高等數(shù)學(xué)積分學(xué)課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用

一元函數(shù)的積分一、不定積分二、定積分三、廣義積分一元函數(shù)的積分一、不定積分1一、不定積分1.不定積分的概念和性質(zhì)

定義1設(shè)函數(shù)f與F在區(qū)間I上有定義，若則稱F為f在區(qū)間I上的一個原函數(shù)問題：

（1）什么條件下，一個函數(shù)的原函數(shù)存在？

(2)如果f(x)有原函數(shù)，一共有多少個？

(3)任意兩個原函數(shù)之間有什么關(guān)系？1)原函數(shù)與不定積分的概念一、不定積分1.不定積分的概念和性質(zhì)定義1設(shè)函數(shù)f2任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量①②任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量①②3

定理1（原函數(shù)存在定理）

如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間上連續(xù)，那么f（x）在該區(qū)間上一定存在原函數(shù).

簡單理解：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)

定理2如果函數(shù)F（x）是函數(shù)f（x）的一個原函數(shù)，則F（x）+C（C為任意數(shù)）是f（x）的全部原函數(shù).

定理1（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)4性質(zhì)1

設(shè)函數(shù)及的原函數(shù)存在，則性質(zhì)2

設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，為非零常數(shù)，則性質(zhì)3性質(zhì)43)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)函數(shù)及的原函數(shù)存在，則性質(zhì)252.不定積分直接積分法不定積分的基本公式2.不定積分直接積分法不定積分的基本公式6高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用7

利用不定積分的運算性質(zhì)和積分基本公式，直接求出不定積分的方法。關(guān)鍵在于對被積函數(shù)進行恒等變形直接積分法利用不定積分的運算性質(zhì)和積分基本公式，直接積83.不定積分的換元積分法說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點不同，所得結(jié)論不同.1)第一類換元積分法（湊微分法）3.不定積分的換元積分法說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察9（湊微分）（湊微分）10高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用11高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用12高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用13高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用14高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用152)第二類換元積分法（變量代換法）2)第二類換元積分法（變量代換法）16例1

求解令例1求解令17例2

求解令例2求解令18

說明以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令說明以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根19常用的基本公式表常用的基本公式表204.不定積分的分部積分法問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式4.不定積分的分部積分法問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)21高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用22例2

求積分解注意循環(huán)形式例2求積分解注意循環(huán)形式23高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用24高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用252)化有理真分式為簡單分式2)化有理真分式為簡單分式263)有理函數(shù)的積分法3)有理函數(shù)的積分法27二、定積分1.定積分的概念和性質(zhì)曲邊梯形

設(shè)函數(shù)y

f(x)在區(qū)間[a,

b]上非負(fù)、連續(xù).

由直線x

a、x

b、y

0及曲線y

f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,

其中曲線弧稱為曲邊.

1）定積分問題舉例

二、定積分1.定積分的概念和性質(zhì)曲邊梯形1）定積分問題舉例28求曲邊梯形的面積

(1)分割:a

x0<

x1<

x2<

<

xn

1<

xn

b,Dxi=xi-xi

1;

小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi(xi

1<xi<xi);(2)近似代替:

(4)取極限:設(shè)

max{Dx1,

Dx2,

,

Dxn},曲邊梯形的面積為(3)求和:曲邊梯形的面積近似為;求曲邊梯形的面積(1)分割:ax0<x1<x2<29在小區(qū)間[xi

1,

xi]上任取一點xi(i

1,2,

,

n),

作和

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

記Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;在區(qū)間[a,

b]內(nèi)任取分點:

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù).

若當(dāng)

0時,

上述和式的極限存在,

且極限值與區(qū)間[a,

b]的分法和xi的取法無關(guān),

則此極限稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的定積分,

記為

即2）定積分的概念在小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點xi(i1,2,30函數(shù)的可積性如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上的定積分存在,

則稱f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定理1

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上連續(xù),

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定理2

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上有界,

且只有有限個間斷點,

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

b]上可積.

定積分的定義函數(shù)的可積性定理1定積分的定義31

3)一般地,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示介于x軸、曲線y

f(x)及直線x

a、x

b之間的各部分面積的代數(shù)和.

1）當(dāng)f(x)

0時,定積分在幾何上表示由曲線y

f(x)、直線x

a、x

b與y=0所圍成的封閉圖形的面積.

2）當(dāng)f(x)<0時,

定積分在幾何上表示曲邊梯形面積的負(fù)值.

3）定積分的幾何意義

3)一般地,f(x)在[a,b]上的定32性質(zhì)1

性質(zhì)2

性質(zhì)3

性質(zhì)4

性質(zhì)5

如果在區(qū)間[a

b]上f(x)

0

則ò3badxxf0)((a<b).

1）定積分性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5如果在區(qū)間[ab33推論

如果在區(qū)間[a

b]上f(x)

g(x)

則性質(zhì)6

設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a

b]上的最大值及最小值

則

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

則在積分區(qū)間[a

b]上至少存在一個點x

使下式成立

性質(zhì)7(定積分中值定理)

——積分中值公式

推論如果在區(qū)間[ab]上f(x)g(x)則342.牛頓-萊布尼茨公式1）變上限積分函數(shù)

2.牛頓-萊布尼茨公式1）變上限積分函數(shù)35此定理一方面說明了連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，另一方面也說明了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，從而可能用原函數(shù)來計算定積分.定理2若函數(shù)在上連續(xù)，則積分上限函數(shù)是在區(qū)間上的一個原函數(shù).此定理一方面說明了連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，另一方面也說明了定363.定積分的積分方法1）定積分的換元積分法3.定積分的積分方法1）定積分的換元積分法372）定積分的分部積分法

2）定積分的分部積分法38高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用39三、廣義積分1.無限區(qū)間上的廣義積分

定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分記作，即此時也稱廣義積分存在或收斂；如果極限不存在，就稱廣義積分不存在或發(fā)散。三、廣義積分1.無限區(qū)間上的廣義積分定義設(shè)函40

類似的，可以定義在區(qū)間及上的廣義積分。

注

廣義積分收斂的充分必要條件是上式右端的兩個廣義積分都收斂，若兩個積分之一發(fā)散，則左端的廣義積分發(fā)散。類似的，可以定義在區(qū)間412.無界函數(shù)的廣義積分

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，而取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分。記作即此時也稱廣義積分存在或收斂；如果極限不存在，就稱廣義積分不存在或發(fā)散。2.無界函數(shù)的廣義積分此時也稱廣義積分42

類似的，可以定義在區(qū)間及上的廣義積分。類似的，可以定義在區(qū)間43高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用44

一。幾何應(yīng)用;1.平面域的面積：（直角；極坐標(biāo)；參數(shù)方程）2．體積：

1）已知橫截面面積的體積2）旋轉(zhuǎn)體的體積二．物理應(yīng)用1.壓力；

3.引力。

2.變力做功；一。幾何應(yīng)用;1.平面域的面積：（直角；極坐標(biāo)；參數(shù)方程）45高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用46高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用47高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用48高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用49高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用50高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用51高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用52高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積分學(xué)及其應(yīng)用53高等數(shù)學(xué)積分學(xué)PPT課件-一元函數(shù)的積