河南省新鄉(xiāng)市衛(wèi)輝高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

河南省新鄉(xiāng)市衛(wèi)輝高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若a＞0，b＞0，a+b=+，則3a+81b的最小值為（）A．6 B．9 C．18 D．24參考答案：C【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】a＞0，b＞0，a+b=+，化為ab（a+b）=a+b＞0，可得ab=1．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=+，∴ab（a+b）=a+b＞0，∴ab=1．則3a+81b≥2=2≥2=18，當(dāng)且僅當(dāng)a=4b=2時(shí)取等號(hào)．∴3a+81b的最小值為18．故選：C．2.已知非零常數(shù)α是函數(shù)y=x+tanx的一個(gè)零點(diǎn)，則（α2+1）（1+cos2α）的值為（）A．2 B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；二倍角的余弦．【分析】由題意可得，tanα=﹣α，利用二倍角公式可得（α2+1）?（cos2α+1）=（1+tan2α）（2cos2α），化簡可求．【解答】解：由題意非零常數(shù)α是函數(shù)y=x+tanx的一個(gè)零點(diǎn)，可得，tanα=﹣α，可得（α2+1）?（1+cos2α）=（1+tan2α）（2cos2α）=2（cos2α）×（+1）=2．故選：A．3.在等比數(shù)列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的兩根，則a4?a7的值為（）A.6 B.1 C.﹣1 D.﹣6參考答案：D【分析】由題意利用韋達(dá)定理，等比數(shù)列的性質(zhì)，求得a4?a7的值．【詳解】∵等比數(shù)列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的兩根，∴a2?a9＝﹣6，則a4?a7＝a2?a9＝﹣6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)及二次方程中韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0），過雙曲線右焦點(diǎn)F傾斜角為直線與該雙曲線的漸近線分別交于M、N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OMF與△ONF的面積比等于2：1，則該雙曲線的離心率等于（）A．或 B． C．或 D．參考答案：C【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】先求出栓曲線的漸近線方程直線方程，求出M，N的縱坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積比得到a與b的關(guān)系，根據(jù)離心率公式計(jì)算即可．【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±x，設(shè)直線方程為y=x﹣c，由和解得yM=，yN=﹣，∵△OMF與△ONF的面積比等于2：1，若a＞b，∴：=2：1，∴a=3b，∴e====若a＜b，∴：=2：1，∴3a=b，∴e===，故選：C5.（5分）設(shè)集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，則P∪Q=（）A．{3，0}B．{3，0，1}C．{3，0，2}D．{3，0，1，2}參考答案：B【考點(diǎn)】：并集及其運(yùn)算．【專題】：計(jì)算題．【分析】：根據(jù)集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，則log2a=0，b=0，從而求得P∪Q．解：∵P∩Q={0}，∴l(xiāng)og2a=0∴a=1從而b=0，P∪Q={3，0，1}，故選B．【點(diǎn)評(píng)】：此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查集合的交集和并集及其運(yùn)算，注意集合元素的互異性，以及對數(shù)恒等式和真數(shù)是正數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用．6.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象關(guān)于直線x=對稱且f（﹣）=0，如果存在實(shí)數(shù)x0，使得對任意的x都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+），則ω的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值；H6：正弦函數(shù)的對稱性．【分析】由題意直線x=是對稱軸，對稱中心為（﹣，0），根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求ω的最小值．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象關(guān)于x=對稱且f（﹣）=0，∴ω+φ=kπ+…①，﹣ω+φ=kπ…②，ωx0+φ≤+2kπ且（ωx0+φ）≥﹣+2kπ…③由①②解得ω=4，φ=kπ+，（k∈Z）當(dāng)k=0時(shí)，ω=4，φ=，③成立，滿足題意．故得ω的最小值為4．故選B．7.已知△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡過△ABC的(

)A．外心

B．

內(nèi)心

C．重心

D．垂心參考答案：A8.《張丘建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今共織九十尺，問織幾日？”，已知“日減功遲”的具體含義是每天比前一天少織同樣多的布，則此問題的答案是（

）A.10日

B.20日

C.30日

D.40日參考答案：C9.若，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．

C． D．參考答案：C10.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則{an}的公差為（）

A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：C

聯(lián)立求得

得

選C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

函數(shù)的部分圖象如左下圖所示，則的值分別為

▲

.參考答案：2，12.甲、乙、丙、丁和戊5名學(xué)生進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”；對乙說“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”從上述回答分析，5人的名次排列可能有

種不同情況?（填數(shù)字）參考答案：5413.若，則=_________________參考答案：分析：由二倍角公式求得，再由誘導(dǎo)公式得結(jié)論．詳解：由已知，∴．故答案為．點(diǎn)睛：三角函數(shù)恒等變形中，公式很多，如誘導(dǎo)公式、同角關(guān)系，兩角和與差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先選用哪個(gè)公式后選用哪個(gè)公式在解題中尤其重要，但其中最重要的是“角”的變換，要分析出已知角與未知角之間的關(guān)系，通過這個(gè)關(guān)系都能選用恰當(dāng)?shù)墓剑?4.已知直線的充要條件是a=

參考答案：答案：15.設(shè)x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，則|+|=

．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的模．【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】由向量平行、垂直的充要條件，列出關(guān)于x、y的方程并解之，可得=（2，1）且=（1，﹣2），由此不難算出+向量的坐標(biāo)，從而得到|+|的值．【解答】解：∵向量=（x，1），=（2，﹣4），且⊥，∴x×2+1×（﹣4）=0，解得x=2，得=（2，1），又∵=（1，y），=（2，﹣4），且∥，∴1×（﹣4）=y×2，解得y=﹣2，得=（1，﹣2），由此可得：+=（2+1，1+（﹣2））=（3，﹣1）∴|+|==故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題給出三個(gè)向量，在已知向量平行、垂直的情況下求和向量的模，著重考查了向量平行、垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．16.袋中裝有大小、形狀完全相同的m個(gè)紅球和n個(gè)白球，其中m，n滿足：已知從袋中任取2個(gè)球，取出的2個(gè)球是同色的概率等于取出的2個(gè)球是異色的概率.現(xiàn)從袋中任取2個(gè)球，設(shè)取到紅球的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的期望=

．參考答案：17.已知直線x＝a(0＜a＜)與函數(shù)f(x)＝sinx和函數(shù)g(x)＝cosx的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，若MN＝，則線段MN的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為

▲

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元．（Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的．

參考答案：21．解：（I）設(shè)容器的容積為V，由題意知故由于因此所以建造費(fèi)用因此

（II）由（I）得由于當(dāng)令所以

（1）當(dāng)時(shí)，所以是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。

（2）當(dāng)即時(shí)，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)19.在中，角所對的邊分別為，且滿足.求角的大??；求的最大值，并求取得最大值時(shí)角的大小.參考答案：、解：由正弦定理得因?yàn)?，所?從而.又，所以，則------------------------------------------------------6由知，，于是===-----------------------------------8因?yàn)椋?從而當(dāng)，即時(shí)，取最大值2.--------------------------------------------10綜上所述，的最大值2，此時(shí)，.---------1220.（本小題滿分15分）如圖，曲線是以原點(diǎn)為中心、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線是以為頂點(diǎn)、為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，是曲線和的交點(diǎn)且為鈍角，若，．

（I）求曲線和的方程；

（Ⅱ）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于四點(diǎn)，若為的中點(diǎn)、為的中點(diǎn)，問：是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由．參考答案：（Ⅰ）解法一：設(shè)橢圓方程為，則，得.設(shè)，則，，兩式相減得，由拋物線定義可知，則或（舍去）所以橢圓方程為，拋物線方程為.…4分解法二：過作垂直于軸的直線，即拋物線的準(zhǔn)線，作垂直于該準(zhǔn)線，作軸于，則由拋物線的定義得，所以

，

得，所以c＝1，(，得）,因而橢圓方程為，拋物線方程為………………4分（Ⅱ）設(shè)把直線……15分21.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）證明在上是增函數(shù)；（3）解不等式.參考答案：(1)解：是（-1，1）上的奇函數(shù)

（1分）又

（2分）

（4分）（2）證明：任設(shè)x1、x2（-1，1），且則

（6分），且

又

即

（7分）在（-1，1）上是增函數(shù)

（8分）（3）是奇函數(shù)

不等式可化為即

（9分）又在（-1，1）上是增函數(shù)

略22.已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，xi，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．?X={x1，x2，…，xi，…，xn}∈Ωn，稱xi為X的第i個(gè)坐標(biāo)分量．若S?Ωn，且滿足如下兩條性質(zhì)：①S中元素個(gè)數(shù)不少于4個(gè)；②?X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m個(gè)坐標(biāo)分量是1；則稱S為Ωn的一個(gè)好子集．（1）S={X，Y，Z，W}為Ω3的一個(gè)好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），寫出Z，W；（2）若S為Ωn的一個(gè)好子集，求證：S中元素個(gè)數(shù)不超過2n﹣1；（3）若S為Ωn的一個(gè)好子集，且S中恰有2n﹣1個(gè)元素，求證：一定存在唯一一個(gè)k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k個(gè)坐標(biāo)分量都是1．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)好子集的定義直接寫出Z，W，（2）若S為Ωn的一個(gè)好子集，考慮元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣xi，…，1﹣xn），進(jìn)行判斷證明即可．（3）根據(jù)好子集的定義，證明存在性和唯一性即可得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）對于X?Ω，考慮元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣xi，…，1﹣xn），顯然X′∈Ωn，?X，Y，X′，對于任意的i∈{1，2，…，n}，xi，yi，1﹣xi不可能都為1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因?yàn)槿《╔，則X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定義知道，?X，Y∈Ω，X′=Y′?X=Y…6分這樣，集合S中元素的個(gè)數(shù)一定小于或等于集合Ωn中元素個(gè)數(shù)的一半，而集合Ωn中元素個(gè)數(shù)為2n，所以S中元素個(gè)數(shù)不超過2n﹣1；…8分（Ⅲ）?X={x1，x2，…，xi，…，xn}，．?Y={y1，y2，…，yi，…，yn}∈Ωn，定義元素X，Y的乘積為：XY={x1y1，x2y2，…，xiyi，…，xnyn}，顯然XY∈Ωn，．我們證明：“對任意的X={x1，x2，…，xi，…，xn}∈S，都有XY∈S．”假設(shè)存在X，Y∈S，使得XY?S，則由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣xiyi，