(完整)初中數(shù)學(xué)一題多解題

(完整)初中數(shù)學(xué)一題多解題初中數(shù)學(xué)一題多解題例題一、兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是323，求出這兩個(gè)數(shù)。方法一：設(shè)較小的奇數(shù)為x，另外一個(gè)就是x+2。則有x(x+2)=323，解方程得：x1=17，x2=-19。所以，這兩個(gè)奇數(shù)分別是17、19，或者-17，-19。方法二：設(shè)較大的奇數(shù)x，則較小的奇數(shù)為323/x。則有x-323/x=2，解方程得：x1=19，x2=-17。同樣可以得出這兩個(gè)奇數(shù)分別是17、19，或者-17，-19。方法三：設(shè)x為任意整數(shù)，則這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為2x-1，2x+1。則有(2x-1)(2x+1)=323，即4x^2-1=323，x^2=81，x1=9，x2=-9。2x1-1=17，2x1+1=19；2x2-1=-19，2x2+1=-17。所以，這兩個(gè)奇數(shù)分別是17、19，或者-17，-19。方法四：設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為x-1，x+1，則有x^2-1=323，x^2=324=4*81，x1=18，x2=-18。x1-1=17，x1+1=19；x2-1=-19，x2+1=-17。所以，這兩個(gè)奇數(shù)分別是17、19，或者-17，-19。例題二、某人買(mǎi)13個(gè)雞蛋、5個(gè)鴨蛋、9個(gè)鵪鶉蛋，共用去9.25元；如果買(mǎi)2個(gè)雞蛋、4個(gè)鴨蛋、3個(gè)鵪鶉蛋，則共用去3.20元，試問(wèn)只買(mǎi)雞蛋、鴨蛋、鵪鶉蛋各一個(gè)，共需多少錢(qián)？解：設(shè)雞、鴨、鵪鶉三種蛋的單價(jià)分別為x、y、z元，則根據(jù)題意，得以下方程組：13x+5y+9z=9.252x+4y+3z=3.20分析：此方程組是三元一次方程組，由于只有兩個(gè)三元一次方程，因而要分別求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代數(shù)和，因此，我們可通過(guò)變形變換得到多種解法。解法一：湊整法。將兩個(gè)方程相加，得5x+3y+4z=4.15。將第二個(gè)方程乘以3再與第一個(gè)方程相減，得7(x+y+z)=7.35，故x+y+z=1.05。解法二：主元法。將第一個(gè)方程乘以4再減去第二個(gè)方程，得52x+16y=44.8。將第二個(gè)方程乘以5再減去第一個(gè)方程，得16y+22z=11。解得y=0.55，z=0.5-0.5y=0.05，代入第一個(gè)方程得x=0.45，故x+y+z=1.05。綜上，只買(mǎi)雞蛋、鴨蛋、鵪鶉蛋各一個(gè)，共需1.05元。1.解題思路：根據(jù)題意列出方程組，消元求解。首先將y、z視為主元，x視為常數(shù)，解出y和z的表達(dá)式，代入x+y+z=105中求解x，得到x=0.5，y=0.55，z=3.95。因此，3輛大車(chē)和5輛小車(chē)一次可以運(yùn)貨24.5噸。2.解題思路：根據(jù)題意列出方程組，待定系數(shù)法求解。設(shè)甲、乙、丙三種貨物分別為x、y、z，則根據(jù)題意列出方程組，設(shè)x+y+z=k，代入方程組中求解系數(shù)a和b，再代入x+y+z=k中求解k，得到k=1.05。因此，購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙各1件共需1.05元。題35：已知，在直角三角形ABC中，CD⊥AB，AE平分∠BCA交BC于點(diǎn)E，交CD于F，求證：2CF·FD=AF·EF。根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于AE平分∠BCA，所以∠CAF=∠BAE，∠CAE=∠EAB；又因?yàn)镃D⊥AB，所以∠ACD=∠BCD，∠CAD=∠CBD。因此，△CAF∽△BAE，△ACD∽△BCD。又因?yàn)镃F=FD，所以可以得到：2CF·FD=CF^2=AF·EF，即可證明結(jié)論。題36：已知，在三角形ABC中，CD⊥AB，D為垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求證：CE/BC=CF/AC。根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD；又因?yàn)镈E⊥AC于E，DF⊥BC于F，所以△ADE∽△BDF。因此，CE/BC=CD/BD，CF/AC=FD/AD。又因?yàn)锳D=BD+CD，所以可以得到CE/BC=CF/AC，即可證明結(jié)論。題37：已知，在三角形ABC中，D是AB上一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD，求證：AE^2=AD·AB。根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于CE平分∠BCD，所以∠ACE=∠ECD，∠ACB=∠DCB。因此，△ACE∽△DCB。又因?yàn)镈是AB上一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠ACD=∠ABC，所以△ACD∽△ABC。因此，AE/AD=AC/AB，CE/CD=AC/BC。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到AE^2=AD·AB，即可證明結(jié)論。題38：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，PC為⊙ABC的切線(xiàn)，求證：PA/AD=PB/BD。根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于PC為⊙ABC的切線(xiàn)，所以∠PCA=∠BCA，∠PCB=∠ACB。因此，△PCA∽△CAB，△PBC∽△ABC。又因?yàn)镃D⊥AB，所以△ACD∽△BCD。因此，AD/BD=AC/BC。由相似三角形的性質(zhì)，可以得到PA/AD=PB/BD，即可證明結(jié)論。題39：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，E為BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AE，CF⊥AE，F(xiàn)為垂足，連結(jié)DF，求證：△ADF∽△AEB。根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD；又因?yàn)镃F⊥AE，所以△ACF∽△BCE。因此，AD/BD=AC/BC，AF/BE=AC/CE。又因?yàn)镋F=CF，所以可以得到：AF/BE=CF/CE。因此，△ADF∽△AEB，即可證明結(jié)論。題40：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，求證：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB。根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD。又因?yàn)镾⊙ADC=1/2·AD·AC，S⊙BDC=1/2·BD·BC，所以S⊙ADC：S⊙BDC=AD·AC：BD·BC。由于AD/BD=AC/BC，所以可以得到S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB，即可證明結(jié)論。題41：已知，在三角形ABC中，CD⊥AB，D為垂足，且AD/CD=CD/BD，求∠ACB的度數(shù)。根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于AD/CD=CD/BD，所以AD^2=CD^2，即AC^2-AD^2=BC^2-CD^2。又因?yàn)镃D⊥AB，所以AC^2-AD^2=BC^2，即AC^2=AD^2+BC^2。因此，∠ACB為90度，即可得出結(jié)論。題42：已知，CD是三角形ABC的AB邊上的高，D為垂足，且AD/CD=CD/BD，則∠ACB一定是90度嗎？為什么？根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于CD是三角形ABC的AB邊上的高，所以AD+BD=AB。又因?yàn)锳D/CD=CD/BD，所以AD/BD=CD^2/BD^2。因此，可以得到AD^2=CD^2·BD/AD，即AD^3=CD^2·BD。因此，如果AD/CD=CD/BD成立，那么∠ACB一定是90度，否則就不一定。題43：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，△ADC的內(nèi)切圓⊙O1，△BDC的內(nèi)切圓⊙O2，求證：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB。根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD；又因?yàn)椤鰽DC和△BDC的內(nèi)切圓分別與CD、BC相切，所以CD和BC分別為它們的公切線(xiàn)。因此，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，可以得到AD=AS，BD=BS，其中AS和BS分別為⊙O1和⊙O2的切點(diǎn)到D的距離。又因?yàn)镾⊙O1=1/2·AD·AC，S⊙O2=1/2·BD·BC，所以S⊙O1：S⊙O2=AD·AC：BD·BC=AD：DB，即可證明結(jié)論。題44：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，△ADC的內(nèi)切圓⊙O1的半徑R1，△BDC的內(nèi)切圓⊙O2的半徑R2，△ABC的內(nèi)切圓⊙O的半徑R，求證：R1+R2+R=CD。根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD；又因?yàn)椤鰽DC和△BDC的內(nèi)切圓分別與CD、BC相切，所以CD和BC分別為它們的公切線(xiàn)。因此，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，可以得到AD=AS，BD=BS，其中AS和BS分別為⊙O1和⊙O2的切點(diǎn)到D的距離。又因?yàn)镾⊙O1=1/2·AD·AC，S⊙O2=1/2·BD·BC，S⊙O=1/2·AB·AC=1/2·AB·BC=1/2·AC·BD，所以R1+R2+R=AS+BS+2R=2S⊙O+2R=CD，即可證明結(jié)論。題45：已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，作以AC為直徑的圓O1，和以BD為直徑的圓O2，設(shè)O1和O2在△ABC內(nèi)交于P，求證：△PAD的面積和△PBC的面積相等。根據(jù)題意，可以得到以下結(jié)論：由于CD⊥AB，所以△ACD∽△BCD；又因?yàn)橐訟C和BD為直徑的圓分別為⊙O1和⊙O2，所以∠APO1=∠BPO2=90度。因此，AP和BP分別為⊙O1和⊙O2的直徑，所以△PAD和△PBC都是直角三角形，且∠PAD=∠PBC=90度。又因?yàn)锳P=AC，BP=BC，所以S△PAD=1/2·AP·AD=1/2·AC·CD=S△PBC，即可證明結(jié)論。題目59（題53的逆命題6）已知如圖，AC=CE，CF⊥AB，CB=BE，∠ABC=∠EBF，求證：AF=2EF。證明：首先，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦BC=∠EBF，所以三角形ABG與三角形EBF相似。又因?yàn)镃B=BE，所以BG=BA。所以三角形ABG為等腰三角形，即AG=AB。又因?yàn)锳C=CE，所以AE=EC。所以三角形AEC為等腰三角形，即∠AEC=∠ACE。因?yàn)锳C⊥CE，所以∠ACE=90度，所以∠AEC=90度。所以∠AEG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以AE^2=AG·AB。因?yàn)锳E=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以AG=2EC。所以AF=AG-GF=2EC-GF=2EF。題目60（題53的逆命題7）已知如圖，AC=CE，AC⊥CE，∠ABC=∠EBF，CF⊥AB，求證：AF=2EF。證明：首先，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦BC=∠EBF，所以三角形ABG與三角形EBF相似。又因?yàn)锳C⊥CE，所以∠ACE=90度，所以三角形AEC為等腰三角形，即∠AEC=∠ACE。所以∠AEG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以AE^2=AG·AB。因?yàn)锳E=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以AG=2EC。所以AF=AG-GF=2EC-GF=2EF。題目61（題53的逆命題8）已知如圖，AC=CE，AC⊥CE，CB=BE，∠ABC=∠EBF，求證：AF=2EF。證明：首先，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦BC=∠EBF，所以三角形ABG與三角形EBF相似。又因?yàn)锳C⊥CE，所以∠ACE=90度，所以三角形AEC為等腰三角形，即∠AEC=∠ACE。所以∠AEG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以AE^2=AG·AB。因?yàn)锳E=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以AG=2EC。所以AF=AG-GF=2EC-GF=2EF。題目62（題53的逆命題9）已知如圖，AF=2EF，CF⊥AB，CB=BE，∠ABC=∠EBF，求證：AC=CE，AC⊥CE。證明：首先，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦BC=∠EBF，所以三角形ABG與三角形EBF相似。又因?yàn)锳F=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因?yàn)锳E=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE，所以三角形CGB為等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。又因?yàn)椤螦EG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以AC⊥CE。題目63（題53的逆命題10）已知如圖，AC⊥CE，AF=2EF，CF⊥AB，∠ABC=∠EBF，求證：AC=CE，CB=BE。證明：首先，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦BC=∠EBF，所以三角形ABG與三角形EBF相似。又因?yàn)锳F=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因?yàn)锳E=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE。所以三角形CGB為等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。題目64（題53的逆命題11）已知如圖，CB=BE，∠ABC=∠EBF，AC⊥CE，AF=2EF，求證：AC=CE，CF⊥AB。證明：首先，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦BC=∠EBF，所以三角形ABG與三角形EBF相似。又因?yàn)锳F=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因?yàn)锳E=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE。所以三角形CGB為等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。又因?yàn)椤螦EG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以CF⊥AB。題目65（題53的逆命題12）已知如圖，AC=CE，AF=2EF，CF⊥AB，∠ABC=∠EBF，求證：AC⊥CE，CB=BE。證明：首先，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦BC=∠EBF，所以三角形ABG與三角形EBF相似。又因?yàn)锳F=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因?yàn)锳E=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE。所以三角形CGB為等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。又因?yàn)锳E⊥EG，所以AC⊥CE。題目66（題53的逆命題13）已知如圖，AC⊥CE，AF=2EF，CB=BE，∠ABC=∠EBF，求證：AC=CE，CF⊥AB。證明：首先，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦BC=∠EBF，所以三角形ABG與三角形EBF相似。又因?yàn)锳F=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因?yàn)锳E=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE。所以三角形CGB為等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。又因?yàn)椤螦EG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以CF⊥AB。題目67（題53的逆命題14）已知如圖，AC=CE，AC⊥CE，AF=2EF，∠ABC=∠EBF，求證：CB=BE，CF⊥AB。證明：首先，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦BC=∠EBF，所以三角形ABG與三角形EBF相似。又因?yàn)锳F=2EF，所以AG=2EC。所以AE^2=AG·AB。因?yàn)锳E=EC，所以EC^2=AG·AB。所以AG/EC=EC/AG。所以CB=BE。所以三角形CGB為等腰三角形，即CG=GB。所以∠ACB=∠ECB=∠ECG=∠ACG。所以AC=CE。又因?yàn)椤螦EG=∠AEB+∠BEG=∠CEA+∠BEG=∠CEB+∠BEG=∠CEG=90度。所以AE⊥EG，所以CF⊥AB。題目68已知如圖，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，CM平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，求S△BCD=？解：首先，因?yàn)镃M平分∠ACB，所以AM=MB。又因?yàn)镾△ACM=30，所以S△ABC=60。又因?yàn)椤螦CB=90度，所以AB^2=AC^2+BC^2。所以BC^2=AB^2-AC^2。又因?yàn)镃D⊥AB，所以BC^2=BD·BA。所以BD=BC^2/BA=（AB^2-AC^2）/AB。又因?yàn)镾△DCM=6，所以S△DCB=12。所以S△BCD=S△DCB-S△DCM=6。題目92：在直角三角形ABC中，CD是AB邊上的高，且∠ACD=3∠BCD，E是AB的中點(diǎn)，求∠ECB的度數(shù)。解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下等式：$\begin{cases}\angleACD=3\angleBCD\\AE=EB\end{cases}$由于$\angleACD+\angleBCD=90^\circ$，所以$\angleBCD=\frac{1}{4}\angleACB$。又因?yàn)?\angleACB=90^\circ$，所以$\angleBCD=22.5^\circ$。由于$AE=EB$，所以$\triangleAEC$和$\triangleBEC$是等腰三角形，$\angleECB=\angleECA=\frac{1}{2}\angleACB=45^\circ$。因此，$\angleECB=45^\circ$。題目94：在三角形ABC中，$\angleC$的平分線(xiàn)交AB于D，交三角形ABC的外接圓于E，若CD·CE等于三角形ABC面積的2倍，求證：$\angleACB=90^\circ$。解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下等式：$CD\cdotCE=2[S_{\triangleABC}]$其中，$S_{\triangleABC}$表示三角形ABC的面積。又因?yàn)?\angleAEC=90^\circ$，所以$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AB\cdotEC$。因此，$CD\cdotCE=AB\cdotEC$。又因?yàn)?\triangleADE\sim\triangleAEC$，所以$\frac{AD}{AE}=\frac{DE}{EC}$，即$\frac{AD}{\frac{1}{2}AB}=\frac{DE}{EC}$。又因?yàn)?\triangleBDE\sim\triangleBEC$，所以$\frac{BD}{BE}=\frac{DE}{EC}$，即$\frac{BD}{\frac{1}{2}AB}=\frac{DE}{EC}$。因此，$\frac{AD}{\frac{1}{2}AB}=\frac{BD}{\frac{1}{2}AB}$，即$AD=BD$。又因?yàn)?\angleACD=\angleBCD$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCD$，即$AC=BC$。因此，$\triangleABC$是等腰直角三角形，$\angleACB=90^\circ$。題目95：在三角形ABC中，$\angleACB=90^\circ$，CD⊥AB，D為垂足，CM平分$\angleACB$交AB于M，若AC>BC，求證：$\angleDCM=\frac{1}{2}(\angleB-\angleA)$。解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下等式：$\begin{cases}CM$平分$\angleACB\\AC>BC\end{cases}$又因?yàn)?\angleACB=90^\circ$，所以$\triangleACM$和$\triangleBCM$都是直角三角形。因此，$\angleAMC=\angleBMC=45^\circ$。又因?yàn)?\angleACD=\angleBCD$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCD$，即$AC=BC$。因此，$\triangleAMC$和$\triangleBMC$是等腰直角三角形，$\angleMAC=\angleMBC=45^\circ$。又因?yàn)?\angleDCA=\angleDCB$，所以$\triangleDCA\cong\triangleDCB$，即$DA=DB$。因此，$\triangleADM$和$\triangleBDM$是等腰三角形，$\angleAMD=\angleBMD$。因此，$\angleDCM=\angleAMC-\angleAMD=\angleBMC-\angleBMD=\frac{1}{2}(\angleB-\angleA)$。題目96：在三角形ABC中，$\angleACB=90^\circ$，CD⊥AB，D為垂足，CE為AB邊上的中線(xiàn)，且DE=DC，求三角形ABC中較小的銳角的度數(shù)。解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下等式：$\begin{cases}CD=DE=DC\\CE$為AB邊上的中線(xiàn)\end{cases}$又因?yàn)?\angleACD=\angleBCD$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCD$，即$AC=BC$。因此，$\triangleABC$是等腰直角三角形，$\angleBAC=\angleABC=45^\circ$。又因?yàn)?CE=\frac{1}{2}AB$，所以$\triangleCDE$是等腰直角三角形，$\angleCED=\angleCDE=45^\circ$。因此，$\triangleCED$是等邊三角形，$CD=DE=CE=\frac{1}{2}AB$。又因?yàn)?\angleBAC=45^\circ$，所以$\angleBCA=45^\circ$。因此，$\triangleABC$中較小的銳角是$\angleBAC$，其度數(shù)為$45^\circ$。題目97：在三角形ABC中，$\angleACB=90^\circ$，CE平分$\angleACB$交AB于E，且EC+BC=AC，求AC/BC。解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下等式：$EC+BC=AC$又因?yàn)?\angleACE=\angleECB$，所以$\triangleACE\sim\triangleECB$，即$\frac{AC}{EC}=\frac{EC}{BC}$，即$AC\cdotBC=EC^2$。因此，$EC^2+BC^2=AC^2$。又因?yàn)?\angleACB=90^\circ$，所以$AC^2+BC^2=AB^2$。因此，$EC^2+BC^2=AB^2-BC^2$，即$EC^2=AB^2-2BC^2$。又因?yàn)?EC+BC=AC$，所以$EC=AC-BC$。因此，$(AC-BC)^2=AB^2-2BC^2$，即$AC^2-2AC\cdotBC+BC^2=AB^2-2BC^2$。因此，$AC^2-AB^2=BC^2-2AC\cdotBC+BC^2$，即$(AC-AB)(AC+AB)=BC^2-2AC\cdotBC+BC^2$。又因?yàn)?AC+AB=BC$，所以$(AC-AB)BC=BC^2-2AC\cdotBC+BC^2$，即$(AC-AB)BC=BC^2-AC\cdotBC$。因此，$\frac{AC}{BC}-1=\frac{BC}{AC}$，即$\left(\frac{AC}{BC}\right)^2-\frac{AC}{BC}-1=0$。解得$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$。題目98：在三角形ABC中，$\angleACB=90^\circ$，兩直角邊的差為$2\sqrt{2}$，CD⊥AB，D為垂足，BD-AD=$2\sqrt{3}$，求三角形ABC中的三邊長(zhǎng)。解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下等式：$\begin{cases}BD-AD=2\sqrt{3}\\BC-AC=2\sqrt{2}\end{cases}$又因?yàn)?\angleACD=\angleBCD$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCD$，即$AC=BC$。因此，$\triangleABC$是等腰直角三角形，$\angleBAC=\angleABC=45^\circ$。又因?yàn)?BD-AD=2\sqrt{3}$，所以$\frac{BD}{AD}=\frac{2\sqrt{3}+AD}{AD}$，即$BD=2\sqrt{3}+AD$。又因?yàn)?\angleACD=\angleBCD$，所以$\triangleACD\cong\triangleBCD$，即$AD=BD-2\sqrt{2}$。因此，$AD=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$AC=BC=\sqrt{8}$。因此，三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$\sqrt{8}$。題目99：圓內(nèi)接三角形ABC中，直徑AB=4，AB邊上的高CD=$2\sqrt{3}$，求$\angleA$的度數(shù)。解析：根據(jù)題意，我們可以列出以下等式：$\begin{cases}AB=4\\CD=2\sqrt{3}\end{cases}$又因?yàn)?\triangleACD\sim\triangleABC$，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}$，即$\frac{AC}{4}=\frac{2\s