山東省青島市2023屆高三下學(xué)期第二次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案

青島市2023年高三年級(jí)第二次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè)，22題.全卷滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，，分別表示向量，，，若，則（）A B. C. D.3.已知函數(shù)，，則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（）A. B. C. D.4.某教育局為振興鄉(xiāng)村教育，將5名教師安排到3所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，若每名教師僅去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排1名教師，則不同的安排情況有（）A.300種 B.210種 C.180種 D.150種5.在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，如圖所示，則（）A. B.1 C. D.6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，與及其準(zhǔn)線(xiàn)依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若，,則的面積是（）A. B. C. D.7.三面角是立體幾何基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問(wèn)題的重要依據(jù).三面角是由有公共端點(diǎn)且不共面的三條射線(xiàn)，，以及相鄰兩射線(xiàn)間的平面部分所組成的圖形，設(shè)，，，平面與平面所成的角為，由三面角余弦定理得.在三棱錐中，，，，，，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.8.設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)（例如：，），則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.底面為菱形的直棱柱各棱長(zhǎng)均為2，，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則（）A.直線(xiàn)與為異面直線(xiàn) B.直線(xiàn)平面C.存在點(diǎn)，使 D.直線(xiàn)與所成的角為10.“天宮課堂”是為發(fā)揮中國(guó)空間站的綜合效益，推出的首個(gè)太空科普教育品牌.為了解學(xué)生對(duì)“天宮課堂”的喜愛(ài)程度，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)，則（）喜歡天宮課堂不喜歡天宮課堂男生8020女生7030參考公式及數(shù)據(jù)：①，.②當(dāng)時(shí)，.A.從這200名學(xué)生中任選1人，已知選到是男生，則他喜歡天宮課堂的概率為B.用樣本的頻率估計(jì)概率，從全校學(xué)生中任選3人，恰有2人不喜歡天宮課堂的概率為C.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡天宮課堂與性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)D.對(duì)抽取的喜歡天宮課堂的學(xué)生進(jìn)行天文知識(shí)測(cè)試，男生的平均成績(jī)?yōu)?0，女生的平均成績(jī)?yōu)?0，則參加測(cè)試的學(xué)生成績(jī)的均值為8511.1807年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉指出任何音樂(lè)聲都是形如的純音合成的復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.當(dāng)時(shí)，最小值0，則12.已知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則（）A. B.C. D.若，則三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.某市高三年級(jí)男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，已知，若.寫(xiě)出一個(gè)符合條件的的值為_(kāi)_________.14.與曲線(xiàn)和圓都相切的直線(xiàn)的方程為_(kāi)_________.15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線(xiàn)與交于點(diǎn)、，直線(xiàn)為在點(diǎn)處的切線(xiàn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，、、三點(diǎn)共線(xiàn).若，，則__________.16.已知?jiǎng)訄A和定圓的半徑均為1，動(dòng)圓自初始位置（如圖，圓心的坐標(biāo)為，圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，逆時(shí)針沿圓滾動(dòng)，則在滾動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為_(kāi)_________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.如圖1，矩形中，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿，向上翻折，使點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)，的位置，且平面，平面均與平面垂直（如圖2）.（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.18.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求；（2）若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，.設(shè)，將的面積表示為的函數(shù)，并求的取值范圍.19.已知數(shù)列為：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接著復(fù)制該項(xiàng)粘貼在后面作為，并添加后繼數(shù)2作為；再?gòu)?fù)制所有項(xiàng)1，1，2并粘貼在后面作為，，，并添加后繼數(shù)3作為，…依次繼續(xù)下去.記表示數(shù)列中首次出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求.20.為了豐富農(nóng)村兒童的課余文化生活，某基金會(huì)在農(nóng)村兒童聚居地區(qū)捐建“悅讀小屋”.自2018年以來(lái)，某村一直在組織開(kāi)展“悅讀小屋讀書(shū)活動(dòng)”.下表是對(duì)2018年以來(lái)近5年該村少年兒童的年借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：年份20182019202020212022年份代碼12345年借閱量（冊(cè)）3692142（參考數(shù)據(jù)：）（1）在所統(tǒng)計(jì)5個(gè)年借閱量中任選2個(gè)，記其中低于平均值的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）通過(guò)分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃分別用①和②兩種模型作為年借閱量關(guān)于年份代碼的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，求出模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并用殘差平方和比較哪個(gè)模型擬合效果更好.21.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率等于，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)在第一象限上的點(diǎn)，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，的周長(zhǎng)等于，.（1）求的方程；（2）過(guò)圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，.證明：直線(xiàn)與橢圓相切于點(diǎn)，且.22.已知函數(shù)，.（1）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若恰有三個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn).（?。┳C明：；（ⅱ）若，且，證明：.青島市2023年高三年級(jí)第二次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè)，22題.全卷滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,，所以，故選:A.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，，分別表示向量，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，，所以又，所以，所以則，故選：C.3.已知函數(shù)，，則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，的定義域均為，且,，所以為奇函數(shù)，為偶函數(shù).由圖易知其為奇函數(shù)，而與為非奇非偶函數(shù)，故排除AB.

當(dāng)時(shí)，，排除C.

故選:D．4.某教育局為振興鄉(xiāng)村教育，將5名教師安排到3所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，若每名教師僅去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排1名教師，則不同的安排情況有（）A.300種 B.210種 C.180種 D.150種【答案】D【解析】由于每所學(xué)校至少安排1名教師，則不同的安排情況有種.故選：D.5.在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，如圖所示，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】依題意，，，由余弦定理，即，解得，顯然為銳角，所以，所以.故選：A6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，與及其準(zhǔn)線(xiàn)依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若，,則的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，

設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，如圖，

則，，

在中，，所以，所以，

在中，，所以，所以.

又軸，，所以.又拋物線(xiàn)，則,所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)，點(diǎn).

因?yàn)?，所以直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)，

與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,消并化簡(jiǎn)得,

設(shè)點(diǎn)，則，

則.又直線(xiàn)可化為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,

所以，故選:B.7.三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問(wèn)題的重要依據(jù).三面角是由有公共端點(diǎn)且不共面的三條射線(xiàn)，，以及相鄰兩射線(xiàn)間的平面部分所組成的圖形，設(shè)，，，平面與平面所成的角為，由三面角余弦定理得.在三棱錐中，，，，，，則三棱錐體積的最大值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】由題意得：.==，，=當(dāng)時(shí)，的最大值為，故選：C8.設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)（例如：，），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，即，共有個(gè).因?yàn)?，故，設(shè)，①則，②①-②,得，所以.所以.故選:B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.底面為菱形的直棱柱各棱長(zhǎng)均為2，，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則（）A.直線(xiàn)與為異面直線(xiàn) B.直線(xiàn)平面C.存在點(diǎn)，使 D.直線(xiàn)與所成的角為【答案】ABC【解析】設(shè)交于，交于，因?yàn)闉橹崩庵?，且底面為菱形，所以?xún)蓛纱怪?，以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，因?yàn)楦骼忾L(zhǎng)均為2，，所以，，，，，，，又因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，，選項(xiàng)A：因?yàn)?，，令，無(wú)解，所以直線(xiàn)與為異面直線(xiàn)，正確；選項(xiàng)B：，，，設(shè)平面的法向量，則，令得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以直線(xiàn)平面，正確；選項(xiàng)C：，，令解得，所以存在點(diǎn)，使，正確；選項(xiàng)D：，，因?yàn)椋灾本€(xiàn)與所成的角不為，錯(cuò)誤；故選：ABC10.“天宮課堂”是為發(fā)揮中國(guó)空間站的綜合效益，推出的首個(gè)太空科普教育品牌.為了解學(xué)生對(duì)“天宮課堂”的喜愛(ài)程度，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)，則（）喜歡天宮課堂不喜歡天宮課堂男生8020女生7030參考公式及數(shù)據(jù)：①，.②當(dāng)時(shí)，.A.從這200名學(xué)生中任選1人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率為B.用樣本的頻率估計(jì)概率，從全校學(xué)生中任選3人，恰有2人不喜歡天宮課堂的概率為C.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡天宮課堂與性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)D.對(duì)抽取的喜歡天宮課堂的學(xué)生進(jìn)行天文知識(shí)測(cè)試，男生的平均成績(jī)?yōu)?0，女生的平均成績(jī)?yōu)?0，則參加測(cè)試的學(xué)生成績(jī)的均值為85【答案】BC【解析】對(duì)于A：從這200名學(xué)生中任選1人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：樣本中喜歡天宮課堂的頻率，從全校學(xué)生中任選3人，恰有2人不喜歡天宮課堂的概率，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋愿鶕?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡天宮課堂與性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)，故C正確；對(duì)于D：抽取的喜歡天宮課堂的學(xué)生男、女生人數(shù)分別為、，又男生的平均成績(jī)?yōu)椋钠骄煽?jī)?yōu)?，所以參加測(cè)試的學(xué)生成績(jī)的均值為，故D錯(cuò)誤；故選：BC11.1807年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉指出任何音樂(lè)聲都是形如的純音合成的復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.當(dāng)時(shí)，最小值為0，則【答案】BD【解析】由題意，函數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以不是函?shù)的最小正周期，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，，所以直線(xiàn)是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，?dāng)，單調(diào)遞增，且，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)在區(qū)間先增后減，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，最小值為0，則，故選項(xiàng)D正確，故選：BD.12.已知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則（）A. B.C. D.若，則【答案】BCD【解析】由題意知有四個(gè)不同的根，顯然，即，令，即，即．另外，，令得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，如圖所示：根據(jù)題意知存在兩根，，不妨設(shè)，則滿(mǎn)足，．即有，，則由圖象可知，所以，故A不正確；由于方程的兩根，滿(mǎn)足，所以，解得，故B正確；由，，得，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，故C正確；由，兩邊取自然底數(shù)得若，則，所以，令，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，且，所以，故D正確.故選：BCD．三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.某市高三年級(jí)男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，已知，若.寫(xiě)出一個(gè)符合條件的的值為_(kāi)_________.【答案】（中的任意一個(gè)數(shù)均可）【解析】因?yàn)?，?

則,且，

故若，則.

故答案為:（中的任意一個(gè)數(shù)均可）.14.與曲線(xiàn)和圓都相切的直線(xiàn)的方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】如圖，由題意得，當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為，當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍芯€(xiàn)與圓相切，所以圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑，即，化簡(jiǎn)得.又因?yàn)榍芯€(xiàn)和曲線(xiàn)相切，聯(lián)立方程組，消去得，即，則，即.所以，解得或.當(dāng)時(shí)，，舍去；當(dāng)時(shí)，，所以切線(xiàn)方程為，即.15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線(xiàn)與交于點(diǎn)、，直線(xiàn)為在點(diǎn)處的切線(xiàn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，、、三點(diǎn)共線(xiàn).若，，則__________.【答案】##【解析】如下圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，因?yàn)?，且，所以，所以，，可得，則，所以，故.16.已知?jiǎng)訄A和定圓的半徑均為1，動(dòng)圓自初始位置（如圖，圓心的坐標(biāo)為，圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，逆時(shí)針沿圓滾動(dòng)，則在滾動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】如圖所示，設(shè)圓繞圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為，對(duì)應(yīng)的圓心角為，因?yàn)閳A和圓的半徑都是，所以，即，且，過(guò)點(diǎn)作，再過(guò)點(diǎn)作，垂足為，可得,設(shè)，則，不妨設(shè)，設(shè)，可得，令，即，解得或，當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.如圖1，矩形中，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿，向上翻折，使點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)，的位置，且平面，平面均與平面垂直（如圖2）.（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【解析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接,因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?平面,所以平面，同理可得平面,所以.在中，，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以,所以，所以，，，四點(diǎn)共面.（2）在圖（1）中，，所以，所以.取的中點(diǎn)，連接，則,所以.由（1），兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋瑒t，令，可得.又因?yàn)?，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，所以.所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.18.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求；（2）若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，.設(shè)，將的面積表示為的函數(shù)，并求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，所?因，所以.（2）由及可知為等邊三角形.又因?yàn)?，，所?在中，，由正弦定理可得,，即.在中，,由正弦定理可得，，即.所以.因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，所?所以，所以，所以.所以的取值范圍為.19.已知數(shù)列為：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接著復(fù)制該項(xiàng)粘貼在后面作為，并添加后繼數(shù)2作為；再?gòu)?fù)制所有項(xiàng)1，1，2并粘貼在后面作為，，，并添加后繼數(shù)3作為，…依次繼續(xù)下去.記表示數(shù)列中首次出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求.【解析】（1）由題意知：，即，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則.（2）由（1）可知，，所以在前項(xiàng)中出現(xiàn)1次，5在前項(xiàng)中出現(xiàn)2次，4在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，3在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，2在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，1在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，所以.20.為了豐富農(nóng)村兒童的課余文化生活，某基金會(huì)在農(nóng)村兒童聚居地區(qū)捐建“悅讀小屋”.自2018年以來(lái)，某村一直在組織開(kāi)展“悅讀小屋讀書(shū)活動(dòng)”.下表是對(duì)2018年以來(lái)近5年該村少年兒童的年借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：年份20182019202020212022年份代碼12345年借閱量（冊(cè)）3692142（參考數(shù)據(jù)：）（1）在所統(tǒng)計(jì)的5個(gè)年借閱量中任選2個(gè)，記其中低于平均值的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）通過(guò)分析散點(diǎn)圖的特征后，計(jì)劃分別用①和②兩種模型作為年借閱量關(guān)于年份代碼的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，求出模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并用殘差平方和比較哪個(gè)模型擬合效果更好.【解析】（1）由題知，5年的借閱量的平均數(shù)為：，又，則所以低于平均值的有3個(gè)，所以服從超幾何分布，，所以，，，所以的分布列為：所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗?，?所以模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：根據(jù)模型①的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得：根據(jù)模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得：因?yàn)?，且所以模型①的殘差平方和大于模型②的殘差平方和，所以模型②的擬合效果更好.21.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率等于，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)在第一象限上的點(diǎn)，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，的周長(zhǎng)等于，.（1）求的方程；（2）過(guò)圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，.證明：直線(xiàn)與橢圓相切于點(diǎn)，且.【解析】（1）由題意知，，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以的方程為?（2）設(shè)，則，，，設(shè)切線(xiàn)的斜率分別為，設(shè)的方程為：，因?yàn)?，所以，所以，所以?）因?yàn)?，整理得，即，所以，同理：，因?yàn)榍芯€(xiàn)均過(guò)點(diǎn)，同理根據(jù)上面可知，為的兩解，所以，所以，為直角三角形，因?yàn)?，所以，所以，同理：，所以直線(xiàn)的方程為：，將直線(xiàn)：，代入橢圓的方程：可得：，即，所以，，所以直線(xiàn)與橢圓相切，切