結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論第四章課件

第一節(jié)開(kāi)口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)一開(kāi)口薄壁截面的剪力流和剪力中心第一節(jié)開(kāi)口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)一開(kāi)口薄壁截面的剪力流和剪力中心1代入上式得截面上的剪力流為：式中：剪力流合力Qx和Qy的交點(diǎn)C稱(chēng)為剪力中心，又稱(chēng)彎曲中心、扭轉(zhuǎn)中心代入上式得截面上的剪力流為：式中：剪力流合力Qx和Qy的交點(diǎn)2剪力中心C點(diǎn)的位置可由合力的力矩等于各分力力矩之和來(lái)確定因此：同理，由Qy＝0，可得0—截面形心到截面中心線上微段ds的切線的垂直距離剪力中心C點(diǎn)的位置可由合力的力矩等于各分力力矩之和來(lái)確定因此3若定義若定義4例4－1槽形截面在Qy作用下截面上的剪力流和剪力中心位置解1.剪力流選下翼緣端點(diǎn)1作為曲線坐標(biāo)s的起始點(diǎn)下翼緣(bs0)點(diǎn)2（s＝b）腹板（b＋hsb）例4－1槽形截面在Qy作用下截面上的剪力流和剪力中心位置解5點(diǎn)3（s＝h/2+b）點(diǎn)4（s＝h＋b）點(diǎn)3（s＝h/2+b）點(diǎn)4（s＝h＋b）62。剪力中心坐標(biāo)（x0，y0）單軸對(duì)稱(chēng)，剪力中心C位于對(duì)稱(chēng)軸x軸上，即y0＝0圖乘法對(duì)槽形截面，0分別為h/2和e剪心坐標(biāo)也可利用（4－4）時(shí)求得：建立以形心O為極點(diǎn)，以下翼緣自由端點(diǎn)1為起始點(diǎn)（稱(chēng)為扇性零點(diǎn)）的扇性坐標(biāo)0圖2。剪力中心坐標(biāo)（x0，y0）單軸對(duì)稱(chēng)，剪力中心C位于對(duì)稱(chēng)軸7下翼緣(bs0)點(diǎn)2（s＝b）腹板（b＋hsb）點(diǎn)3（s＝b＋h/2）點(diǎn)4（s＝h＋b）下翼緣(bs0)點(diǎn)2（s＝b）腹板（b＋hsb）點(diǎn)38上翼緣（2b＋hsb＋h）點(diǎn)5（s＝2b＋h）由0圖應(yīng)用圖乘法可得：因此上翼緣（2b＋hsb＋h）點(diǎn)5（s＝2b＋h）由0圖應(yīng)9二開(kāi)口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)形式1。自由扭轉(zhuǎn)或圣維南扭轉(zhuǎn)又稱(chēng)純扭轉(zhuǎn)或均勻扭轉(zhuǎn)截面只有扭轉(zhuǎn)引起的剪應(yīng)力2。約束扭轉(zhuǎn)又稱(chēng)彎曲扭轉(zhuǎn)或非均勻扭轉(zhuǎn)截面產(chǎn)生不同的縱向正應(yīng)力－翹曲正應(yīng)力或扇性正應(yīng)力，同時(shí)產(chǎn)生與翹曲正應(yīng)力保持平衡的剪應(yīng)力－翹曲剪應(yīng)力。二開(kāi)口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)形式1。自由扭轉(zhuǎn)或圣維南扭轉(zhuǎn)又稱(chēng)純扭轉(zhuǎn)或10三開(kāi)口薄壁桿件的純扭轉(zhuǎn)對(duì)開(kāi)口薄壁桿件，由彈性力學(xué)得到：式中：Mk—純扭轉(zhuǎn)扭矩，采用右手螺旋規(guī)則定其正負(fù)號(hào)；

G—材料的剪切彈性模量；

—截面的扭轉(zhuǎn)角，其正負(fù)號(hào)與Mk相同；‘—桿件單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，或稱(chēng)扭率；

Ik—截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)或純扭慣性矩。對(duì)于狹長(zhǎng)矩形截面：當(dāng)截面由幾個(gè)狹長(zhǎng)矩形元素組成時(shí)：三開(kāi)口薄壁桿件的純扭轉(zhuǎn)對(duì)開(kāi)口薄壁桿件，由彈性力學(xué)得到：式中11結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論第四章課件12四開(kāi)口薄壁桿件的約束扭轉(zhuǎn)兩個(gè)基本假設(shè)：1。假設(shè)截面在扭轉(zhuǎn)前的形狀與扭轉(zhuǎn)后在垂直于桿軸平面內(nèi)的投影形狀相同—截面形狀不變假定。截面上任意點(diǎn)B(x,y)在xoy平面內(nèi)位移，可以將截面看成剛體運(yùn)動(dòng)求得。u、v和w為B點(diǎn)沿坐標(biāo)軸x、y和z方向的位移，和為B點(diǎn)沿曲線坐標(biāo)s方向的切線和法線方向的位移，c為剪力中心C到B點(diǎn)切線的垂直距離。四開(kāi)口薄壁桿件的約束扭轉(zhuǎn)兩個(gè)基本假設(shè)：1。假設(shè)截面在扭轉(zhuǎn)前13結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論第四章課件142.假定約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿件中面的剪應(yīng)變?yōu)榱銓?duì)于t/b1/10,輪廓尺寸/長(zhǎng)度1/10構(gòu)件比較精確。對(duì)s積分一次可得：—以剪力中心C為極點(diǎn)，以A點(diǎn)為起始點(diǎn)的扇性坐標(biāo)。式中：f(z)—積分后出現(xiàn)的函數(shù)，與坐標(biāo)s無(wú)關(guān)；起始點(diǎn)A的扇性坐標(biāo)為零，因此A點(diǎn)稱(chēng)為扇性零點(diǎn)。2.假定約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿件中面的剪應(yīng)變?yōu)榱銓?duì)于t/b1/115當(dāng)桿件僅受扭矩作用時(shí)，截面上正應(yīng)力的合力為零：得到：代入（4－11）后可得：當(dāng)桿件僅受扭矩作用時(shí)，截面上正應(yīng)力的合力為零：得到：代入（416可以選擇扇性零點(diǎn)的位置使?jié)M足條件AcdA＝0的扇性零點(diǎn)稱(chēng)為主扇性零點(diǎn)。將（4－12）積分一次后代入（4－9）得：C1為積分常數(shù)，表示桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)軸向剛性位移，即自由翹曲位移，只與坐標(biāo)s有關(guān)，不隨桿長(zhǎng)變化?？梢赃x擇扇性零點(diǎn)的位置使?jié)M足條件AcdA＝0的扇性零點(diǎn)稱(chēng)17相鄰截面的翹曲不等，各截面翹曲正應(yīng)力也不等，因此會(huì)產(chǎn)生翹曲剪應(yīng)力，假定沿厚度為均勻分布，根據(jù)平衡條件得：對(duì)s積分一次，并將（4－13）式代入可得：截面自由邊處＝0，當(dāng)積分界限從自由邊處開(kāi)始時(shí)，得積分常數(shù)C2＝0。因此離自由邊為s處的翹曲剪應(yīng)力為相鄰截面的翹曲不等，各截面翹曲正應(yīng)力也不等，因此會(huì)產(chǎn)生翹曲剪18式中：整個(gè)截面上的翹曲剪應(yīng)力對(duì)剪力中心形成合力矩，叫做翹曲扭矩，又稱(chēng)約束扭轉(zhuǎn)力矩。式中I為翹曲扭轉(zhuǎn)常數(shù)或翹曲慣性矩，又稱(chēng)主慣性矩。式中：整個(gè)截面上的翹曲剪應(yīng)力對(duì)剪力中心形成合力矩，叫做翹曲扭19由（4－15）、（4－16）兩式消去”’后得：引入一個(gè)新力素，定義B稱(chēng)為雙力矩。代入（4－13）得：由（4－16）、（4－20）消去后得：由（4－15）、（4－16）兩式消去”’后得：引入一個(gè)新力20在約束扭轉(zhuǎn)桿件中：（4－5）、（4－16）代入上式后得：在約束扭轉(zhuǎn)桿件中：（4－5）、（4－16）代入上式后得：21當(dāng)桿件承受均布扭矩時(shí)：截面上剪應(yīng)力為：當(dāng)桿件承受均布扭矩時(shí)：截面上剪應(yīng)力為：22計(jì)算此截面的扇性幾何特征n、S和I，并求儲(chǔ)此梁的最大雙力矩。純扭矩和翹曲扭矩。解1。截面扇性幾何特性閱讀夏志斌教授《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論》P187例5－2計(jì)算此截面的扇性幾何特征n、S和I，并求儲(chǔ)此梁的最大雙23取剪力中心C為極點(diǎn)，任取一點(diǎn)2為起始點(diǎn)求扇性坐標(biāo)c在c圖上減去-hf/2后即得n圖取剪力中心C為極點(diǎn)，任取一點(diǎn)2為起始點(diǎn)求扇性坐標(biāo)c在c圖24有了n根據(jù)（4－17）應(yīng)用圖乘法求截面主扇性慣性矩求截面主扇性慣性矩積分必須以截面自由邊為起始點(diǎn)。有了n根據(jù)（4－17）應(yīng)用圖乘法求截面主扇性慣性矩求截面主25結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論第四章課件262。最大雙力矩、純扭轉(zhuǎn)扭矩和翹曲扭矩（4－22)可改寫(xiě)為：通解為：對(duì)稱(chēng)關(guān)系，梁的左半段邊界條件z＝0時(shí)，＝”＝0對(duì)稱(chēng)條件z＝l/2時(shí)，’＝0可得積分常數(shù)C1、C2和C3。及其導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為：2。最大雙力矩、純扭轉(zhuǎn)扭矩和翹曲扭矩（4－22)可改寫(xiě)為：通27由（4－5）式得：當(dāng)z＝0時(shí)，Mk值最大由（4－5）式得：當(dāng)z＝0時(shí)，Mk值最大28由（4－16）式得：當(dāng)z＝l/2時(shí)，M值最大當(dāng)z＝0時(shí)，M值最小由（4－19）式得：當(dāng)z＝l/2時(shí)，B值最大由（4－16）式得：當(dāng)z＝l/2時(shí)，M值最大當(dāng)z＝0時(shí)，29結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論第四章課件30五開(kāi)口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能純扭轉(zhuǎn)由(4-5)式得：代入上式并對(duì)全長(zhǎng)積分得純扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)變能為：翹曲扭矩引起的應(yīng)變能包括翹曲正應(yīng)力和翹曲剪應(yīng)力在相應(yīng)變形上所作功的總和，但引起的應(yīng)變能較小，忽略不計(jì)，因此：五開(kāi)口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能純扭轉(zhuǎn)由(4-5)式得：代入上式31將(4－13)代入上式，積分后得到：約束扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能為：將(4－13)代入上式，積分后得到：約束扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能為：32第二節(jié)軸心受壓時(shí)開(kāi)口薄壁桿件的彎扭屈曲臨界荷載中性平衡方程剪心C沿x和y軸方向平移u和v，截面繞剪力中心扭轉(zhuǎn)角，點(diǎn)B(x,y)沿x和y軸方向位移為：假定屈曲時(shí)桿件處于彈性工作階段和小變形狀態(tài)，并假定截面的周邊形狀保持不變，無(wú)初始缺陷。第二節(jié)軸心受壓時(shí)開(kāi)口薄壁桿件的彎扭屈曲臨界荷載中性平衡方程33一中性平衡方程的建立(一)通過(guò)勢(shì)能駐值原理來(lái)推導(dǎo)將(4-27)和＝P/A代入上式，并注意O為形心，x和y軸為形心主軸，得：一中性平衡方程的建立(一)通過(guò)勢(shì)能駐值原理來(lái)推導(dǎo)將(4-234式中可以寫(xiě)成：根據(jù)勢(shì)能駐值原理：式中可以寫(xiě)成：根據(jù)勢(shì)能駐值原理：35因而得：歐拉方程將(4-31)中被積函數(shù)代入(4-32)式后得到彎扭屈曲中性平衡方程為：因而得：歐拉方程將(4-31)中被積函數(shù)代入(4-32)式后36(二)假想荷載法—符拉索夫虛擬荷載法均布荷載不通過(guò)剪力中心，產(chǎn)生均布扭矩：(二)假想荷載法—符拉索夫虛擬荷載法均布荷載不通過(guò)剪力中心37將=P/A代入(4-34)和(4-35)式，對(duì)整個(gè)截面積分，并注意O為形心，x和y軸為形心主軸，可得：將(4－36)式代入梁的彎曲微分方程EIyuIV-qx=0和EIxvIV-qx=0及扭轉(zhuǎn)微分方程(4－23)，即可求出中性平衡方程，此方程與(4－33)式完全相同。將=P/A代入(4-34)和(4-35)式，對(duì)整個(gè)截面積分38二臨界荷載的確定(一)假設(shè)位移函數(shù)，將微分方程組化為求解代數(shù)方程組如桿段簡(jiǎn)支時(shí)，邊界條件為假設(shè)位移函數(shù)為：A、B和C—廣義坐標(biāo)或參變數(shù)n＝1,2,3,…—彈性曲線的半波數(shù)將它代入(4-33)式，并令：二臨界荷載的確定(一)假設(shè)位移函數(shù)，將微分方程組化為求解代39得到線性齊次代數(shù)方程組為：特征方程為：或解此方程式所得P的最小根，即為所求的臨界力Pcr。得到線性齊次代數(shù)方程組為：特征方程為：或解此方程式所得P的最40當(dāng)桿端為固定時(shí)，邊界條件為：假設(shè)位移函數(shù)為：代入(4-33)式，并令可得與兩端簡(jiǎn)支時(shí)相同的方程式(4－40)，求解之，其最小根為所求的臨界力。也可采用迦遼金法，里茲法求解微分方程當(dāng)桿端為固定時(shí)，邊界條件為：假設(shè)位移函數(shù)為：代入(4-33)41三關(guān)于臨界荷載的討論－以?xún)啥撕?jiǎn)支的軸壓桿為例(一)當(dāng)桿件截面為雙軸對(duì)稱(chēng)或點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)截面形心與剪力中心重合，x0＝y(tǒng)0＝0，(4-40)的形式為：方程式的三個(gè)根為三關(guān)于臨界荷載的討論－以?xún)啥撕?jiǎn)支的軸壓桿為例(一)當(dāng)桿件截42當(dāng)n＝1時(shí)，得到最小臨界力，將此三根代入(4-39)式，可得當(dāng)P＝Px和P＝Py時(shí)，桿件為彎曲屈曲，當(dāng)P＝P時(shí)，桿件為扭轉(zhuǎn)屈曲。對(duì)于雙軸對(duì)稱(chēng)或點(diǎn)對(duì)稱(chēng)截面的軸壓桿，只能發(fā)生繞其主軸彎曲屈曲或繞剪力中心的扭轉(zhuǎn)屈曲，不會(huì)發(fā)生彎扭屈曲。當(dāng)n＝1時(shí)，得到最小臨界力，將此三根代入(4-39)式，可得43(二)當(dāng)桿件截面為單軸對(duì)稱(chēng)(設(shè)y軸為對(duì)稱(chēng)軸)時(shí)，則x0＝0，式(4-40)的形式為：彎曲屈曲彎扭屈曲(三)當(dāng)桿件截面為不對(duì)稱(chēng)時(shí)，則必為彎扭屈曲，臨界力為(4-40)式的三個(gè)根中最小值，并取n＝1。閱讀夏志斌教授《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論》P200例5－3取n＝1，得到最小臨界力。(二)當(dāng)桿件截面為單軸對(duì)稱(chēng)(設(shè)y軸為對(duì)稱(chēng)軸)時(shí)，則x0＝0，44第三節(jié)偏心受壓時(shí)開(kāi)口薄壁桿件的彎扭屈曲除了上節(jié)所述的基本假定外，需再假設(shè)桿件截面具有足夠的抗彎剛度，由偏心彎矩產(chǎn)生的彎曲變形很小，可以略去不計(jì)。第三節(jié)偏心受壓時(shí)開(kāi)口薄壁桿件的彎扭屈曲除了上節(jié)所述的基本假45一中性平衡方程的建立(一)根據(jù)勢(shì)能駐值原理來(lái)導(dǎo)出中性平衡狀態(tài)時(shí)，截面上任意點(diǎn)B(x,y)的位移、應(yīng)變能U和外力所作的功W的表達(dá)式與上一節(jié)(4-25)式、(4-28)式和(4-29)式相同。將(4-27)和(4-45)代入(4-29)式，對(duì)整個(gè)截面積分，并注意O為形心，x和y軸為形心主軸，可得：式中x和y為不對(duì)稱(chēng)截面的幾何特性。一中性平衡方程的建立(一)根據(jù)勢(shì)能駐值原理來(lái)導(dǎo)出中性平衡狀46體系總勢(shì)能的表達(dá)式為：由＝0和變分法導(dǎo)可得(4-32)式，將(4-48)式中被積函數(shù)代入，可得平衡方程為：體系總勢(shì)能的表達(dá)式為：由＝0和變分法導(dǎo)可得(4-32)47或(二)根據(jù)假想荷載法導(dǎo)出P204或(二)根據(jù)假想荷載法導(dǎo)出P20448二臨界荷載的確定桿端為簡(jiǎn)支時(shí)，假設(shè)位移函數(shù)同(4-37)式，代入(4－50)式，可得線性齊次代數(shù)方程為：由(4－51)式可得穩(wěn)定特征方程為：或：二臨界荷載的確定桿端為簡(jiǎn)支時(shí)，假設(shè)位移函數(shù)同(4-37)式49解這個(gè)特征方程可得P的三個(gè)根，其最小根就是所求的臨界力。當(dāng)桿端為固定時(shí)，可假定位移函數(shù)同(4-41)式，代入(4-50)式可得與(4-51)和(4-52)式相同的方程式，但Px、Py