高數(shù)無窮級(jí)數(shù)復(fù)習(xí)課件

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑R泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)在收斂級(jí)數(shù)與數(shù)條件下相互轉(zhuǎn)化一、主要內(nèi)容1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正冪級(jí)數(shù)收泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和定義級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散21、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和定義級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散2性質(zhì)1:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來的和.級(jí)數(shù)收斂的必要條件:收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3性質(zhì)1:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂4常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件定義2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法審斂法(1)比較審斂法5定義2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法審斂法(1)比較審斂法5(2)比較審斂法的極限形式6(2)比較審斂法的極限形式67788定義

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法9定義正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其定義正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法10定義正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).4、任意項(xiàng)級(jí)5、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)定義(2)收斂點(diǎn)與收斂域115、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)定義(2)收斂點(diǎn)與收斂域11(3)和函數(shù)12(3)和函數(shù)12(1)定義6、冪級(jí)數(shù)13(1)定義6、冪級(jí)數(shù)132、冪級(jí)數(shù)(1)收斂性142、冪級(jí)數(shù)(1)收斂性14推論15推論15定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.16定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):加減法(其中(2)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算17a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):加減法(其中(2)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算17b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):18b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):183、冪級(jí)數(shù)展開式(1)定義193、冪級(jí)數(shù)展開式(1)定義19(2)充要條件(3)唯一性20(2)充要條件(3)唯一性20(3)展開方法a.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:b.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.21(3)展開方法a.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:b.間接法(4)常見函數(shù)展開式22(4)常見函數(shù)展開式222323(5)應(yīng)用a.近似計(jì)算b.歐拉公式24(5)應(yīng)用a.近似計(jì)算b.歐拉公式24二、例題例1解根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散．25二、例題例1解根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散．25解根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)收斂．26解根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)收斂．26解原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)也發(fā)散．27解原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)也發(fā)散．27例２解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂．28例２解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂．28由萊布尼茨定理：知此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．29由萊布尼茨定理：知此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．29例３解兩邊逐項(xiàng)積分30例３解兩邊逐項(xiàng)積分303131例4解32例4解323333