【壓軸必考】2023學年九年級數學上冊壓軸題攻略（人教版）二次函數的三種實際應用問題（解析版）

二次函數的三種實際應用問題類型一、圖形運動問題例1．如圖，矩形中，，，動點和同時從點出發(fā)，點以每秒的速度沿的方向運動，到達點時停止，點以每秒的速度沿的方向運動，到達點時停止．設點運動（秒）時，的面積為，則關于的函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：點E從點A運動到點D，用時2s，點F從點A到點B，用時2s，從點B運動到點C，用時1s，從點C運動到點D，用時2s，∴y與x的函數圖象分三段：①當0≤x≤2時，AE＝2x，AF＝4x，∴y＝?2x?4x＝4x2，這一段函數圖象為拋物線，且開口向上，由此可排除選項A和選項D；②當2＜x≤3時，點F在線段BC上，AE＝4，此時y＝×4×8＝16，③當3＜x≤5時，y＝×4×（4＋8＋4?4x）＝32?8x，由此可排除選項C．故選：B．【變式訓練1】如圖，矩形中，，動點P沿著的路徑勻速運動，過點P作，垂足為Q，設點P的運動路程為x，以B，C，P，Q為頂點的四邊形的面積為y，則y與x的大致函數圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：∵由勾股定理得，分類討論如下：（1）如圖1，當點P在上移動時（四點圍圖為梯形），∴，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）如圖2，當點P在上移動時（四點圍圖為矩形），∵點P的運動路程為x，∴PC=x-5，∵，∴；故依據函數解析式得圖象如圖3，故選：A．【變式訓練2】如果△ABC和△DEF都是邊長為2的等邊三角形，他們的邊BC，EF在同一條直線l上，點C，E重合，現將△ABC沿著直線l向右移動，直至點B與點F重合時停止移動，在此過程中，設點B移動的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，則y隨x變化的函數圖像大致為(

)

A．B．C． D．【答案】A【詳解】解：如圖1所示：當0＜x≤2時，過點G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均為等邊三角形，∴△GEJ為等邊三角形．∴GE＝EJ＝GJ＝x，∠GEJ＝60°，∴GH＝CGsin60°＝EJ＝x，∴y＝EJ?GH＝x2，當x＝2時，y＝，且拋物線的開口向上．如圖2所示：2＜x≤4時，過點G作GH⊥BF于H．y＝FJ?GH＝（4﹣x）2，函數圖象為拋物線的一部分，且拋物線開口向上．故選：A．類型二、拱橋問題例1．2022年2月，在北京冬奧會跳臺滑雪中，中國選手谷愛凌、蘇翊鳴奪金，激起了人們對跳臺滑雪運動的極大熱情．某跳臺滑雪訓練場的橫截面如圖所示，以某一位置的水平線為軸，過跳臺終點作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標系．圖中的拋物線近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點正上方4米處的點滑出，滑出后沿拋物線運動．當運動員從點滑出運動到離處的水平距離為4米時，距離水平線的高度恰好為8米．(1)求拋物線的解析式（不要求寫自變量的取值范圍）；(2)運動員從點滑出后，當運動員距離點的水平距離為多少米時，運動員達到最大高度，此時，距離水平線的高度是多少米？(3)運動員從點滑出后，當運動員距離點的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離達到最大值，最大值是多少米？【答案】(1)；(2)當運動員距離的水平距離為米時，運動員達到最大高度，高度為米；(3)當運動員距離的水平距離為米時，運動員與小山坡的豎直距離達到最大值，最大值為米．【解析】(1)解：拋物線經過點，，，解得．拋物線的解析式為：．(2)解：，當運動員距離的水平距離為米時，運動員達到最大高度，最大高度為米．(3)解：設運動員與小山坡的豎直距離為，則，當時，取得最大值，最大值為．當運動員距離的水平距離為米時，運動員與小山坡的豎直距離達到最大值，最大值為米．【變式訓練1】鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預測球的軌跡，如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統(tǒng)預測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點O，守門員位于點A，OA的延長線與球門線交于點B，且點A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．已知OB=28m，AB=8m，足球飛行的水平速度為15m/s，水平距離s（水平距離=水平速度×時間）與離地高度h的鷹眼數據如下表：s/m…912151821…h(huán)/m…4.24.854.84.2…(1)根據表中數據預測足球落地時，s=m；(2)求h關于s的函數解析式；(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應，當守門員位于足球正下方時，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員面對足球后退過程中速度為2.5m/s，最大防守高度為2.5m；背對足球向球門前進過程中最大防守高度為1.8m．①若守門員選擇面對足球后退，能否成功防守？試計算加以說明；②若守門員背對足球向球門前進并成功防守，求此過程守門員的最小速度．【答案】(1)30；(2)；(3)①守門員不能成功防守；說明見解析；②守門員的最小速度為m/s【解析】(1)解：由函數圖象信息可得：頂點坐標為：所以預測足球落地時，故答案為：30(2)解：由數據表得拋物線頂點（15，5），故設解析式為，把（12，4.8）代入得所以解析式為．(3)解：設守門員到達足球正下方的時間為ts．①由題意得15t=20+2.5t，解得t=，即s=24m，把s=24代入解析式得，而，所以守門員不能成功防守．②當h=1.8m且守門員剛好到達足球正下方時，此時速度最?。园裩=1.8代入解析式得：解得：s=27或s=3（不合題意舍去）所以足球飛行時間，守門員跑動距離為（m），所以守門員速度為m/s．【變式訓練2】圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向出擊時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有二次函數關系．小明在一次擊球過程中測得一些數據，如下表所示．根據相關信息解答下列問題．飛行時間012飛行高度01520(1)求小球的飛行高度（單位：）關于飛行時間（單位：）的二次函數關系式；(2)小球從飛出到落地要用多少時間？(3)小球的飛行高度能否達到？如果能，請求出相應的飛行時間；如果不能，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)不能，理由見解析【解析】(1)由題意可設關于的二次函數關系式為，因為當，2時，，20，∴，解得：．∴關于的二次函數關系式為．(2)當，，解得：，．∴小球從飛出到落地所用的時間為．(3)小球的飛行高度不能達到．理由如下：當時，，方程即為，∵，∴此方程無實數根．即小球飛行的高度不能達到．【變式訓練3】如圖①是古代的一種遠程投石機，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分。據《范蠡兵法》記載：“飛石重二十斤，為機發(fā)，行三百步”，其原理蘊含了物理中的“杠桿原理”．在如圖②所示的平面直角坐標系中，將投石機置于斜坡OA的底部（原點O處），石塊從投石機豎直方向上的點C處被投出，在斜坡上的點A處建有垂直于水平面的城墻AB．已知，石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標是，，，，．(1)求拋物線的表達式；(2)通過計算說明石塊能否飛越城墻AB；(3)分別求出和時，石塊與斜坡OA在豎直方向上的最大距離．【答案】(1)；(2)石塊不能飛越防御墻AB，見解析(3)時石塊與斜坡OA在豎直方向上的最大距離為米；時石塊與斜坡OA在豎直方向上的最大距離為米【解析】(1)拋物線的頂點坐標是，，設石塊運行的函數關系式為y＝a（x﹣50）2+25，將代入，得，解得，拋物線的表達式為；(2)，把x＝75代入，得，，．，∵21＞20，∴石塊不能飛越防御墻AB．(3)解：設直線OA的解析式為y＝kx（k≠0）．，，把（75，12）代入，得12＝75k，∴k＝．故直線OA的解析式為y＝x．設直線OA上方的拋物線上的一點P的坐標為（t，）．過點P作PQ⊥x軸，交OA于點Q，則Q（t，）．∴PQ＝-＝，∴當t＝時，PQ取最大值，最大值為．在豎直方向上，石塊與斜坡OA在豎直方向上的最大距離是米．當時，是對稱軸，時，石塊與斜坡OA在豎直方向上的最大距離是米．【變式訓練4】如圖，籃球場上OF的長為25米，籃球運動員小明站在左方的點O處向右拋球，球從離地面2米的A處拋出，球的運動軌跡可看作一條拋物線，在距O點4米的B處達到最高點，最高點C距離地面4米；籃球在點D處落地后彈起，彈起后在點E處落地，且彈起后的軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，但高度減少為原來最大高度的一半．以點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．(1)求拋物線ACD的函數表達式；(2)求籃球第二次落地點E與點O之間的距離；(3)若運動員小易在點E處拿球前進到點G處起跳投籃，起跳后籃球在距離地面3米的地方出手，球出手后的運動軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，高度相等，并且恰好投入離地面3米的籃筐中，求EG的長？【答案】(1)；(2)17.7米；(3)1.7米【解析】(1)解：設籃球開始飛出到第一次落地時拋物線的表達式為，∵，，∴，由已知：當時，，即，∴，∴拋物線的函數表達式為；(2)解：令，則，解得：，（舍去），∴籃球第一次落地距O點約9.7米；如圖，第二次籃球彈出后的距離為DE，根據題意：，相當于將拋物線ACND向下平移了2個單位，∴，解得：，，∴，∴（米），∴籃球第二次落地點E距O點的距離約為17.7米；(3)解：∵運動員小易在點E處拿球前進到點G處起跳投籃，起跳后籃球在距離地面3米的地方出手，即此時，∴，解得，（舍去），∴米．類型三、銷售利潤問題例1．某服裝批發(fā)市場銷售一種襯衫，襯衫每件進貨價為50元．規(guī)定每件售價不低于進貨價，經市場調查，每月的銷售量y（件）與每件的售價x（元）滿足一次函數關系，部分數據如表：售價x（元/件）556575銷售量y（件）150013001100(1)求出y與x之間的函數表達式；（不需要求自變量x的取值范圍）(2)該批發(fā)市場每月想從這種襯衫銷售中獲利30000元，又想盡量給客戶實惠，該如何給這種襯衫定價？(3)物價部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤不允許高于進貨價的50%，設銷售這種襯衫每月的總利潤為w（元），求w與x之間的函數關系式，x為多少時，w有最大值，最大利潤是多少？【答案】(1)y＝﹣20x+2600；(2)80元(3)w＝﹣20（x﹣90）2+32000；售價定為75元時，可獲得最大利潤，最大利潤是27500元【解析】(1)解：設y與x之間的函數關系式為，則，解得，∴y與x之間的函數表達式是．(2)解：由題意知，，解得，∵盡量給客戶優(yōu)惠，∴這種襯衫定價為80元．(3)解：由題意可得，，∵該襯衫的每件利潤不允許高于進貨價的50%，每件售價不低于進貨價，∴，解得，∵，拋物線開口向下，∴當x＝75時，w取得最大值，此時w＝27500元，∴售價定為75元時，可獲得最大利潤，最大利潤是27500元．【變式訓練1】端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗，市場上豆沙粽的進價比肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數相同．在銷售中，該商家發(fā)現肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒，設肉粽每盒售價x元，y表示該商家每天銷售肉棕的利潤（單位：元）．(1)肉粽和豆沙粽每盒的進價分別為多少元(2)若每盒利潤率不超過50%，問肉粽價格為多少元時，商家每天獲利1350元？(3)若x滿足，求商家每天的最大利潤．【答案】(1)肉粽每盒40元，豆沙粽每盒30元；(2)55元；(3)1600元【解析】(1)解：設肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價元．則，解得，經檢驗是方程的解，．答：肉粽每盒40元，豆沙粽每盒30元；(2)解：∵肉粽進價每盒40元，每盒利潤率不超過50%，∴，由題意得，，整理得，，解得（舍去），．答：肉粽價格為55元時，商家每天獲利1350元；(3)解：設商家的利潤為y元，則，配方得，，∵時，y隨x的增大而增大，，∴當時，y取最大值，．答：最大利潤為1600元．【變式訓練2】某商店銷售一種商品，經市場調查發(fā)現：該商品的周銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數，其售價、周銷售量、周銷售利潤w（元）的三組對應值如表：售價x（元/件）607080周銷售量y（件）1008060周銷售利潤w（元）200024002400(1)求y關于x的函數解析式；(2)直接寫出該商品的進價，并求出該商品周銷售利潤的最大值；(3)由于某種原因，該商品進價提高了m元/件，物價部門規(guī)定該商品售價不得超過70元/件，該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍然滿足（1）中的函數關系．若周銷售最大利潤是2000元，求m的值．【答案】(1)；(2)進價每件40元，當時，w有最大值為元；(3)5【解析】(1)解：設，將，分別代入得解得：，∴y關于x的函數解析式為．(2)設進價為z元，則100（60-z）=2000,解得z=40，故進價為40元/件．，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當時，w有最大值為元；(3)，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當時，w隨x的增大而增大．又∵，∴當時，w有最大值：．解得：．【變式訓練3】冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，據反饋冰墩墩、雪容融玩偶一經上市，非常暢銷，小許選兩款玩偶各50個，決定在網店進行銷售．售后統(tǒng)計，一個冰墩墩玩偶利潤為30元/個，一個雪容融玩偶利潤為5元/個，調研發(fā)現：冰墩墩的數量在50個的基礎上每增加3個，平均每個利潤減少1元；而雪容融的利潤始終不變；小許計劃第二次購進兩種玩偶共100個進行售賣．設冰墩墩的數量比第一次增加個，第二次冰墩墩售完后的利潤為元．(1)用含的代數式表示第二次冰墩墩售完后的的利潤；(2)如何安排購買方案，使得第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)(2)購進冰墩墩62個，雪容融38個或購進冰墩墩63個，雪容融37個時，第二次售賣兩種玩偶的銷售利潤最大，最大利潤是1802元【解析】(1)由題意，第二次購進冰墩墩的數量為（50+x）個，平均每個的利潤減少元，則第二次冰墩墩售完后的的利潤；整理得：．(2)第二次購進冰墩墩的