寧夏石嘴山市平羅縣中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題（A卷）（含解析）

第第頁寧夏石嘴山市平羅縣中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題（A卷）（含解析）平羅縣中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試

（理科）數(shù)學(xué)（A）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第Ⅰ卷

一、選擇題（每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.

1.已知集合，，且，則m的值為（）

A.B.或

C或或D.或或或

2.命題“”的否定是（）

AB.

C.D.

3.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

4.下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①函數(shù)與是同一個函數(shù)；②若，則或；③若隨機(jī)變量，，則；④在回歸分析模型中，殘差的平方和越大，模型的擬合效果越好.

A.B.C.D.

5.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）

A.0B.1C.D.

6.已知函數(shù)，且，則實數(shù)的值等于（）

A.B.C.2D.

7.已知命題“，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）

AB.C.D.

8.設(shè)，則“”是“”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）

A.B.

C.D.

10.偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（）

A.B.C.D.

11.如圖，是邊長為2的等邊三角形，點E由點A沿線段AB向點B移動，過點E作AB的垂線l，設(shè)，記位于直線l左側(cè)的圖形的面積為y，那么y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

A.B.

C.D.

12.已知函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，且，若，且，都有，則不等式的解集為（）

A.B.

C.D.

第Ⅱ卷

二、填空題（每小題5分，共20分，請把正確答案填在答題卡中的橫線上）.

13.函數(shù)定義域為______.

14.設(shè)命題函數(shù)是增函數(shù)；命題方程表示橢圓.若是真命題，則實數(shù)的取值范圍是_________.

15.已知在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是__________.

16.函數(shù)的定義域為R，其圖像是一條連續(xù)的曲線，在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法中，正確說法的序號是__________.

①既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

②的最小正周期為4；

③在上單調(diào)遞減；

④是的一個最大值；

⑤.

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.

17.在數(shù)列中，，，設(shè).

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的前n項和.

18.如圖所示，在三棱錐C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中點，.

（1）證明：平面CBD⊥平面ABD；

（2）求直線BC與平面ACD所成角的正弦值．

19.某市閱讀研究小組為了解該市中學(xué)生閱讀時間與語文成績的關(guān)系，在參加全市中學(xué)生語文綜合能力競賽的各校學(xué)生中隨機(jī)抽取了500人進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理成如下列聯(lián)表.已知樣本中語文成績不低于75分的人數(shù)占樣本總數(shù)的30%.

周平均閱讀時間語文成績少于10小時不少于10小時合計

低于75分

不低于75分100

合計250

（1）完成列聯(lián)表，并判斷有多大的把握認(rèn)為語文成績與閱讀時間有關(guān)？

（2）先從成績不低于75分的樣本中按不同閱讀時間的人數(shù)比例，用分層抽樣的方法抽取9人進(jìn)一步做問卷調(diào)查，然后再從這9人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記這3人中周平均閱讀時間不少于10小時的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：，

0.0250.0100.001

5.0246.63510.828

20.已知橢圓C：的離心率是，點在C上．

（1）求C的方程；

（2）直線l:交C于P，Q兩點（不同于點A），直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，線段MN的中點為，證明：直線l過定點，并求出定點坐標(biāo)．

21.已知函數(shù)．

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．

選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點，直線l和曲線C交于A，B兩點，求的值．

選修4—5：不等式選講

23.已知．

（1）當(dāng)時，求不等式的解集；

（2）若，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

平羅縣中2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試

（理科）數(shù)學(xué)（A）答案解析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第Ⅰ卷

一、選擇題（每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.

1.已知集合，，且，則m的值為（）

A.B.或

C.或或D.或或或

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)并集的結(jié)果可得或，再根據(jù)集合的性質(zhì)求解即可.

詳解】由可得或，解得，，或.

又集合與，故，故，或.

故選：C

2.命題“”的否定是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接寫出存在量詞命題的否定即可.

【詳解】命題“”的否定是“”.

故選：D.

3.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】先對復(fù)數(shù)化簡求出復(fù)數(shù)實部和虛部，然后根據(jù)題意列不等式組求解即可

【詳解】，

因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，

所以，解得，

故選：A

4.下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①函數(shù)與是同一個函數(shù)；②若，則或；③若隨機(jī)變量，，則；④在回歸分析模型中，殘差的平方和越大，模型的擬合效果越好.

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可判斷①，根據(jù)原命題的逆否命題的真假判斷②，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可判斷③，根據(jù)回歸分析的性質(zhì)可判斷④.

【詳解】對①，函數(shù)，與不是同一個函數(shù)，故①錯誤；

對②，“若，則或”的逆否命題為“若且，則”為真命題，故原命題也為真命題，故②正確；

對③，隨機(jī)變量，則其正態(tài)分布圖象關(guān)于對稱，，故③錯誤；

對④，在回歸分析模型中，殘差的平方和越小，模型的擬合效果越好，故④錯誤.

故選：B

5.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）

A.0B.1C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，

經(jīng)驗證，，故.

故選：B.

6.已知函數(shù)，且，則實數(shù)的值等于（）

A.B.C.2D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用抽象函數(shù)定義域求法求解即可；

【詳解】令，解得或由此解得，

故選：D

7.已知命題“，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“，”為真命題，即可根據(jù)最值求解.

【詳解】由于命題“，”為假命題，所以命題“，”為真命題，

故即可，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，故當(dāng)，

因此，

故選：C

8.設(shè)，則“”是“”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求出不等式的解集，根據(jù)為的真子集，得到答案.

【詳解】解不等式得，

不等式化為，所以，

因為為的真子集，

所以“”是“”的必要不充分條件.

故選：B

9.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先真數(shù)需要大于零，設(shè)，考查其單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間滿足的“同增異減”原則即可判定.

【詳解】令，得或

設(shè)，則在上為減函數(shù)，

又在上為增函數(shù)；

可得的單調(diào)減區(qū)間為，

故選：

10.偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知條件可得函數(shù)的周期為4，再利用周期和偶函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】因為滿足，所以，

所以是以4為周期的周期函數(shù)，

因為為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，

所以，

故選：A

11.如圖，是邊長為2的等邊三角形，點E由點A沿線段AB向點B移動，過點E作AB的垂線l，設(shè)，記位于直線l左側(cè)的圖形的面積為y，那么y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立關(guān)于的關(guān)系式，分為點在中點左側(cè)和右側(cè)分類討論，結(jié)合函數(shù)圖象變化情況即可求解．

詳解】因為是邊長為2的等邊三角形，

所以當(dāng)時，設(shè)直線與交點為，

當(dāng)點在中點左側(cè)時，，，

此時函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)；此時可排除BC，

當(dāng)點在中點右側(cè)時，，

此時左側(cè)部分面積為：，

此時函數(shù)為開口向下d額二次函數(shù)，此時可排除A，

故選：D

故選：D．

12.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，若，且，都有，則不等式的解集為（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意可判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而分兩種情況即可求解.

【詳解】由，且，都有可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，

記，則所以為偶函數(shù)，

因此在單調(diào)遞增，且，

不等式等價于和，

故或，解得或，

故不等式的解為，

故選：C

第Ⅱ卷

二、填空題（每小題5分，共20分，請把正確答案填在答題卡中的橫線上）.

13.函數(shù)的定義域為______.

【答案】

【解析】

【分析】由即可求出.

【詳解】由，解得且，

所以的定義域為.

故答案為：.

14.設(shè)命題函數(shù)是增函數(shù)；命題方程表示橢圓.若是真命題，則實數(shù)的取值范圍是_________.

【答案】

【解析】

【分析】首先求出命題、命題為真時參數(shù)的取值范圍，再取交集即可.

【詳解】若命題函數(shù)是增函數(shù)為真命題，則，解得，

若命題方程表示橢圓為真命題，則，解得或，

因為是真命題，所以為真命題且為真命題，

所以或，即實數(shù)的取值范圍是.

故答案為：

15.已知在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，求得的范圍，即得所求．

【詳解】若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，

則，解得，

即，

故答案為：．

16.函數(shù)的定義域為R，其圖像是一條連續(xù)的曲線，在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法中，正確說法的序號是__________.

①既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

②的最小正周期為4；

③在上單調(diào)遞減；

④是的一個最大值；

⑤.

【答案】②③⑤

【解析】

【分析】由為偶函數(shù)，可得的圖象關(guān)于直線對稱，由為奇函數(shù)，可得，再結(jié)合前面的可得，，從而可得為奇函數(shù)，周期為4，然后逐個分析判斷.

【詳解】對于①②，因為為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以，

因為為奇函數(shù)，所以，所以，

所以，所以，，

所以為奇函數(shù)，周期為4，所以①錯誤，②正確，

對于③，因為為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以在上遞增，

因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以在上遞減，

因為的周期為4，所以在上單調(diào)遞減，所以③正確，

對于④，因為的定義域為R，且為奇函數(shù)，所以，

因為在上遞增，在上遞減，的周期為4，所以在上遞增，，所以在上的最大值為，

因為，所以不是的一個最大值，所以④錯誤，

對于⑤，因為，所以當(dāng)時，得，當(dāng)時，得，所以，

因為的周期為4，所以，所以⑤正確，

故答案為：②③⑤

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、對稱性和周期性的綜合問題，解題的關(guān)鍵是由已知條件得到為奇函數(shù)，周期為4，再根據(jù)對稱性研究一個周期上函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力，屬于較難題.

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.

17.在數(shù)列中，，，設(shè).

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的前n項和.

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明；

（2）由（1）得到，再利用分組求和求解

【小問1詳解】

證明：因為，，

所以數(shù)列是等比數(shù)列；

小問2詳解】

由，

，

，

所以

，

，

.

18.如圖所示，在三棱錐C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中點，.

（1）證明：平面CBD⊥平面ABD；

（2）求直線BC與平面ACD所成角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）取BD的中點O，連接OC，OE，令，則，，，OC⊥BD，然后由勾股定理逆定理可得OC⊥OE，再由線面垂直的判定可得OC⊥平面ABD，最后由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

（2）分別以O(shè)E、OD、OC所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【小問1詳解】

證明：取BD的中點O，連接OC，OE，

令，因為AB⊥BD，，所以，

因為E是AD的中點，所以，

因為BC⊥CD，，所以，OC⊥BD，

因為，所以O(shè)C⊥OE，

因為平面ABD，，

所以O(shè)C⊥平面ABD，

因為平面CBD，所以平面CBD⊥平面ABD

【小問2詳解】

分別以O(shè)E、OD、OC所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

，

所以，

設(shè)平面ACD的法向量為，則，

，令，則，

設(shè)直線BC與平面ACD所成角為，則

，

所直線BC與平面ACD所成角的正弦值為.

19.某市閱讀研究小組為了解該市中學(xué)生閱讀時間與語文成績的關(guān)系，在參加全市中學(xué)生語文綜合能力競賽的各校學(xué)生中隨機(jī)抽取了500人進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理成如下列聯(lián)表.已知樣本中語文成績不低于75分的人數(shù)占樣本總數(shù)的30%.

周平均閱讀時間語文成績少于10小時不少于10小時合計

低于75分

不低于75分100

合計250

（1）完成列聯(lián)表，并判斷有多大的把握認(rèn)為語文成績與閱讀時間有關(guān)？

（2）先從成績不低于75分的樣本中按不同閱讀時間的人數(shù)比例，用分層抽樣的方法抽取9人進(jìn)一步做問卷調(diào)查，然后再從這9人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記這3人中周平均閱讀時間不少于10小時的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：，

0.0250.0100.001

5.0246.63510.828

【答案】（1）表格見解析，有99.9%的把握認(rèn)為語文成績與閱讀時間有關(guān)

（2）分布列見解析，2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意先求出樣本中語文成績不低于75分的人數(shù)，然后結(jié)合表中的數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表，再利用公式可求出，然后根據(jù)臨界值表進(jìn)行判斷，

（2）由題意可知，求出相應(yīng)的概率，從而可求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【小問1詳解】

由題意得樣本中語文成績不低于75分的人數(shù)為人，

則列聯(lián)表如下：

周平均閱讀時間語文成績少于10小時不少于10小時合計

低于75分200150350

不低于75分50100150

合計250250500

所以，

所以有99.9%的把握認(rèn)為語文成績與閱讀時間有關(guān)

【小問2詳解】

在成績不低于75分的樣本中，抽取周閱讀時間少于10小時的3人，抽取周閱讀時間少于10小時的6人，故，

，，

，

所以X的分布列為

X0123

P

所以．

20.已知橢圓C：的離心率是，點在C上．

（1）求C的方程；

（2）直線l:交C于P，Q兩點（不同于點A），直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，線段MN的中點為，證明：直線l過定點，并求出定點坐標(biāo)．

【答案】（1）

（2）證明見解析，定點.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率和過點即可求出即可求出橢圓方程；

（2）先設(shè)直線根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)，可求關(guān)系即可得出定點.

【小問1詳解】

由題意得：，，

橢圓C的方程為

【小問2詳解】

由題意得：

設(shè)，

由得：，

，

直線AP：

當(dāng)時，，即M的坐標(biāo)為

同理可得：N的坐標(biāo)為

，即：

直線l過定點.

21.已知函數(shù)．

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．

【答案】（1）在上的單調(diào)遞增

（2）

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)得，分，分別確定導(dǎo)數(shù)的符號，從而得函數(shù)單調(diào)性；

（2）方法一：轉(zhuǎn)化不等式，構(gòu)造函數(shù)令，，求導(dǎo)，對函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性討論，即可求得函數(shù)最值，從而得a的取值范圍；方法二：令，，，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)凸凹性應(yīng)用，求導(dǎo)結(jié)合圖象分析即可求得a的取值范圍.

【小問1詳解】

當(dāng)時，，，

當(dāng)時，，，

即：在上恒成立

所以在上的單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

方法一：

由得：

當(dāng)時，恒成立，符合題意

令，

由（1）得：在上的單調(diào)遞增，

①當(dāng)時，

所以在上的單調(diào)遞增

所以，符合題意

②當(dāng)時，，

∴存在，使得

當(dāng)時，；

所以在上的單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，這不符合題意

綜上，a的取值范圍是.

方法二：

令，，

則，符合題意

，

由（1）得：在上恒成立，在上單調(diào)遞增

所以，

所以在上單調(diào)遞增，其圖象是下凸的，如圖：

所以