第20章-慣性力課件

第二十章1第二十章1本章介紹動力學的一個重要原理——達朗貝爾原理。應用這一原理，可以把動力學問題從形式上轉(zhuǎn)化為靜力學問題，并利用靜力學中研究平衡問題的方法來求解。這種解答動力學問題的方法，也稱動靜法。第二十章慣性力2本章介紹動力學的一個重要原理——達朗貝爾原理§20-1達朗貝爾原理人用手推車時，車在加速運動過程中，人會感到受到力的作用，這個力是由于車具有慣性，力圖保持原來的運動狀態(tài)對人產(chǎn)生的反抗力，稱為慣性力。如圖質(zhì)點m的運動，由牛頓第二定律：FI為慣性力，上式為質(zhì)點的達朗貝爾原理。從形式上看作用在質(zhì)點上的主動力、約束力和虛加慣性力組成平衡力系，這只不過是處理動力學問題的一種方法，質(zhì)點并未處于平衡狀態(tài)。一、質(zhì)點的達朗貝爾原理第二十章慣性力3§20-1達朗貝爾原理人用手推車時，車在加速運動過[例1]列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度q

，相對于車廂靜止。求車廂的加速度。第二十章慣性力4[例1]列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂選單擺的擺錘為研究對象虛加慣性力解：由動靜法,有解得

q角隨著加速度的變化而變化，當不變時，q角也不變。只要測出q角，就能知道列車的加速度。這就是擺式加速度計的原理。第二十章慣性力5選單擺的擺錘為研究對象解：由動靜法,有解得二、質(zhì)點系的達朗貝爾原理該式表明，質(zhì)點系中每個質(zhì)點上作用的主動力、約束反力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。這就是質(zhì)點系的達朗貝爾原理。設有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，對每一個質(zhì)點i，有把作用于I質(zhì)點的所有力分為外力的合力，內(nèi)力的合力，則上式表明，質(zhì)點系中每個質(zhì)點上作用的外力、內(nèi)力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。由靜力學知，空間任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對于任一點的主矩等于零，即第二十章慣性力6二、質(zhì)點系的達朗貝爾原理該式表明，質(zhì)點系中每個質(zhì)點上作用的由于質(zhì)點系的內(nèi)力總是成對存在，且等值、反向、共線，有則上式可改寫為第二十章慣性力7由于質(zhì)點系的內(nèi)力總是成對存在，且等值、反向、共線，有則上式表明，作用于質(zhì)點系上的所有外力與虛加在每個質(zhì)點上慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點系達朗貝爾原理的又一表述。對整個質(zhì)點系來說，動靜法給出的平衡方程，只是質(zhì)點系的慣性力系與其外力的平衡，而與內(nèi)力無關。另外很顯然有第二十章慣性力8上式表明，作用于質(zhì)點系上的所有外力與虛加在每個質(zhì)點上慣性力在對平面任意力系：對于空間任意力系：實際應用時,同靜力學一樣任意選取研究對象,列平衡方程求解。用動靜法求解動力學問題時，第二十章慣性力9對平面任意力系：對于空間任意力系：實際應用時對質(zhì)點系，每個質(zhì)點均受到慣性力的作用，這些慣性力形成一個力系，利用靜力學的力系簡化理論，求出慣性力系的主矢和主矩，給解題會帶來方便，這里討論剛體平移、定軸轉(zhuǎn)動和平面運動時慣性力系的簡化。

§20-2剛體慣性力系的簡化以FIR表示慣性力系的主矢，則該式對任何質(zhì)點系做任意運動都成立，當然適用于做平移、定軸轉(zhuǎn)動與平面運動的剛體。主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關。第二十章慣性力10對質(zhì)點系，每個質(zhì)點均受到慣性力的作用，這些慣性力形成一個力系1、剛體作平移若選質(zhì)心C為簡化中心，則rC=0，有：故平移剛體的慣性力系可以簡化為通過質(zhì)心的合力，其力大小等于剛體質(zhì)量與加速度的乘積，合力的方向與加速度方向相反。作平移時，剛體任一點i的加速度ai與質(zhì)心的加速度aC相同，如圖，以O為簡化中心，有第二十章慣性力111、剛體作平移若選質(zhì)心C為簡化中心，則rC=0，有：故平移2、定軸轉(zhuǎn)動剛體如圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，考慮質(zhì)點i，以O為簡化中。有則慣性力系對x軸的矩為：第二十章慣性力122、定軸轉(zhuǎn)動剛體如圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，考慮質(zhì)點i，以O為簡化中同理慣性力系對y軸的矩為慣性力系對z軸的矩為第二十章慣性力分別稱為對z軸的慣性積，則慣性力系對x軸的矩為13同理慣性力系對y軸的矩為慣性力系對z軸的矩為第二十章慣性力綜上所述,慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點O簡化的主矩為如果剛體有質(zhì)量對稱平面,切該平面與轉(zhuǎn)軸z垂直,簡化中心O取為此平面與轉(zhuǎn)軸的交點，則有則慣性力系簡化的主矩為結(jié)論:當剛體有質(zhì)量對稱平面且繞垂直與此對稱平面的軸作定軸轉(zhuǎn)動時,慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化為此對稱平面內(nèi)的一個力和一個力偶,這個力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心的加速度的乘積,方向與加速度方向相反,作用線通過轉(zhuǎn)軸;這個力偶的矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積,轉(zhuǎn)向與角加速度相反.第二十章慣性力14綜上所述,慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點O簡化的主矩為如果剛體有質(zhì)量對討論：①剛體作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C。②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)點C，但a0，慣性力偶（與a反向）③剛體作勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則第二十章慣性力15討論：①剛體作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C。②轉(zhuǎn)軸過工程中的剛體常具有質(zhì)量對稱平面，且平行于該平面運動，則剛體各點的慣性力組成的空間力系，可簡化為在該對稱平面內(nèi)的平面運動。如圖，以質(zhì)心C為簡化中心，慣性力系可簡化為3、剛體作平面運動（平行于質(zhì)量對稱平面）結(jié)論：有質(zhì)量對稱平面的剛體，平行于此平面運動時，剛體的慣性力系簡化為在此平面內(nèi)的一個力和一個力偶。這個力通過質(zhì)心，其大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向與質(zhì)心加速度的方向相反；這個力偶的矩等于剛體對過質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對稱面的軸的轉(zhuǎn)動慣量與角角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。主矢：主矩：第二十章慣性力16工程中的剛體常具有質(zhì)量對稱平面，且平行于該平面運動，則剛體各對于平面運動剛體：由動靜法可列出如下三個方程：實質(zhì)上即是剛體平面運動微分方程：第二十章慣性力17對于平面運動剛體：由動靜法可列出如下三個方程：實質(zhì)上即是[例2]

均質(zhì)細桿支承如圖所示。已知桿長為l，重為P，斜面傾角。若桿與水平面交角瞬時，A端的加速度為，桿的角速度為零。試求此瞬時桿上慣性力系向點O簡化的結(jié)果。AO第二十章慣性力18[例2]均質(zhì)細桿支承如圖所示。已知桿長為l，重為P，解:桿AB作平面運動，可將慣性力系向質(zhì)心C簡化，故需求得質(zhì)心C的加速度，以桿端點A為基點，則上式中方向如圖所示角加速度a的計算，以桿端點A為基點，B為動點第二十章慣性力19解:桿AB作平面運動，可將慣性力系向質(zhì)心C簡化，故需求得質(zhì)心因此得此桿慣性力系的主矢為式中慣性力系向質(zhì)心簡化得主矩為方向如圖所示。AO第二十章慣性力20因此得此桿慣性力系的主矢為式中慣性力系向質(zhì)心簡化得主矩為方向AOAO再向O點簡化，主矢不變主矩為第二十章慣性力21AOAO再向O點簡化，主矢不變主矩為第二十章慣性力21[例3]均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成

0角位置靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。選桿AB為研究對象虛加慣性力系：解：根據(jù)動靜法，有第二十章慣性力22[例3]均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿第二十章慣性力23第二十章慣性力23

[例4]牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力及驅(qū)動力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為

，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅(qū)動力偶矩M之最大值。O第二十章慣性力24[例4]牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌取輪為研究對象虛加慣性力系：解：O由動靜法，得：聯(lián)立求解得FN=P+F2第二十章慣性力25取輪為研究對象解：O由動靜法，得：聯(lián)立求解得FN要保證車輪不滑動，必須FS<fFN=f(P+F2)

Mmax的值為上式右端的值。O即第二十章慣性力26要保證車輪不滑動，Mmax的值為上式右端的值。O即第二十章§20-3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時軸承的附加動反力如圖，以O為簡化中心，所有主動力和慣性力系向該點簡化，形成一空間任意“平衡力系”，列平衡方程由上述5個方程解得軸承的全約束反力為第二十章慣性力27§20-3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時軸承的附加動反力

這里把由于慣性力系的主矢FIR和主矩MIO引起的軸承約束力稱為動約束力，要使之為零，必須有即要使軸承動約束力等于零的條件是：慣性力系的主矢等于零，慣性力系對于x軸和y軸的主矩等于零。第二十章慣性力28這里把由于慣性力系的主矢FIR和主矩MIO引結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件是，轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，剛體對轉(zhuǎn)軸的慣性積等于零。如果剛體對通過某點的軸z的慣性積Jxz=Jyz=0等于零，稱該軸為過該點的慣性主軸，通過質(zhì)心的慣性主軸成為中心慣性主軸。則上述結(jié)論可表達為：避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件為是，剛體的轉(zhuǎn)軸是剛體的中心慣性主軸。由前面所得，即有所以，要使慣性力系的主矢等于零，必須aC=0，即轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心。要使主矩等于零，必須有Jxz=Jyz=0，即剛體對轉(zhuǎn)軸z的慣性積等于零。第二十章慣性力29結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件是，轉(zhuǎn)軸通[例5]質(zhì)量不計的剛軸以角速度

勻速轉(zhuǎn)動，其上固結(jié)著兩個質(zhì)量均為m的小球A和B。指出在圖示各種情況下，哪些是靜平衡的？哪些是動平衡的？靜平衡：（a)(b)、(d)動平衡：(a)動平衡的剛體，一定是靜平衡的；反過來，靜平衡的剛體，不一定是動平衡的。第二十章慣性力30[例5]質(zhì)量不計的剛軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動，其上固結(jié)著兩設勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重P，質(zhì)心

C

到轉(zhuǎn)軸的距離是

e，轉(zhuǎn)子以勻角速度ω

繞水平軸轉(zhuǎn)動，

AO

=

a

，OB

=

b

(圖

a)。假定轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)子的對稱平面垂直，求當質(zhì)心

C

轉(zhuǎn)到最低位置時軸承所受的壓力。

b

a

e

z

C

O

B

A(a

)[例6]第二十章慣性力31設勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重P，質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸的距離是第二十章慣性力32第二十章慣性力32解:軸Oz是轉(zhuǎn)子在點O的主軸之一?？梢姂T性力對點O的主矩在垂直于Oz的平面上兩軸的投影MICx

和MICy恒等于零。又a

=0，這樣MICz也等于零。因此轉(zhuǎn)子的慣性力合成為作用于點O的一個力FIC，大小等于方向沿OC。當質(zhì)心C轉(zhuǎn)到最低位置時，軸上實際所受的力如圖b所示。(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)PFBFA第二十章慣性力33解:軸Oz是轉(zhuǎn)子在點O的主軸之一。根據(jù)動靜法寫出動態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得兩軸承所受的力分別和FA，F(xiàn)B的大小相等而方向相反。

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)PFBFA第二十章慣性力34根據(jù)動靜法寫出動態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得兩軸如圖a所示。渦輪輪盤由于軸孔不正，裝在軸上時，軸與輪盤面的垂線Ox成交角g=1o。已知輪盤質(zhì)量為m=20kg，半徑R=200mm，厚度h=20mm，重心O在轉(zhuǎn)軸上。設輪盤為均質(zhì)圓盤，它到兩端軸承的距離OA=OB=0.5m，軸作勻速轉(zhuǎn)動，n=12000r·min－1。求軸承的附加動約束力。AOB(a)[例7]第二十章慣性力35如圖a所示。渦輪輪盤由于軸孔不正，裝在軸上時第二十章慣性力36第二十章慣性力36取固結(jié)于渦輪盤上的坐標系Oxyz如圖所示，以輪盤和軸為研究對象。解：在圓盤上加慣性力，向中心點O簡化結(jié)果為作用于研究對象的主動力有通過重心O的重力，約束力有FAx，F(xiàn)Ay，F(xiàn)Bx，F(xiàn)By。xzAOBFByFBxFAyFAxy第二十章慣性力37取固結(jié)于渦輪盤上的坐標系Oxyz如圖所示，以輪盤和軸為研究對因為圓盤上各點的y坐標對于z軸是對稱的，因此為計算Jxz，作出圓盤的中心慣性主軸Oζ以及與之垂直的軸Ox，Oη，并設在圖示瞬時η軸與y軸重合。由圖（b）可見：y,ηzζxξmγγγζξηxO(b)xyzξζγγAOBFByFBxFAyFAxη(a)第二十章慣性力38因為圓盤上各點的y坐標對于z軸是對稱的，因此因ζ軸是輪盤的對稱軸，有。式中rξ和rζ分別是質(zhì)點到軸ξ和ζ軸的垂直距離，如圖(c)所示?；蛴忠蛴赊D(zhuǎn)動慣量定義有Oζξηηζξrξrζm(c)xyzξζγγAOBFByFBxFAyFAxη(a)第二十章慣性力39因ζ軸是輪盤的對稱軸，有即Jξ和Jζ分別是圓盤對于ξ軸和ζ軸的轉(zhuǎn)動慣量。有于是Oζξηηζξrξrζm當時，。于是xyzξζγγAOBFByFBxFAyFAxη(a)第二十章慣性力40即Jξ和Jζ分別是圓盤對于ξ軸和ζ軸的轉(zhuǎn)動慣量。有于是Oζξ此例軸承靜約束力只有98N，可見附加動約束力遠比靜約束力大。求得軸承附加動約束力如下：OζξηηζξrξrζmxyzξζγγAOBFByFBxFAyFAxη(a)第二十章慣性力41此例軸承靜約束力只有98N，可見附加動約束力遠比靜約束力根據(jù)達朗伯原理，以靜力學平衡方程的形式來建立動力學方程的方法，稱為動靜法。應用動靜法既可求運動，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運動，求質(zhì)點系運動時的動約束反力。應用動靜法可以利用靜力學建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意選取，二矩式，三矩式等等。因此當問題中有多個約束反力時，應用動靜法求解它們時就方便得多。達朗貝爾原理的應用第二十章慣性力42根據(jù)達朗伯原理，以靜力學平衡方程的形式來建立動

①選取研究對象。原則與靜力學相同。

②受力分析。畫出全部主動力和外約束反力。

③運動分析。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標出方向。應用動靜法求動力學問題的步驟及要點：④虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定要在正確進行運動分析的基礎上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。第二十章慣性力43①選取研究對象。原則與靜力學相同。應用動靜法求動

⑤列動靜方程。選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。

⑥建立補充方程。運動學補充方程（運動量之間的關系）。

⑦求解求知量。

[注]的方向及轉(zhuǎn)向如已在受力圖中標出，建立方程時，只需按 代入即可。第二十章慣性力44⑤列動靜方程。選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。

[例1]質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運動，求鼓輪的角加速度。取系統(tǒng)為研究對象解：用達朗伯原理求解虛加慣性力和慣性力偶：第二十章慣性力45[例1]質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上由動靜法：列補充方程： 代入上式得：第二十章慣性力46由動靜法：列補充方程： 【思考題】

1、是非題（1）不論剛體作何種運動，其慣性力系向一點簡化得主矢都等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，而方向與其質(zhì)心加速度的方向相反。（）對

（2）質(zhì)點有運動就有慣性力。（）錯對（3）質(zhì)點的慣性力不是它本身所受的作用力。（）第二十章慣性力47【思考題】1、是非題（1）不論剛體作何種運動，其慣性力系向2．選擇題

（1）設質(zhì)點在空中，只受到重力作用，試問在下列兩種情況下，質(zhì)點慣性力的大小和方向如何？（a）質(zhì)點作自由落體運動；（b）質(zhì)點被鉛垂上拋

（）A．（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向下

B．（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向上C．（a）與（b）的慣性力大小相等，（a）向上、（b）向下D．（a）與（b）的慣性力大小相等，（a）向下、（b）向上B第二十章慣性力482．選擇題（1）設質(zhì)點在空中，只受到重力作用，試問在下列兩（2）如圖所示，半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)細圓環(huán)沿水平直線軌道作勻速純滾動，試問應如何虛加慣性力系？()A.虛加慣性力且過幾何中心O，鉛直向下B.虛加慣性力且過幾何中心O，鉛直向上C.虛加慣性力偶矩，且為反時針轉(zhuǎn)向D.慣性力系組成平衡力系DOvR第二十章慣性力49（2）如圖所示，半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)細圓環(huán)沿水平直線軌道（3）如圖所示，車頂懸掛一質(zhì)量為m的單擺，當車以加速度a沿直線加速行駛時，擺向后偏移。用達朗貝爾原理求得小車的加速度a為()A.B.C.D.D第二十章慣性力50（3）如圖所示，車頂懸掛一質(zhì)量為m的單擺，當車以加速度a沿直(a)繩子上加力P(b)繩子上掛一重P的物體OO(4)兩個相同的定滑輪如下圖示，開始時都處于靜止，同時運動，問同一瞬時哪個角速度大？為什么？第二十章慣性力51(a)繩子上加力P(b)繩子上掛一重P的物體OO(4)3．如圖所示，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量為4kg，B端置于光滑的水平面上。在桿的端作用一水平推力P=60N，使桿AB沿F力方向作直線平移。試用動靜法求AB桿的加速度和角θ之值。答案：第二十章慣性力523．如圖所示，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量為4kg，B端置于光滑的水平面第二十章結(jié)束第二十章慣性力53第二十章結(jié)束第二十章慣性力53[例2]在圖示機構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P1和P2，半徑均為R，繩子不可伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角q，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：(1)鼓輪的角加速度？(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？54[例2]在圖示機構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪解：用達朗貝爾原理求解取輪O為研究對象，虛加慣性力偶列出動靜方程：取輪A為研究對象，虛加慣性力和慣性力偶MIA如圖示。動力學

第十四章達朗貝爾原理

55解：用達朗貝爾原理求解列出動靜方程：取輪A為研究對象，虛加慣列出動靜方程：運動學關系：，將MI，F(xiàn)I，MIA及運動學關系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：動力學

第十四章達朗貝爾原理

56列出動靜方程：運動學關系：代入(2)、(3)、(5)式，得：動力學

第十四章達朗貝爾原理

57代入(2)、(3)、(5)式，得：動力學第十四章達朗貝[例3]均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無滑動地沿傾斜平板由靜止自O點開始滾動。平板對水平線的傾角為q，試求OA=s時平板在O點的約束反力。板的重力略去不計。解：(1)用動能定理求速度，加速度圓柱體作平面運動。在初始位置時，處于靜止狀態(tài)，故T1=0；在末位置時，設角速度為

，則vC=R,動能為：P動力學

第十四章達朗貝爾原理

58[例3]均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無滑動地沿傾斜平板主動力的功：由動能定理得對t求導數(shù)，則：(2)用達朗伯原理求約束反力取系統(tǒng)為研究對象，虛加慣性力和慣性力偶MICP動力學

第十四章達朗貝爾原理

59主動力的功：由動能定理列出動靜方程：動力學

第十四章達朗貝爾原理

60列出動靜方程：動力學第十四章達朗貝爾原理60[例4]繞線輪重P，半徑為R及r，對質(zhì)心O轉(zhuǎn)動慣量為JO，在與水平成q

角的常力F作用下純滾動，不計滾阻，求：(1)輪心的加速度；(2)分析純滾動的條件。解：用達朗伯原理求解繞線輪作平面運動（純滾動）由達朗伯原理，得將FI

、MIO代入上式，可得動力學

第十四章達朗貝爾原理

61[例4]繞線輪重P，半徑為R及r，對質(zhì)心O轉(zhuǎn)動慣量為純滾動的條件：FS

≤fFN

動力學

第十四章達朗貝爾原理

62純滾動的條件：FS≤fFN動力學第十四章達朗汽車連同貨物的總質(zhì)量是m，其質(zhì)心C離前后輪的水平距離分別是b和c，離地面的高度是h。當汽車以加速度a沿水平道路行駛時，求地面給前、后輪的鉛直反力。輪子的質(zhì)量不計。ABCcbh[例5]63汽車連同貨物的總質(zhì)量是m，其質(zhì)心C離前ABCcbhFIaFBmgFNAFNB取汽車連同貨物為研究對象。汽車實際受到的外力有：重力mg，地面對前、后輪的鉛直反力FNA，F(xiàn)NB以及水平摩擦力FB(注意：前輪一般是被動輪，當忽略輪子質(zhì)量時，其摩擦力可以不計)。解：因汽車作平動，其慣性力系合成為作用在質(zhì)心C上的一個力F*

=

Ma

。于是可寫出汽車的動態(tài)平衡方程64ABCcbhFIaFBmgFNAFNB取汽于是可寫出汽車的動態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得ABCcbhFIaFBmgFNAFNB65于是可寫出汽車的動態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得ABCcb飛球調(diào)速器的主軸O1y1以勻角速度w轉(zhuǎn)動。試求調(diào)速器兩臂的張角q。設重錘C的質(zhì)量為m1，飛球A，B的質(zhì)量各為m2，各桿長均為l，桿重可以忽略不計。[例6]

66飛球調(diào)速器的主軸O1y1以勻角速度w轉(zhuǎn)動。6767方向如圖示。應用質(zhì)點動靜法，列出兩投影方程：當調(diào)速器穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時，慣性力（即離心力）F*垂直并通過主軸，其大小為解：如把重錘C簡化為一質(zhì)點，它在桿AC，BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出68方向如圖示。應用質(zhì)點動靜法，列出兩投影方程：由此式可知，調(diào)速器兩臂的張角q與主軸轉(zhuǎn)動角速度w有關。利用這個結(jié)果可以選擇m1，m2，l等參數(shù)量，使在某一轉(zhuǎn)速w下，角q為某一值，從而可以求得重錘C的相應位置，帶動調(diào)節(jié)裝置進行調(diào)速。以F1值代入前兩式，可解出69由此式可知，調(diào)速器兩臂的張角q與主軸轉(zhuǎn)動角球磨機是一種破碎機械，在鼓室中裝進物料和鋼球，如圖所示。當鼓室繞水平軸轉(zhuǎn)動時，鋼球被鼓室攜帶到一定高度，此后脫離殼壁而沿拋物線軌跡落下，最后與物料碰撞以達到破碎的目的。如已知鼓室的轉(zhuǎn)速為nrpm，直徑為D。設鋼球與殼壁間無滑動，試求最外層鋼球的脫離角q。ωq[例7]

70球磨機是一種破碎機械，在鼓室中裝進物料和鋼球應用質(zhì)點動靜法設鋼球的質(zhì)量為m。鋼球脫離殼壁的瞬時，殼壁對鋼球的約束力FN=0。鼓室以勻角速度w轉(zhuǎn)動，鋼球尚未脫離殼壁時，其加速度為：因此慣性力的大小為FI解：mgFNFqω71應用質(zhì)點動靜法設鋼球的質(zhì)量為m。鋼球脫離殼壁即脫離角q與鼓室轉(zhuǎn)速n有關。求得這就是鋼球在任一位置θ時所受的法向動約束力，顯然當鋼球脫離殼壁時，F(xiàn)N=0，由此可求出其脫離角時q為mgFNFqω72即脫離角q與鼓室轉(zhuǎn)速n有關。求得這就是

一擺長隨時間改變的單擺如圖示，擺長的變化規(guī)律為l0－vt，v為常值。試用達朗貝爾原理列寫擺的運動微分方程，并求出繩的張力F。[例8]

Ovjl0－vtM73一擺長隨時間改變的單擺如圖示，擺長的變化規(guī)律為l07474應用極坐標ρ，j表示質(zhì)點M的位置，其加速度a可根據(jù)式表示為引入達朗貝爾慣性力解：Ovjl0－vtMPF75應用極坐標ρ，j表示質(zhì)點M的位置，其加速度a可根據(jù)式表慣性力F*與重力P和繩的張力F構(gòu)成平衡力系P+F+F*=0，向eφ

方向投影，并代入l0－vt，得到運動微分方程向eρ方向的投影得到繩子的張力Ovjl0－vtMPF76慣性力F*與重力P和繩的張力F構(gòu)成平衡力系P+F+F質(zhì)量為m，長l的勻質(zhì)細直桿AB，其A端鉸接在鉛直軸Az上，并以勻角速度w繞該軸轉(zhuǎn)動。求當AB與轉(zhuǎn)軸間的夾角q

=常量(圖a

)時w與θ的關系，以及鉸鏈A的約束力。ξmgF*FAzFAx(a

)(b

)[例9]

77質(zhì)量為m，長l的勻質(zhì)細直桿AB，7878ξmgF*FAzFAx(a

)(b

)取桿AB作為研究對象。受力如圖(b

)。顯然當θ不變時，桿上各點只有向心加速度an

，方向都為水平并指向轉(zhuǎn)軸；這樣，桿的慣性力是同向平行分布力，如圖(b

)所示。解：因而慣性力的元素是沿桿AB取任一微小段dξ考慮，它的質(zhì)量是mgdξ/gl，加速度是ω2ξsinθ。79ξmgF*FAzFAx(a)(b)全桿慣性力合力的大小可用積分求出設合力FI的作用線與桿AB的交點是D，并以b代表D到A的距離，則ξmgF*FAzFAx80全桿慣性力合力的大小可用積分求出設合力FI由對點A的合力矩定理，有把式(1)代入式(2)，即可求得ξmgFIFAzFAx81由對點A的合力矩定理，有把式(1)代入式(2)，即可求得寫出桿的動態(tài)平衡方程，有把表達式(1)代入平衡方程(3)，有即（3）（4）（5）ξmgFIFAzFAx82寫出桿的動態(tài)平衡方程，有把表達式(1)代入平衡方程(3)，有從而求得顯然,第二個解只在3g/2lω2≤1時成立。第一個解能否成立，還需進一步分析。利用(4)，(5)，可以求得鉸鏈上的反作用力，有ξmgFIFAzFAx83從而求得顯然,第二個解只在3g/2lω2≤1時成立。第均質(zhì)圓盤質(zhì)量為mA，半徑為r。細長桿長l=2r，質(zhì)量為m。桿端A點與輪心為光滑鉸接，如圖所示。如在A處加一水平拉力F，使輪沿水平面滾動。問F力多大能使桿的B端剛剛離開地面？又為保證純滾動，輪與地面間的靜滑動摩擦系數(shù)應為多大？mAgmgFABC[例10]

84均質(zhì)圓盤質(zhì)量為mA，半徑為r。細長桿長l=28585細桿剛離地面時仍為平動，而地面約束力為零，設其加速度為a。以桿為研究對象，桿承受的力并加上慣性力如圖所示，其中F*IC=maC=ma。解出ABCFICmgFAxFAya解：按動靜法列出方程mAgmgFABC86細桿剛離地面時仍為平動，而地面約束力為零，為求摩擦力，應以圓輪為研究對象。由方程，得地面摩擦力解得≤mAgmgFABCFNFIAFICMIFSmAgFAFNFIAMIFs整個系統(tǒng)承受的力并加上慣性力如圖，其中由方程得87為求摩擦力，應以圓輪為研究對象。由方程再以整個系統(tǒng)為研究對象，由方程，得由此，地面摩擦系數(shù)≥mAgmgFABCFNFIAFICMIFsmAgFAFNFIAMIFs88再以整個系統(tǒng)為研究對象，由方程

用長l的兩根繩子AO和BO把長l，質(zhì)量是m的勻質(zhì)細桿懸在點O(圖a

)。當桿靜止時，突然剪斷繩子BO，試求剛剪斷瞬時另一繩子AO的拉力。OlllBAC（a）[例11]

89用長l的兩根繩子AO和BO把

繩子BO剪斷后，桿AB將開始在鉛直面內(nèi)作平面運動。由于受到繩OA的約束，點A將在鉛直平面內(nèi)作圓周運動。在繩子BO剛剪斷的瞬時，桿AB上的實際力只有繩子AO的拉力F和桿的重力mg。在引入桿的慣性力之前，須對桿作加速度分析。取坐標系Axyz如圖(c)所示。aA=anA+atA=aCx+aCy+atAC+anAC利用剛體作平面運動的加速度合成定理，以質(zhì)心C作基點，則點A的加速度為OxyαBACθ（c）OllBACmgFθ（b）90繩子BO剪斷后，桿AB將開始在鉛直面內(nèi)作平在繩BO剛剪斷的瞬時，桿的角速度w

=0，角加速度a

≠0。因此又anA=0，加速度各分量的方向如圖(c)所示。把aA投影到點A軌跡的法線AO上，就得到anAC

=AC·w2=0atAC=la／2這個關系就是該瞬時桿的運動要素所滿足的條件。即（1）OxyαBACθ（c）OllBACmgFθ（b）91在繩BO剛剪斷的瞬時，桿的角速度w=0桿的慣性力合成為一個作用在質(zhì)心的力FIC和一個力偶MIC，兩者都在運動平面內(nèi)，

FIC的兩個分量大小分別是FICx=maCx,FICy=maCy力偶矩MIC

的大小是MIC=JCz′α旋向與

a相反(如圖b)。Oxyα