習熱情.

重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程

的有關概念并用這些概念解決問題.

難點：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，?

再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念.

【預習案】

二、自學探究：

理解一元二次方程的概念，并會把一元二次方程化為一般

形式。

自學教材，回答：

(1)如果設未鋪地毯區(qū)域的寬為xm,那么地毯中央長

方形圖案的長為m,寬為為m.

根據題意，可得方程

(2)試再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五個連

續(xù)整數，使前三個數的平方和等于

后兩個數的平方和：

9

如果設五個連續(xù)整數中的第一個數為X,那么后面四個數

依次可表示為、、

V,根據題意可得方程：

(3)根據圖2-2,由勾股定理可知，滑動前梯子底端距

墻m,如果設梯子底端滑動xm,那么滑動后梯子底端距墻m,

梯子頂端距地面的垂直距離為m,根據題意，可得方程：

【探究案】

探究點1：一元二次方程的概念

1.一元二次方程的一般形式是()

(1)提問2=時方程還是一無二次方程嗎？為什么?(如果

a=、b#就成了一元一次方程了)

2(2)方程中ax、bx、c各項的名稱及a、b的系數名稱

各是什么?

(3)強調：一元二次方程的一般形式中“=”的左邊最多

三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、

而且左邊通常按x的降得排列：特別注意的是“=”的右邊必須

整理成.

探究點2：一元二次方程解決生活中的應用

根據下列問題，列出關于x的方程，并將其化成一元二次

方程的一般形式：

△4個完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形

的邊長x;

⑵一個長方形的長比寬多2,面積是100,求長方形的長

X；

⑶把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積,

等于較長一段的長的平方，求較短一段的長X。

【訓練案】

1.在下列方程中，一元二次方程有.

①3x+7=0②ax+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x-l?3x-

2

2222=0

2.方程2x=3(x-6)化為一般式后二次項系數、?一次項系

數和常數項分別是O.

A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

223.px-3x+p-q=0是關于x的一元二次方程，貝?。?).

A.p=lB.p>0C.p#)D.p為任意實數

4.方程3x-3=2x+l的二次項系數為,一次項系數

為,

常數項為.

5.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出

其中的二次項系數、及常數項：

(1)3x2+1=6x(2)4x2+5x=81(3)x(x+5)=0

(4)(2x-2)(x-1)=0(5)x(x+5)=5x-10(6)(3x-2)(x+l)=x(2x-1)

2

第2課時一元二次方程的解及其估算

學習目標

1.了解一元二次方程根的概念，會判定一個數是否是一個

元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題.

2.經歷方程解的探索過程，增進對方程解的認識，發(fā)展估

算意識和能力。

重點：探索一元二次方程的解或近似解；

難點：培養(yǎng)學生的估算意識和能力.

【預習案】

學生活動：請同學獨立完成下列問題.

問題1.如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的

頂端距地面的垂直距離為8m,那么梯子的底端距墻多少米？

設梯子底端距墻為xm,那么，

根據題意，可得方程為.

整理，得.

列表：

X12345678...

問題2.一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多

2m,苗圃的長和寬各是多少？

設苗圃的寬為xm,則長為m.

根據題意，得.

整理，得.

列表：

X123456789101

1

【探究案】

探究點1：探究一元二次方程的解.

提問：(1)問題1中一元二次方程的解是多少？問題2

中一元二次方程的解是多少？

(2)如果拋開實際問題，問題1中還有其它解嗎？問題

2呢？

(3)如果拋開實際問題，問題(1)中還有x=-6的解；

問題2中還有x=-12的解.

為了與以前所學的一元一次方程等只有一個解的區(qū)別，我

們稱：

一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.

回過頭來看：x2-36=0有兩個根，一個是6,另一個是一6,

但-6不滿足題意；同理，問題2中的x-12的根也滿足題

意.因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定是實際

問題的根，還要考慮這些根是否確實是實際問題的解.

例1.下面哪些數是方程2x2+10x+12=0的根？

-4,-3,-2,-1,,1,2,3,4.

分析：要判定一個數是否是方程的根，只要把其代入等式,

使等式兩邊相等即可.

解：將上面的這些數代入后，只有一2和-3滿足方程的等

式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x4-12=0的兩根.

探究點2：用“夾逼法”解生活中的一元二次方程.

例2.要剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使它的長

比寬多5cm,△這塊鐵片應該怎樣剪？

設長為xcm,則寬為(x-5)cm

列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0

請根據列方程回答以下問題：

(1)x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由.

(2)完成下表：

X

x2-5x-15

101121314151617...

1

(3)你知道鐵片的長x是多少嗎？

分析：x2-5x-150=0與上面兩道例題明顯不同，不能用平

方根的意義和八年級上冊的整式中的分解因式的方法去求根，

但是我們可以用一種新的方法夾逼'’方法求出該方程的根.

解：(1)x不可能小于5.理由：如果x<5,則寬(x-5)

<0,不合題意.

x不可能等于10.理由：如果x=10,則面積x2-5x-150=-

100,也不可能.

(2)

x

x2-5x-15

10121314151617...

11

-10-8-66-46-2

2654...

(3)鐵片長x=15cm

44

【訓練案】

一、選擇題

1.方程x(x-1)=2的兩根為().

A.x

1

=0,x

2

=1B.x

1

=0,x

2

=-1C.x

1

=1,x

2

=2D.x

1

=-1,x

2

2.已知x=-l是方程ax2+bx+c=0的根(bg),則=().

A.IB.-IC.D.2

二、填空題

1.如果x2-81=0,那么x2-81=0的兩個根分別是x

1

=,x

2

*"*■

2.已知方程5x2+mx-6=0的一個根是x=3,則m的值為

3.方程(x+1)2+x(x+1)=0,那么方程的根x

1

=;x

2

~~■

三、綜合提高題

1.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一個根，求(a-b)

2+4ab的值.

2.如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a#：)中的二

次項系數與常數項之和等于一次項系數，求證：-1必是該方

程的一個根.

3.在一次數學課外活動中，小明給全班同學演示了一個

有趣的變形，即在()2-2x+l=0,令=丫,則有y2-2y+l=0,根

據上述變形數學思想(換元法)，解決小明給出的問題：在

(x2-l)2+(x2-l)=0中，求出(x2-l)2+(x2-l)=0的

根.4.一塊矩形鐵片，面積為lm2,長比寬多3m,求鐵片

的長，小明在做這道題時，△是這樣做的：

設鐵片的長為x,列出的方程為x(x-3)=1,整理得：

x2-3x-l=0.小明列出方程后，想知道鐵片的長到底是多少，

下面是他的探索過程：

第一步:

X

x2-3x-

1

所以，一<x<

第二步:

x

x2-3x-

-0.9

6

3.2

-0.3

6

3.

3

3.

4

1234

]

33

所以，<x<

(1)請你幫小明填完空格，完成他未完成的部分；

(2)通過以上探索，估計出矩形鐵片的整數部分為

,十分位為.答案：

一、1.D2.A

二、1.9,-92.-133.-1,1-

三、1.由已知，得a+b=-3,原式二(a+b)2=(-3)2=9.

2.a+c=b,a-b+c=O,把x—1代入得

ax2+bx+c=ax(-1)2+bx(-1)+c=a-b+c=O,

???-l必是該方程的一根.

3.設y=x2-l,則y2+y=0,y

1

=o,v

2

=-1,

即當x2-l=0,x

1

=1,X

2

=-1；

當y

2

=-1時,x2-l=-l,x2=0,

△x

3

=x

4

=o,

.'.X

1

=1,X

2

=-1,x

3

=x

4

二是原方程的根.

4.(1)-1,3,3,4,-0.01,0.36,3.3,3.4(2)3,3

2.2用配方法求解一元二次方程

第1課時用配方法求解簡單的一元二次方程

學習目標：

1.會用開平方法解形如(x十m)=n(n0)的方程.

2.理解一元二次方程的解法——配方法.

重點：利用配方法解一元二次方程

難點：把一元二次方程通過配方轉化為(x十m)=n(nO)的

形式.

【預習案】

1用直接開平方法解方程

222x-8=0(x+6)-9=0

2完全平方公式是什么？

3填上適當的數，使下列等式成立：

22(1)x+12x+=(x+6)

22(2)X—12x+=(x—)

22(3)x+8x+=(x+)

(4)x+

2

2x+=(x+)

2

2

(5)x+px+=(x+)

觀察并思考填的數與一次項的系數有怎樣的關系？

【探究案】

探究點1:用配方法一元二次方程來解一元二次方程.

問題：下列方程能否用直接開平方法解？

x+8x—9=0x—10x十25=7；

是否先把它變成(x+m)=n(n>)的形式再用直接開平方法

求解？

在這里，解一元二次方程的基本思路是將方程轉化成的形

式，它的一邊是另一邊是，當時兩邊便可以求出它的根。這種

通過配成進一步求得一元二次方程根的方法稱為配方法

問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為

16m2,場地的長和寬應各是多少？解：設場地寬為x米，則

長為(x+6)米，根據題意得：()整理得()

2

2

怎樣解方程x+6x—16=0自學P36頁

例1:用配方法解下列方程

2x-8x+l=0

探究2：用配方法解一元二次方程步驟

總結用配方法解方程的一般步驟.

(1)化二次項系數為1,即方程兩邊同時除以二次項系數.

(2)移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項.

(3)要在方程兩邊各加上一次項系數一半的平方.(注：一

次項系數是帶符號的)

2(4)方程變形為(x+m)=n的形式.

(5)如果右邊是非負實數，就用直接開平方法解這個一元

二次方程；如果右邊是一個負數，則方程在實數范圍內無解.

2

【訓練案】

1配方：填上適當的數，使下列等式成立：

22(1)x+12x+=(x+6)

22(2)x—12x+=(x—)

22(3)x+8x+=(x+)

22.將二次三項式x-4x+l配方后得().

2222A.(x-2)+3B.(x-2)-3C.(x+2)+3

D.(x+2)-3

23.已知x-8x+15=0,左邊化成含有x的完全平方形式，

其中正確的是().

2222A.x-8x+(-4)=31B.x-8x+(-4)=1

222C.x+8x+4=lD.x-4x+4=-ll

25.如果mx+2(3-2m)x+3m-2=0(m聲)的左邊是一個

關于x的完全平方式，則m等于().A.1B.-1

C.1或9D.-1或9

6.下列方程中，一定有實數解的是()

A.x+l=OB.(2x+l)=0C.(2x+l)+3=0

D.(

7.方程x+4x-5=0的解是.2

222x-a)=a28.代數式的值為，則x的值為.

9.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值，若設

x+y=z,則原方程可變?yōu)椋?所以求出z的值即為x+y

的值，所以x+y的值為—

210已知三角形兩邊長分別為2和4,第三邊是方程x-

4x+3=0的解，求這個三角形的周長.

11.如果x-4x+y+6y+22+13=0,求(xy)的值.z

12.新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500?元，?市

場調研表明：?當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；

而當銷售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要

想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達5000元，每臺冰箱的定

價應為多少元？

1.已知：x+4x+y-6y+13=0,求22的值.

2.如圖，在R3ACB中，NC=90。，AC=8m,CB=6m,

點P、Q同時由A,B?兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C

勻速移動，它們的速度都是lm/s,?幾秒后4PCQ?的面積為

RtAACB面積的一半.

第2課時用配方法求解較復雜的一元二次方程

學習目標：

1、知識與技能：能夠熟練地、靈活地應用配方法解一元

二次方程。

2、能力培養(yǎng)：進一步體會轉化的數學思想方法來解決實

際問題。

3、情感與態(tài)度：培養(yǎng)觀察能力，運用所學舊知識解決新

問題。

重點：掌握配方法解一元二次方程。

2難點：把一元二次方程轉換為(x+m)=n(n>0)

【預習案】

熟練掌握解一元二次方程的兩種方法。

1、解下列方程：

(1)(2-x)=3(2)(x-2)=64(3)2(x+1)=22

2、用配方法解方程：

222(1)x-6x-40=0(2)x-6x+7=0(3)x+4x+3=0(4)x-

8x+9=0(5)x-22x=2

【探究案】

探究點1：如何用配方法解較復雜的一元二次方程

例1.用配方法解下列方程：

(l)x(2x-5)=4x-10(2)x+5x+7=3x+l1

探究點2：用配方法解生活中一元二次方程

例2.綠苑小區(qū)住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面

積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，那

么綠地的長應是多少米？

解:設綠地的寬是x米，則長是(x+10)米，根據題意得:

x(x+10)=900.

整理得

配方得

解得

由于綠地的邊長不可能是負數，因此綠地的寬只能是

米.

當堂訓練：

2

米，于是綠地的長是解下列方程：

221、2x+5x-3=02、3x-4x-7=0

223、5x-6x+l=04、x+6x=l

【訓練案】

1、(1)x-4x+=(x-)；(2)x-

2

222x+=(x-)

2

2

2、方程x-12x=9964經配方后得(x-)二

23、方程(x+m)=n的根是

224、當x=-l滿足方程x-2(a+1)x-9=0時，a=

2m+15、已知：方程(m+1)x+(m-3)x-l=O,試問:

(1)m取何值時，方程是關于x的一元二次方程，求出

此時方程的解；

(2)m取何值時，方程是關于x的一元一次方程？

6、方程y2-4=2y配方，得()

A.(y+2)2=6B.(y-1)2=5

C.(y-1)2=3D.(y+1)2=-3.

7、已知m2-13m+12=0,則m的取值為()

A.1B.12

C.-1和-12D.1和12

221、關于x的一元二次方程(a+1)x+3x+a-3a-4=0的一

個根為，則a的值為()A、-1B、4C、-1或4D、

1

222、不論x、y為什么實數，代數式x+y+2x-4y+7的值()

A、總不小于2B、總不小于7C、可為任何實數D、

可能為負數

2.3用公式法求解一元二次方程

第1課時用公式法求解一元二次方程

學習目標：

1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法

的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程.

22.復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引

入ax+bx+c=O(ar)?的求根公式的推導公式，并應用公式法

解一元二次方程.

重點：求根公式的推導和公式法的應用.

難點：一元二次方程求根公式法的推導

【預習案】

學前準備

(學生活動)用配方法解下列方程

22(1)6x-7x+l=0(2)4x-3x=52

總結用配方法解一元二次方程的步驟是什么？

【探究案】

探究點1:如何用公式法來解一元二次方程.

21如果這個一元二次方程是一般形式ax+bx+c=O(a^),

你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成

下面這個問題.

我們來討論一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=O(a^O)

因為a，，方程兩邊都除以a,得

x2+x+=

移項，得x+x=—2

配方，得x+2?x?2+()=()—22

即(x+)=

22

2

Va^,.\4a>,當b—4acN時，直接開平方，得

x+=±

.*.x=-±,

即x=

2

由以上研究的結果，得到了一元二次方程2乂+6乂+?=的

求根公式：

即x二

利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數a、b、c

的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法.

探究點2：公式法中根與判別式之間的關系.

一元二次方程根的情況與一元二次方程的二次項系數、一

次項系數及常數項有關嗎？有什么關系？通過解下列方程你有

什么發(fā)現？

222(1)x+x-l=O(2)x-2x+3=0(3)2x-2x+l=0

小結

2(1)當b—4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根.

2(2)當b—4ac=0時，方程有兩個相等的實數根.

2(3)當b-'4acvO時，方程沒有實數根.

22把b—4ac叫做一元二次方程ax+bx+c=O的根的判別式

2注：(1)當b—4acN時，方程的根的情況如何敘述？

(2)上述的敘述：反過來也成立.

例1.不解方程，判別下列方程的根的情況：

222(1)2x+3x-4=0；(2)1.6y+0.9=2.4y；(3)5

(x+1)—7x=0.例2:解下列方程

(1)2x+x—6=0(2)4x+4x+10=1-8x22

【訓練案】

1用適當的方法解下列方程：

2(1)4x-3x-l=x-2(2)3x(x-3)=2(x-l)(x+l)

22一元二次方程ax+bx+c=0(a#)的求根公式是

,條件是.

3當x=時，代數式x-8x+12的值是-4.

224關于x的一元二次方程(m-1)x+x+m+2m-3=0有一

根為，則m的值是.

25方程x—5x—1=0()

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根D。無法確定

6當a取什么值時，關于的方程

關于的方程

有兩個相等的實數根？當a取什么值時，

2

有兩個不相等的實數根？當a取什么值時，關于的方程

沒有實數根？

第2課時利用一元二次方程解決面積問題

學習目標：

1、在已有的一元二次方程的學習基礎上，能夠對生活中

的實際問題進行數學建模解決問題，從而進一步體會方程是刻

畫現實世界的一個有效數學模型。

2、積極主動參與課堂自主探究和合作交流，并在其中體

驗發(fā)現問題、提出問題及解決問題的全過程，提高自己的數學

應用能力。

3、感受數學的嚴謹性，形成實事求是的態(tài)度及進行質疑

和激發(fā)思考的習慣。

【預習案】

知識準備

解方程，并敘述解一元二次方程的解法。

【探究案】

探究點：利用一元二次方程解決面積問題

小明把一張邊長為的正方形硬紙板的四周剪去一個同樣大

小的正方形，再折合成一個無蓋的長方形盒子。

2(1)如果要求長方體的底面面積為81cm,那么剪去的

小正方形邊長為多少？

(2)如果按下表列出的長方體底面面積的數據要求，那

么剪去的正方形邊長會發(fā)生什么樣的變化？折合成的長方體的

體積又會發(fā)生什么樣的變化？

問題：1、長方形的底面、正方形的邊長與正方形硬紙板

中的什么量有關系？

(長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長有關

系)

2、長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長存

在什么關系？

(長方形的底面正方形的邊長等于正方形硬紙板的邊長減

去剪去的小正方形邊長的2倍)

3、你能否用數量關系表示出這種關系呢？并求出剪去的

小正方形的邊長。解：設剪去的正方形邊長為

因為正方形硬紙板的邊長為

,依題意得：

，，，

。，所以剪去的正方形邊長為

4、請問長方體的高與正方形硬紙板中的什么量有關系？

求出此時長方體的體積。

（長方體的高與正方形硬紙板式剪去的小正方形的邊長一

樣；體積為）5、完成表格，與你的同伴一起交流，并討論剪

去的正方形邊長發(fā)生什么樣的變化？折合成的長方體的體積又

會發(fā)生什么樣的變化？

6、在你觀察到的變化中、你感到折合而成的長方體的體

積會不會有最大的情況？以剪去的正方形的邊長為自變量，折

合而成的長方體體積為函數，并在直角坐標系中畫出相應的點,

看看與你的感覺是否一致。

例1.如圖，的邊，高，長方形DEFG的一邊EF落在BC

上，頂點D、

,試求這長方形的邊長。G分別落在AB和AC上，如果

這長方形面積

【訓練案】

1.如圖，寬為50cm的矩形圖案由10個全等的小長方形拼

成，則每個小長方形的面積為（

）

A.400cmB.500cmC.600cmD.4000cm

2.在一幅長80cm,寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金

色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的

面積是5400cm,設金色紙邊的寬為xcm,那么x滿足的方程

是()

2

2222

A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-

1400=0D.x2-65x-350=03.如圖，面積為30m的正方形的四個

角是面積為2m的小正方形，用計算器求得a的長為(保留3

個有效數字)()

22

A.2.70mB.2.66mC.2.65mD.2.60m

4.如圖，是長方形雞場平面示意圖，一邊靠墻，另外三

面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長為

35m,所圍的面積為150m,則此長方形雞場的長、寬分

別為.2

5、某林場計劃修一條長750m,斷面為等腰梯形的渠道,

斷面面積為1.6m,上口寬比渠深多2m,渠底比渠深多

0.4m.(1)渠道的上口寬與渠底寬各是多少？

(2)如果計劃每天挖土48m,需要多少天才能把這條渠

道挖完？

6、學校為了美化校園環(huán)境，在一塊長40米、寬20米的

長方形空地上計劃新建一塊長9米、寬7米的長方形花圃.

(1)若請你在這塊空地上設計一個長方形花圃，使它的

面積比學校計劃新建的長方形花圃的面積多1平方米，請你給

出你認為合適的三種不同的方案.

(2)在學校計劃新建的長方形花圃周長不變的情況下，

長方形花圃的面積能否增加2平方

3

2

米？如果能，請求出長方形花圃的長和寬；如果不能，請

說明理由.

2.4用因式分解法求解一元二次方程

學習目標：

1.了解因式分解法的解題步驟；

2.能用因式分解法解一元二次方程。

重點：應用因式分解法解一元二次方程

難點：：讓學生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟

用因式分解法使解題簡便.

【預習案】

1、(1)將一個多項式(特別是二次三項式)因式分解，

有哪幾種分解方法？

(2)將下列多項式因式分解

22222①3x—4x②4x—9y③x—6xy+9y

?(2x+l)+4(2x+1)+42

【探究案】

探究點1：適合用因式分解法解一元二次方程的特點

(1)上面兩個方程中常數項為

(2)等式左邊的各項有共同因式都可以因式分解：

象這樣的方程又有一種方法解一元二次方程

探究點2：用因式分解法解一元二次方程

上面兩個方程都可以寫成：

(1)x(2x+l)=0(2)3x(x+2)=0

因為兩個因式乘積要等于，至少其中一個因式要等于，也

就是(1)x=0或2x+l=0,所以x

1

=0,x

2

(2)3x=0或x+2=0,所以x

1

=0,x

2

=-2.

因此，我們可以發(fā)現，上述兩個方程中，其解法都不是用

開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等

于的形式，再使這兩個一次式分別等于，從而實現降次，這種

解法叫做因式分解法.

例1.解方程

22(1)4x=llx(2)(x-2)=2x-4(3)x(x-2)+x—2=0

自我測試

1.用因式分解法解下列方程.

(1)3y-6y=0(2)25y-16=0(3)x-12x-28=0

(4)x-12x+35=0(5)(2x-l)—x=0(6)x+3—x

(x+3)=02.下面一元二次方程解法中，正確的是().

A.(x-3)(x-5)=10x2,/.x-3=10,x-5=2,.*.x

1

=13,x

2

=7

222

222

B.(2-5x)+(5x-2)=0,???(5x-2)(5x-3)=0,Ax

1

2

2,x

2

C.(x+2)+4x=0,/.x

1

=2,x

2

=-2

2D.x=x兩邊同除以x,得x=l

23.如果不為零的n是關于x的方程x-mx+n=O的根，那

么m-n的值為().

A.-

2

B.-1C.D.1

4.x-5x因式分解結果為；2x(x-3)-5(x-3)因

式分解的結果是.

22.方程(2x-l)=2x-l的根是.

223.二次三項式x+20x+96分解因式的結果為

如果令x+20x+96=0,那么它的兩個根是.

【訓練案】

1解方程:(D3x(x—1)=2(x—1)(x+1)

(2)(3x-l)-4x=0(3)x-3x-4=0(4)x-7x+6=02222

(5)x+4x-5=0

2.已知(x+y)(x+y-1)=0,求x+y的值.

3.今年初，湖北武穴市發(fā)生禽流感，某養(yǎng)雞專業(yè)戶在禽

流感后，打算改建養(yǎng)雞場，建一個

2面積為150m的長方形養(yǎng)雞場.為了節(jié)約材料，雞場的

一邊靠著原有的一條墻，墻長am,另三邊用竹籬圍成，如果

籬笆的長為35m,問雞場長與寬各為多少？(其中吟20m)

2

4已知9a-4b=0,求代數式22的值.

2.5一元二次方程的根與系數的關系

學習目標

1、在已有的一元二次方程解法的基礎上，探索出一元二

次方程根與系數的關系，及其此關系的運用。

2、通過觀察、實踐、討論等活動，經歷發(fā)現問題，發(fā)現

關系的過程。

重點：一元二次方程根與系數的關系及簡單應用

難點：探索一元二次方程根與系數的關系

【預習案】

利用一元二次方程的相關知識然后完成列任務。

1、一元二次方程

(1)當

(2)當

(3)當

根的判別式為：

時，方程有兩個不相等的實數根。

時，方程有兩個相等的實數根。

時，方程沒有實數根。

反之：方程有兩個不相等的實數根，貝I;方程有兩個相等

的實數根，

貝心方程沒有實數根，貝L

閱讀課本49至50頁例題以上內容，請你歸納出一元二次

方程根與系的關系，然后完成下列任務。

2、先判斷下列方程根的情況然后解出下列有解方程的兩

根，再完成：

①求出每個方程的兩根和、兩根積；

②求出各方程中一次項系數與二次項系數的商的相反數和

常數項與二次項系數的商。

(1)x-2x+l=0(2)x-2

2

22x-l=0(3)2x-3x+l=02

3、寫出一元二次方程ax+bx+c=O(a#))的求根公式，并計

算出兩根和、兩積。想一想，一元二次方程根與系數有怎樣的

關系？

4、通過2、3兩題的結果，不解方程，利用根與系數的關

系求出下列方程的兩根和、兩根積。

(1)x2+3x+1=0；(2)3x2-2x-1=0；(3)

2x2+5x=0o

【探究案】

1、提問：一元二次方程根的判別式是什么？

三、自主探究合作釋疑

【自主學習一】：在預習的基礎上，再次閱讀課本49頁,

然后獨立完成下列問題(6分鐘)：

1、寫出下列每個方程的二次項系數、一次項系數、常數

項。

(1)x-2x+l=0(2)x-222x-l=0(3)2x-3x+l=0

x-l=O(3)2x-3x+l=O的兩根2

2

2、求出方程(1)x2-2x+l=0(2)x2-2

和、兩根積。

3、求出每個方程一次項系數與二次項系數的商的相反數

和常數項與二次項系數的商；并比較第2小題的結果，你發(fā)現

了什么？

合作探究：P49頁，小組共同證