自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件

0.數(shù)學(xué)歸納法的背景數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的方法之一.它在數(shù)學(xué)各個分支里都有廣泛應(yīng)用.該法的實質(zhì)在于:將一個無法(或很難)窮盡驗證的命題轉(zhuǎn)化為證明兩個普通命題:“p(1)真”和“若p(k)真,則p(k+1)真”,從而達到證明的目的.數(shù)學(xué)歸納法早期叫逐次歸納法(始見于英國數(shù)學(xué)家摩根)或完全歸納法(始見于德國數(shù)學(xué)家戴德金).但后來人們更喜歡用數(shù)學(xué)歸納法的名稱.因為它更能體現(xiàn)論證的嚴格性和科學(xué)性,又不與邏輯學(xué)中的“歸納法”混淆.數(shù)學(xué)史上最早使用數(shù)學(xué)歸納法的人首推法國數(shù)學(xué)家帕斯卡,但他并未確立方法的理論依據(jù).直到意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾建立了自然數(shù)的理論,才標(biāo)志著數(shù)學(xué)歸納法邏輯基礎(chǔ)的奠定.摩根(Morgan,1806-1871)英國著名數(shù)學(xué)家,所著的《代數(shù)學(xué)》是我國第一本代數(shù)學(xué)譯本.負數(shù)的認識問題:摩根不承認負數(shù).1831年,摩根在他的《論數(shù)學(xué)的研究和困難》中仍堅持認為負數(shù)是荒謬的.四色猜想:四色猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.1852年,剛從倫敦大學(xué)畢業(yè)的弗南西斯·葛斯里在對英國地圖著色時發(fā)現(xiàn),對無論多么復(fù)雜的地圖,只需用四種顏色就足夠?qū)⑾噜彽膮^(qū)域分開.這個千萬人屢見不鮮的有趣事實引起了他的注意,他感到這種現(xiàn)象決非偶然,可能隱藏著深刻的科學(xué)道理.他把他的想法告訴了他的哥哥弗德雷克.弗德雷克是著名數(shù)學(xué)家摩根的學(xué)生,他對這個問題極感興趣,于是便設(shè)法證明.可是,盡管他絞盡腦汁,仍百思不得其解,于是他以“四色定理”為名,請他的老師摩根證明.

摩根也無法解決這個問題,于是德·摩根寫信請著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓幫助解答,這位智慧超群的人也被這個簡單的問題弄得一籌莫展,他冥思苦想了13年,直至逝世仍毫無結(jié)果.在1876年,當(dāng)時很有名望的數(shù)學(xué)家凱萊在數(shù)學(xué)年會上把這個問題歸納為“四色猜想”提出,并征求問題的解答.于是“四色猜想”開始引人注目.1976年,美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機上,用了1200個小時,作了100億判斷,終于完成了四色定理的證明.四色猜想的計算機證明,轟動了世界.它不僅解決了一個歷時100多年的難題,而且有可能成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點.不過也有不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計算機取得的成就,他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法.戴德金(Dedekind,1831—1916),最偉大的德國數(shù)學(xué)家、理論家和教育家,近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū).由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機一直延續(xù)到19世紀.直到1872年,德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù),并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機.戴德金分割:假設(shè)給定某種方法,把所有的有理數(shù)分為兩個集合，A和B，A中的每一個元素都小于B中的每一個元素,任何一種分類方法稱為有理數(shù)的一個分割.對于任一分割,必有3種可能,其中有且只有1種成立:

1.A有一個最大元素a,B沒有最小元素(例如A是所有≤1的有理數(shù).B是所有>1的有理數(shù)).2.B有一個最小元素b,A沒有最大元素(例如A是所有<1的有理數(shù).B是所有≥1的有理數(shù)).3.A沒有最大元素,B也沒有最小元素(例如A是所有負的有理數(shù),零和平方小于2的正有理數(shù),B是所有平方大于2的正有理數(shù)).顯然A和B的并集是所有的有理數(shù),因為平方等于2的數(shù)不是有理數(shù).注:A有最大元素a,且B有最小元素b是不可能的,因為這樣就有一個有理數(shù)不存在于A和B兩個集合中,與A和B的并集是所有的有理數(shù)矛盾.第3種情況,戴德金稱這個分割為定義了一個無理數(shù),或者簡單的說這個分割是一個無理數(shù).前面2種情況中,分割是有理數(shù).0.數(shù)學(xué)歸納法的背景數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本1皮亞諾公理其中的第5條公理又叫做歸納公理,它是數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù).

皮亞諾公理其中的第5條公理又叫做歸納公理,它是數(shù)學(xué)歸納法的依2最小數(shù)定理自然數(shù)的任何非空集合A必有一個最小數(shù),即這個數(shù)小于集合A中所有其他的數(shù).證明:由于A不是空集,其中必含有一個自然數(shù).我們在A中任取一個數(shù)m,因為從1到m共有m個自然數(shù),所以在A中不大于m的數(shù)最多只有m個.顯然在這有限個數(shù)中存在著最小的數(shù),我們用l來代表它.那么,l就是A中最小的數(shù).事實上,l對于A中不大于m的數(shù)來說,它是最小的;而A中其余的數(shù)都比m大,因而更比l大,所以l就是A中最小的數(shù).最小數(shù)定理自然數(shù)的任何非空集合A必有一個最小數(shù),即這個數(shù)小于31.數(shù)學(xué)歸納法的基本形式1.數(shù)學(xué)歸納法的基本形式42.數(shù)學(xué)歸納法的證題技巧2.數(shù)學(xué)歸納法的證題技巧5自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件6自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件7自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件8自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件9自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件10自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件11自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件12自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件13自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件14自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法課件15三個著名的無理數(shù)三個著名的無理數(shù)160.無理數(shù)的產(chǎn)生第一次數(shù)學(xué)危機初等無理數(shù)復(fù)合無理數(shù)代數(shù)數(shù)和e的出現(xiàn)現(xiàn)在無理數(shù)定義“有理數(shù)”中的“有理”一詞,英文是Rational.這個詞本來有兩個含義,其一是“比”,其二是“合理”.照數(shù)學(xué)上的原義,分數(shù)可以表示成兩個整數(shù)之比,整數(shù)也可以看作是這個整數(shù)與1的比,把“有理數(shù)”叫做“比數(shù)”應(yīng)該是很貼切的.由于無理數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的比,因此可以把“無理數(shù)”叫做“非比數(shù)”.可是,日本學(xué)者在十九世紀翻譯西方的數(shù)學(xué)書時,把這個詞譯成了“有理數(shù)”.后來,在中日文化交流中,中國又從日本引進了“有理數(shù)”和“無理數(shù)”這兩個詞,長期應(yīng)用到現(xiàn)在,沒法改,也沒必要改了.

0.無理數(shù)的產(chǎn)生第一次數(shù)學(xué)危機初等無理數(shù)復(fù)合無理數(shù)代數(shù)數(shù)和171.公元263年,我國三國時期的著名數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)利用圓內(nèi)接正多邊形的面積接近于圓的面積的方法來計算圓周率.當(dāng)時劉徽算到內(nèi)接正3072邊形的面積,并求出

≈3.1416.為紀念他,后人將之稱為徽率.公元460年,我國南朝數(shù)學(xué)家祖沖之,采用劉徽割圓術(shù)方法,一直算到圓內(nèi)接正12288多邊形的面積,并求出

≈3.1415926.1593年,荷蘭數(shù)學(xué)家羅梅,也采用劉徽割圓術(shù)方法,計算到圓內(nèi)接正230多邊形的面積,并求得的準確值到小數(shù)點后第15位.1946年,曼切斯頓大學(xué)的費林生把

計算到小數(shù)點后808位.后來,由于計算機的問世,才使得小數(shù)點后808位成了人工計算

值的最高紀錄.目前最新結(jié)果是,日本東京的金田正康已將

計算到小數(shù)點后133554000位.1777年,法國數(shù)學(xué)家蒲豐宣布了一個驚人的發(fā)現(xiàn):不需要用復(fù)雜的計算,只要你有足夠的耐心,就能從一個投針的游戲中得出

的近似值.1.公元263年,我國三國時期的著名數(shù)學(xué)家18

192.e

在今天的銀行業(yè)里,e是對銀行家最有幫助的一個數(shù).人們可能會問,像e這樣的數(shù)是怎樣又以何種方式與銀行業(yè)發(fā)生關(guān)系呢?要知道后者是專門跟“元”和“分”打交道的!假如沒有e的發(fā)現(xiàn),銀行家要計算今天的利息就要花費大量的時間,無論是逐日逐日地算復(fù)利,還是持續(xù)地算復(fù)利都無法避免.所幸的是,e的出現(xiàn)助了一臂之力.

2.e在今天的銀行業(yè)里,e是20和e

這兩個數(shù)的背景是很不一樣的.

與幾何相聯(lián)系;e與某種數(shù)量增減相聯(lián)系,例如上述存款本息的增長以及生物繁殖等,亦可說,e是與分析相聯(lián)系的.

e與

的來源和背景不同,表現(xiàn)形式也不同,它們的小數(shù)表示也如此不同:

=3.14159265358979323846…e=2.71828182845904523536…盡管如此,人們卻在探尋人類最初碰到的這兩個具有極其特殊地位的超越數(shù)之間有什么聯(lián)系.首先人們看到一些現(xiàn)象:e與

這兩數(shù)的上述表示式中,第13位數(shù)同是9,第17位數(shù)同是2,第18位同是3,第21位同是6,第34位又同是2.人們甚至猜測每隔10位數(shù)就會出現(xiàn)一個數(shù)相同.還有人猜測在

的數(shù)字中必有e的前n位數(shù)字,在e的數(shù)字中必有

的前n位數(shù)字.[見張楚廷.數(shù)學(xué)文化.北京:高等教育出版社,2000.]和e這兩個數(shù)的背景是很不一樣的.與幾何相213.

古希臘人已知道黃金比率.黃金比率在希臘的建筑物中起著非常重要的作用.很多藝術(shù)家相信,在所有的矩形中,長寬之比為的矩形的比例“最令人滿意”,所以這個數(shù)在各種美學(xué)理論中起到了主要作用.令人驚奇的是,一些植物的葉片排列也顯示出黃金比率.它有很多有趣的數(shù)學(xué)特性.

3.古希臘人已知道黃金比率.黃22超然數(shù)證明e與

是超然數(shù)并非易事,