《頻率與概率》課件

背景連接飛鏢的命中點(diǎn)、搖獎(jiǎng)機(jī)搖出的號(hào)碼都是隨機(jī)的。概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等諸多領(lǐng)域。例如，天氣預(yù)報(bào)、臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)等都離不開(kāi)概率。背景連接1在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽(yáng)從東邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“同種電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實(shí)例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象一、隨機(jī)現(xiàn)象

在一定條件下必然發(fā)生“太陽(yáng)從東邊升起”,1.確定性2在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象“函數(shù)在間斷點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)”等.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.確定性現(xiàn)象的特征

條件完全決定結(jié)果在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例13結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實(shí)例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.實(shí)例2

“用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈落點(diǎn)可能會(huì)不同”.結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,實(shí)例34實(shí)例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例5“一只燈泡的壽命”可長(zhǎng)可短.隨機(jī)現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果實(shí)例4“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品5二、事件與基本事件空間隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，有的結(jié)果始終不發(fā)生，則稱為不可能事件；有的結(jié)果在每次試驗(yàn)中一定發(fā)生，則稱為必然事件；在試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的結(jié)果稱為隨機(jī)事件。

要了解隨機(jī)現(xiàn)象，最直接的方法就是試驗(yàn)。二、事件與基本事件空間隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，有的結(jié)果始終不發(fā)生6

隨機(jī)事件通常用大寫英文字母A、B、C、…來(lái)表示，隨機(jī)事件可以簡(jiǎn)稱為事件，有時(shí)講到事件也包括不可能事件和必然事件。隨機(jī)事件通常用大寫英文字母A、B、C、…來(lái)表示，隨機(jī)7例1.指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：（1）某體操運(yùn)動(dòng)員將在某次運(yùn)動(dòng)會(huì)上獲得全能冠軍；（2）同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射多發(fā)炮彈，其中50%的炮彈擊中目標(biāo)；（3）某人給朋友打電話，卻忘記了朋友電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字，就隨意地在鍵盤上按了一個(gè)數(shù)字，恰巧是朋友的電話號(hào)碼；（4）技術(shù)非常發(fā)達(dá)后，不需要任何能量的“永動(dòng)機(jī)”將會(huì)出現(xiàn)。例1.指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：8基本事件空間基本事件：在試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，其他事件可以用它們來(lái)表示，這樣的事件稱為基本事件。基本事件空間：所有基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間。基本事件空間常用大寫希臘字母Ω表示。基本事件空間基本事件：在試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，9例如，擲一枚硬幣，觀察落地后哪一面向上，這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間就是集合{正面向上，反面向上}。即Ω={正面向上，反面向上}.或簡(jiǎn)記為Ω={正，反}.擲一顆骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，這個(gè)事件的基本事件空間是Ω={1，2，3，4，5，6}.例如，擲一枚硬幣，觀察落地后哪一面向上，這個(gè)試驗(yàn)的基10一先一后擲兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，則基本事件空間Ω={(正,正)，(正,反)，(反,正)，(反,反)}.對(duì)于有些問(wèn)題，除了要知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果外，我們還要了解與這些可能出現(xiàn)的結(jié)果有關(guān)的一些事件。例如在一先一后擲兩枚硬幣的試驗(yàn)中，我們要了解“至少有一次出現(xiàn)正面”這個(gè)事件。若設(shè)A=“至少有一次出現(xiàn)正面”.則A={(正,正)，(正,反)，(反,正)}.一先一后擲兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，則基本事件11基本事件可以理解為基本事件空間中不能再分的最小元素，而一個(gè)事件可以由若干個(gè)基本事件組成，即隨機(jī)事件可以理解為基本事件空間的子集。例如擲骰子是一個(gè)試驗(yàn)，在這個(gè)試驗(yàn)中出現(xiàn)“偶數(shù)點(diǎn)向上”的結(jié)果就是一個(gè)事件A，但事件A不是基本事件，它是由三個(gè)基本事件構(gòu)成的，這三個(gè)基本事件是“2點(diǎn)向上”、“4點(diǎn)向上”和“6點(diǎn)向上”?；臼录梢岳斫鉃榛臼录臻g中不能再分的最小元素，12例2.一個(gè)盒子中裝有10個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)以號(hào)碼1，2，…，10，從中任取一球，觀察球的號(hào)碼，寫出這個(gè)試驗(yàn)的基本事件與基本事件空間。解：這個(gè)試驗(yàn)的基本事件是取出的小球號(hào)碼為i(i=1，2，…，10)，基本事件空間Ω={1，2，…，10}。例2.一個(gè)盒子中裝有10個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)以號(hào)碼1，213例3.連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面，（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間；（2）求這個(gè)試驗(yàn)基本事件的總數(shù)；（3）“恰有兩枚正面向上”這一事件包含哪幾個(gè)基本事件。例3.連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面14解：（1）Ω={(正,正,正)，(正,正,反)，(正,反,正)，(正,反,反)，(反,正,正)，(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；（2）基本事件總數(shù)是8；（3）“恰有兩枚正面向上”包含3個(gè)基本事件：(正,正,反)，(正,反,正)，(反,正,正).解：（1）Ω={(正,正,正)，(正,正,反)，(正,反,151、每人投20次，計(jì)算每個(gè)人投出正面的頻率，2、每個(gè)人投50次，計(jì)算每個(gè)人投出正面的頻率投擲硬幣的試驗(yàn)：利用計(jì)算機(jī)拋硬幣三、頻率與概率1、每人投20次，計(jì)算每個(gè)人投出正面的頻率，2、每個(gè)人投5016歷史上有些學(xué)者做過(guò)成千上萬(wàn)次的投擲硬幣的試驗(yàn)。結(jié)果如下表：歷史上有些學(xué)者做過(guò)成千上萬(wàn)次的投擲硬幣的試驗(yàn)。結(jié)果如17實(shí)驗(yàn)者試驗(yàn)次數(shù)(n)出現(xiàn)正面的次數(shù)(m)出現(xiàn)正面的頻率(m/n)棣莫佛204810610.5181蒲豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005拋硬幣試驗(yàn)實(shí)驗(yàn)者試驗(yàn)次數(shù)(n)出現(xiàn)正面的次數(shù)(m)出現(xiàn)正面的頻率(m/18我們可以設(shè)想有1000人投擲硬幣，如果每人投5次，計(jì)算每個(gè)人投出正面的頻率，在這1000個(gè)頻率中，一般說(shuō)，0，0.2，0.4，0.6，0.8，1都會(huì)有。如果要求每個(gè)人投20次，這時(shí)頻率為0，0.05，0.95，1的將會(huì)變少；多數(shù)頻率在0.35~0.65之間，甚至于比較集中在0.4~0.6之間；我們可以設(shè)想有1000人投擲硬幣，如果每人投5次，計(jì)19如果要求每人投擲1000次，這時(shí)絕大多數(shù)頻率會(huì)集中在0.5附近，和0.5有較大差距的頻率值也會(huì)有，但這樣的頻率值很少。而且隨著投擲次數(shù)的增多，頻率越來(lái)越明顯地集中在0.5附近。當(dāng)然，即使投擲的次數(shù)再多，也不能絕對(duì)排除出現(xiàn)與0.5差距較大的頻率值，只不過(guò)這種情形極少。如果要求每人投擲1000次，這時(shí)絕大多數(shù)頻率會(huì)集中在20人們經(jīng)過(guò)大量試驗(yàn)和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的積累逐漸認(rèn)識(shí)到：在多次重復(fù)試驗(yàn)中，同一事件發(fā)生的頻率在某一數(shù)值附近擺動(dòng)，而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一般擺動(dòng)幅度越小，而且觀察到的大偏差也越少，頻率呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性，頻率的穩(wěn)定性揭示出隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有一定的大小。人們經(jīng)過(guò)大量試驗(yàn)和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的積累逐漸認(rèn)識(shí)到：在多次重21事件的頻率穩(wěn)定在某一數(shù)值附近，我們就用這一數(shù)值表示事件發(fā)生的可能性大小。事件的頻率穩(wěn)定在某一數(shù)值附近，我們就用這一數(shù)值表示事件發(fā)生的22事件的概率：一般地，在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率，當(dāng)n很大時(shí)，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，隨著n的增加，擺動(dòng)幅度越來(lái)越小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記為P(A).由定義可得概率P(A)滿足：事件的概率：一般地，在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事23必然事件與不可能事件可看作隨機(jī)事件的兩種特殊情況.注意點(diǎn)：1.隨機(jī)事件A的概率范圍因此，隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足：0≤P(A)≤1必然事件與不可能事件可看作隨機(jī)事件的兩種特殊情況.注意點(diǎn)：1242.頻率與概率的關(guān)系(1)聯(lián)系:隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率會(huì)在概率的附近擺動(dòng),并趨于穩(wěn)定.在實(shí)際問(wèn)題中,若事件的概率未知,常用頻率作為它的估計(jì)值.(2)區(qū)別:頻率本身是隨機(jī)的,在試驗(yàn)前不能確定,做同樣次數(shù)或不同次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到的事件的頻率都可能不同.而概率是一個(gè)確定數(shù),是客觀存在的,與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān).2.頻率與概率的關(guān)系(1)聯(lián)系:隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻25例1.為了確定某類種子的發(fā)芽率，從一大批種子中抽出若干批作發(fā)芽試驗(yàn)，其結(jié)果如下：種子粒數(shù)257013070020003000發(fā)芽粒數(shù)246011663918062713發(fā)芽率0.960.8570.8920.9130.9030.904從以上的數(shù)據(jù)可以看出，這類種子的發(fā)芽率約為0.9.例1.為了確定某類種子的發(fā)芽率，從一大批種子中抽出若干批作26思考與討論：1、如果某種彩票的中獎(jiǎng)概率為，那么買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)嗎？（假設(shè)該彩票有足夠多的張數(shù)。）不一定，而有的人認(rèn)為一定中獎(jiǎng)，那么他的理由是什么呢？思考與討論：1、如果某種彩票的中獎(jiǎng)概率為，那么買1027

這個(gè)錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因是，有人把中獎(jiǎng)概率理解為共有1000張彩票，其中有１張是中獎(jiǎng)號(hào)碼，然后看成不放回抽樣，所以購(gòu)買1000張彩票，當(dāng)然一定能中獎(jiǎng)。而實(shí)際上彩票的總張數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1000。這個(gè)錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因是，有人把中獎(jiǎng)概率理解為共有100282、某地氣象局預(yù)報(bào)說(shuō)，明天本地降水概率為70%。你認(rèn)為下面兩個(gè)解釋中哪一個(gè)能代表氣象局的觀點(diǎn)？（1）明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨；（2）明天本地下雨的機(jī)會(huì)是70%。2、某地氣象局預(yù)報(bào)說(shuō)，明天本地降水概率為70%。你認(rèn)為下面兩29例如，如果天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天降水的概率為90%”呢？降水概率的大小只能說(shuō)明降水可能性的大小，概率值越大只能表示在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性越大。在一次試驗(yàn)中“降水”這個(gè)事件是否發(fā)生仍然是隨機(jī)的。盡管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是隨機(jī)事件，因此仍然有可能不下雨。例如，如果天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天降水的概率為90%”呢？降水概率301、拋擲100枚質(zhì)地均勻的硬幣，有下列一些說(shuō)法:①全部出現(xiàn)正面向上是不可能事件；②至少有1枚出現(xiàn)正面向上是必然事件；③出現(xiàn)50枚正面向上50枚正面向下是隨機(jī)事件，以上說(shuō)法中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)2、下列說(shuō)法正確的是()A.任何事件的概率總是在（0，1）之間B.頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)非常接近概率D.概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定BC鞏固練習(xí)1、拋擲100枚質(zhì)地均勻的硬幣，有下列一些說(shuō)法:2、下列說(shuō)法313、某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí),結(jié)果如下表:投籃次數(shù)8101520304050進(jìn)球次數(shù)681217253239進(jìn)球頻率計(jì)算表中進(jìn)球的頻率;這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次,進(jìn)球的概率約是多少?(3)這位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率是0.8,那么他投10次籃一定能投中8次嗎?不一定.投10次籃相當(dāng)于做10次試驗(yàn),每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的,所以投10次籃的結(jié)果也是隨機(jī)的.概率約是0.80.780.750.800.800.85

0.830.80做課本P97A1、2、33、某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí),結(jié)果如下表:投籃次321.概率是頻率的穩(wěn)定值，根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率只能得到概率的估計(jì)值.2.隨機(jī)事件A在每次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不能預(yù)知的，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)后，