【壓軸必考】2023學年九年級數學上冊壓軸題攻略（人教版） 幾何旋轉綜合問題（解析版）

幾何旋轉綜合問題類型一、三角形中的旋轉問題例．如圖，已知等邊中，點D、E、F分別為邊、、的中點，M為直線上一動點，為等邊三角形（點M的位置改變時，也隨之整體移動）．（1）如圖1，當點M在點B左側時，請你連結，并判斷與有怎樣的數量關系？點F是否在直線上？請寫出結論，并說明理由；（2）如圖2，當點M在上時，其它條件不變，（1）的結論中與的數量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若點M在點C右側時，請你判斷（1）的結論中與的數量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論：若不成立，請說明理由．【答案】（1）相等，在，理由見解析；（2）成立，證明見解析；（3）成立．【詳解】解：（1）EN=MF，點F在直線NE上，理由如下：如圖1，連接DE、DF、EF，NF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，，又∵點D、E、F分別為邊、、的中點，∴DE、DF、EF為等邊△ABC的中位線，，∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE=60°∵D、F分別是AB、BC的中點，∴，∴△DBF是等邊三角形，∴∠BDF=60°，∵△DMN是等邊三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，∴∠MDN-∠BDN=∠BDF-∠BDN，即∠MDB=∠NDF，在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN，∵∠ABC=60°，∴∠DBM=120°，∴∠NFD=120°，∴∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°，∴N、F、E三點共線，∴F在直線NE上；∵△DMN是等邊三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠FDE+∠NDF=∠MDN+∠NDF，∴∠MDF=∠NDE，在△DMF和△DNE中，∵DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，∴△DMF≌△DNE，∴MF=NE，（2）成立，理由如下：如圖2，連接DF，NF，EF，∵△ABC是等邊三角形且D、F分別是AB、BC的中點，∴，，∴△DBF是等邊三角形，∴∠BDF=∠DBF=60°，∵△DMN是等邊三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，∴∠MDN-∠FDM=∠BDF-∠FDM，即∠MDB=∠NDF，在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN=60°，BM=FN，∴∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E，F(xiàn)分別為邊AC，BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，，∴EF∥BD，，∴F在直線NE上，BF=EF，∴MF=EN；（3）MF與EN相等的結論仍然成立，理由如下：如圖3，連接DF、DE，EF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，又∵點D、E、F分別為邊、、的中點，∴DE、DF、EF為等邊△ABC的中位線，，∴DE=DF=EF，∴△DEF是等邊三角形，∴∠FDE=60°，∵△DMN是等邊三角形，∴∠MDN=∠FDE=60°，DM=DN，∴∠EDM+∠NDE=∠EDM+∠FDM，∴∠NDE=∠FDM，在△DNE和△DMF中，∵DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，△DNE≌△DMF，∴MF=NE．【變式訓練1】如圖1，在等腰直角三角形中，．點，分別為，的中點，為線段上一動點（不與點，重合），將線段繞點逆時針方向旋轉得到，連接，．（1）證明：；（2）如圖2，連接，，交于點．①證明：在點的運動過程中，總有；②若，當的長度為多少時，為等腰三角形？【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②當的長度為2或時，為等腰三角形【詳解】解：（1）∵線段繞點A逆時針方向旋轉得到，∴AH=AG，∠HAG=90°，∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，∴；（2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，點，分別為，的中點，∴AE=AF，是等腰直角三角形，∵AH=AG，∠BAH=∠CAG，∴，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；②∵，點，分別為，的中點，∴AE=AF=2，∵∠AGH=45°，為等腰三角形，分3種情況：（a）當∠QAG=∠QGA=45°時，如圖，則∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，∴點H是EF的中點，∴EH=；（b）當∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°時，如圖，則∠EAH=∠GAQ=67.5°，∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；（c）當∠AQG=∠AGQ=45°時，點H與點F重合，不符合題意，舍去，綜上所述：當的長度為2或時，為等腰三角形．【變式訓練2】如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，將△DEC繞點C旋轉．（1）當△DEC統(tǒng)點C旋轉到點D恰好落在AB邊上時，如圖2．①當∠B=∠E=30°時，此時旋轉角的大小為；②當∠B=∠E=α時，此時旋轉角的大小為(用含a的式子表示)．（2）當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小楊同學猜想：△BDC的面積與△AEC的面積相等，試判斷小楊同學的猜想是否正確，若正確，請你證明小楊同學的猜想．若不正確，請說明理由．【答案】（1）①60°；②2α；（2）小楊同學猜想是正確的．證明見解析．【詳解】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，∴旋轉角為60°．故答案為：60°．②如圖2中，作CH⊥AD于H．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋轉角為2α．故答案為：2α．（2）小楊同學猜想是正確的．證明如下：過B作BN⊥CD于N，過E作EM⊥AC于M，如圖3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC?CD?BN，S△ACE?AC?EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．【變式訓練3】如圖1，已知∠DAC=90°，△ABC是等邊三角形，點P為射線AD上任意一點（點P與點A不重合），連結CP，將線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，連結QB并延長交直線AD于點E．（1）如圖1，猜想∠QEP=°；（2）如圖2，3，若當∠DAC是銳角或鈍角時，其它條件不變，猜想∠QEP的度數，選取一種情況加以證明；（3）如圖3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的長．【答案】（1）∠QEP=60°；（2）∠QEP=60°，證明詳見解析；（3）【詳解】解：(1)∠QEP=60°；證明：連接PQ，如圖1，由題意得：PC=CQ，且∠PCQ=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠PCA=∠QCB，則在△CPA和△CQB中，，∴△CQB≌△CPA(SAS)，∴∠CQB=∠CPA，又因為△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，∴∠QEP=∠QCP=60°.故答案為60；(2)∠QEP=60°.以∠DAC是銳角為例.證明：如圖2，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，即∠ACP=∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ(SAS)，∴∠APC=∠Q，∵∠1=∠2，∴∠QEP=∠PCQ=60°；

(3)連結CQ，作CH⊥AD于H，如圖3，與(2)一樣可證明△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，∴∠APC=30°，∠CAH=45°，∴△ACH為等腰直角三角形，∴AH=CH=AC=×4=，在Rt△PHC中，PH=CH=，∴PA=PH?AH=－，∴BQ=?.【變式訓練4】兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F(xiàn)是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點．（1）如圖1，若點D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想FH和FG的數量關系為______和位置關系為______；（2）如圖2，若將三角板△DEC繞著點C順時針旋轉至ACE在一條直線上時，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請證明，不成立請說明理由；（3）如圖3，將圖1中的△DEC繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖3，（1）中的猜想還成立嗎？直接寫出結論，不用證明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，證明見解析；（3）成立，結論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG．【詳解】解：（1）∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點，∴FH=AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=BE，F(xiàn)G∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案為相等，垂直．（2）答：成立，證明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，由（1）知：FH=AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=BE，F(xiàn)G∥BE，∴FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，∴（1）中的猜想還成立．（3）答：成立，結論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG．連接AD，BE，兩線交于Z，AD交BC于X，同（1）可證，∴FH=AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=BE，F(xiàn)G∥BE，∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD⊥BE，∵FH∥AD，F(xiàn)G∥BE，∴FH⊥FG，即FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，結論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG.【變式訓練5】在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點C逆時針旋轉得到線段CD，旋轉角為，且，連接AD、BD．（1）如圖1，當∠BAC=100°，時，∠CBD的大小為_________；（2）如圖2，當∠BAC=100°，時，求∠CBD的大?。唬?）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD的大小與（2）中的結果相同，請直接寫出的大?。敬鸢浮浚?）30°；（2）30°；（3）為或或．【詳解】解：（1）解（1）∵，，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴．又∵，∴為等腰三角形，，∴．（2）方法1：如圖作等邊，連接、．，．，，．，．．①，，．②，③；由①②③，得，，．，，．，，．．．④，，．⑤，⑥；由④⑤⑥，得．．．．．方法2如下圖所示，構造等邊三角形ADE，連接CE．∵在等腰三角形ACD中，，∴，∵，∴．可證．結合角度，可得，．在和中，，∴，∴．∵，∴．方法3如下圖所示，平移CD至AE，連接ED，EB，則四邊形ACDE是平行四邊形．∵，∴四邊形ACDE是菱形，∴，．∴，∴，∴是等邊三角形，是等腰三角形，∴，，∴．∴．（3）由（1）知道，若，時，則；①由（1）可知，設時可得，，，．②由（2）可知，翻折到△，則此時，，，③以為圓心為半徑畫圓弧交的延長線于點，連接，，，．綜上所述，為或或時，．類型二、四邊形中的旋轉問題例．如圖1，在ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關系為，線段CF、BD的數量關系為．②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立？并說明理由；（2）如圖4，如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明理由．【答案】（1）①垂直，相等；②成立，理由見解析；（2）45°，理由見解析【詳解】解：（1）①CF與BD位置關系是垂直，數量關系是相等，理由是：如圖2，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，且∠B＝∠ACB＝45°，∴∠CAF＝∠BAD，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF，∠B＝∠ACF＝45°，∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即∠BCF＝90°，∴BC⊥CF，即BD⊥CF；故答案為：垂直，相等；②當點D在BC的延長線上時，①的結論仍成立，理由是：如圖3，由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝∠ABC＝45°∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；（2）當∠BCA＝45°時，CF⊥BD，理由是：如圖4，過點A作AQ⊥AC，交BC于點Q，∵∠BCA＝45°，∴∠AQC＝45°，∴∠AQC＝∠BCA，∴AC＝AQ，∵AD＝AF，∠QAC＝∠DAF＝90°，∴∠QAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，∴∠QAD＝∠CAF，∴△QAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AQD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．【變式訓練1】在正方形的邊上任取一點，作交于點，取的中點，連接、，如圖，易證

且．將繞點逆時針旋轉，如圖，則線段和有怎樣的數量關系和位置關系？請直接寫出你的猜想．將繞點逆時針旋轉，如圖，則線段和又有怎樣的數量關系和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明．【答案】，；，．

【詳解】解：，．，．證明：延長交延長線于，連．∵，，，∴四邊形是矩形．∴，，由圖可知，∵平分，，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，∴，．∴．∵，，∴．∵，，∴．∵，∴，又∵，，∴．∵在與中，，∴．∴，．

∵，，，∴，∴，∴，即，∴．【變式訓練2】如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點.分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．(1)求證：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉角(0°<<360°)得到正方形，如圖2．①在旋轉過程中，當∠是直角時，求的度數；(注明：當直角邊為斜邊一半時，這條直角邊所對的銳角為30度)②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉過程中，求長的最大值和此時的度數，直接寫出結果不必說明理由．【答案】（1）DE⊥AG（2）①當∠為直角時，α=30°或150°.②315°【詳解】如圖1，延長ED交AG于點H，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，，，在和中，，≌，，，，，即；在旋轉過程中，成為直角有兩種情況：Ⅰ由增大到過程中，當時，，在中，sin∠AGO=，，，，，即；Ⅱ由增大到過程中，當時，同理可求，．綜上所述，當時，或．如圖3，當旋轉到A、O、在一條直線上時，的長最大，正方形ABCD的邊長為1，，，，，，，此時．【變式訓練3】在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°（1）將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得到△ABG（如圖1），求證：BE+DF=EF；（2）若直線EF與AB、AD的延長線分別交于點M、N（如圖2），求證：（3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，其余條件不變（如圖3），直接寫出線段EF、BE、DF之間的數量關系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）=2．【詳解】（1）證明：∵△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE與△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）證明：設正方形ABCD的邊長為a．將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG，連結GM．則△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a-BE=a-DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）解：EF2=2BE2+2DF2．如圖所示，延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△AGH，連結HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，則由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM-GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE-GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2【變式訓練4】在?ABCD中，∠B