2021中考數(shù)學(xué)專題05 瓜豆原理中最值問題

2021中考數(shù)學(xué)專題05瓜豆原理中最值問題專題：瓜豆原理中動點軌跡直線型最值問題動點軌跡問題是中考的重要壓軸點。由于學(xué)生解析幾何知識和思維能力的限制，這個問題常常成為學(xué)生在中考中的難點，導(dǎo)致學(xué)生在中考中失分。掌握該問題的基本圖形和解決問題的一般思路，是中考復(fù)習(xí)的重要途徑。本文詳細介紹了動點軌跡問題的基本圖形，其基本類型為直線型和圓弧型。當(dāng)動點軌跡為一條直線時，可以利用“垂線段最短”求最值。如果動點軌跡已確定，可以直接運用垂線段最短求最值。如果動點軌跡不易確定是直線時，可以通過以下三種方法進行確定：1.觀察動點運動到特殊位置時，如中點、端點等位置時，是否存在動點與定直線的端點連接后的角度不變。若存在，則該動點的軌跡為直線。2.當(dāng)某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線。3.當(dāng)一個點的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線。例如，圖中的P是直線BC上的一個動點，連接AP，取AP的中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是一條直線。當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線。可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線。例如，圖中的△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡。當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值時，P、Q軌跡是同一種圖形。當(dāng)確定軌跡是線段時，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）。結(jié)論：P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與BC夾角）；P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）。練習(xí)題：1、如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為多少？解析：將F點看成是由點B向點A運動，作出G點軌跡?？紤]到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在G1位置，最終G點在G2位置（G2不一定在CD邊），G1G2即為G點運動軌跡。CG最小值即當(dāng)CG⊥G1G2的時候取到，作CH⊥G1G2于點H，CH即為所求的最小值。根據(jù)模型可知：G1G2與AB夾角為60°，故G1G2⊥EG1。過點E作EF⊥CH于點F，則HF=G1E=1，CF=CE=√2，所以CH=√5/2，因此CG的最小值為√5/2。2、如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為多少？解析：由于△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AC=√2，BO=1，AP=PC=1。連接OM，由于P在AC上運動，所以O(shè)M⊥AC，且OM=1/2。當(dāng)P運動到C時，Q運動到B，所以MQ=1/2，因此M經(jīng)過的路線長為√2。3、如圖，矩形ABCD中，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且S△PAB=S△PCD，BC=6，AB=4，則PC+PD的最小值為多少？解析：由于S△PAB=S△PCD，所以PA/PC=PD/PB，即PA/PD=PC/PB。又因為ABCD是矩形，所以PB=AD-PC，PA=CD-PD，代入得(CD-PD)/(AD-PC)=PC/PB，化簡得PD=(3/2)PC。又因為PC+PD=PC+(3/2)PC=5/2PC，所以PC+PD的最小值為4。4、如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點P，且滿足PC=PA。若點P沿AB方向從點A運動到點B，則點E運動的路徑長為多少？解析：由于PC=PA，所以△PAC是等腰三角形，所以∠PCA=∠PAC，又因為CD垂直于AB，所以∠PCA=∠ECD，所以△ECD與△PAC相似。設(shè)PE=x，則CE=6-x，ED=x，AC=6，所以PC/AC=ED/CE，即x/(6-x)=ED/CE，代入ED=x，CE=6-x，得x^2-6x+9=0，解得x=3。所以點E運動的路徑長為3。5、如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點。將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE。（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合）請依題意補全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長最小時，求CD的長。解析：（1）連接AC和BD，由于△ABC是等邊三角形，所以AC=BC=4，∠ACB=60°，所以△ACB是等邊三角形。設(shè)AD=x，則BD=6-x。在△ACD中，∠ACD=∠ECD=60°，所以△ACD與△ECD相似，所以ED/CD=AC/AD，即(4-x)/CD=4/x，解得x=2，所以AD=2，BD=4。在△BED中，∠EBD=∠ECD=60°，所以△BED是等邊三角形，所以BE=BD=4，證畢。（2）連接CE，由于△ABC是等邊三角形，所以CE=2。設(shè)CD=x，則DE=x，BE=4-x，AE=√(4-x)^2+2^2=√(x^2-8x+20)，所以(x^2-8x+20)取最小值時CD的長度最小。對(x^2-8x+20)求導(dǎo)得2x-8=0，解得x=4，所以CD的長度最小為4。2、等腰直角三角形ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，求點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長。解析：連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，因為△ACB為等腰直角三角形，所以AC=BC=2，∠A=∠B=45°，因為O為AB的中點，所以O(shè)C⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，因為∠POQ=90°，∠COA=90°，所以∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中∵△APE和△BFQ都為等腰直角三角形，所以PE=AP/2=CQ/2，QF=BQ/2，∴PE+QF=(AP+CQ)/2=BC/2=1，因為M點為PQ的中點，所以MH為梯形PEFQ的中位線，所以MH=(PE+QF)/2=1/2，即點M到AB的距離為1/2，而CO=1，所以點M的運動路線為△ABC的中位線，所以當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為1/2。所以答案為C。3、矩形ABCD中，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且S△PAB=S△PCD，BC=6，AB=4，求PC+PD的最小值。解析：因為ABCD為矩形，所以AB=DC，又S△PAB=S△PCD，所以點P到AB的距離與到CD的距離相等，即點P在線段AD垂直平分線MN上，連接AC，交MN于點P，此時PC+PD的值最小，且PC+PD=AC=√(AB2+BC2)=√(42+62)=√52=2√13，所以PC+PD的最小值為2√13，即答案為213。4、在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點P，且滿足PC=PA。若點P沿AB方向從點A運動到點B，則點E運動的路徑長為多少？解析：如圖，由題意可知點C運動的路徑為線段AC′，點E運動的路徑為EE′，由平移的性質(zhì)可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，所以EE′=AC′=6，因為PC=PA，所以點P在線段AB的中點M處，所以ME′=MC′=3，所以點E運動的路徑長為2×3=6。所以答案為6。題目：如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是直線AB上一點．將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連結(jié)BE．（1）若點D在AB邊上（不與A，B重合），請證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長最小時，求CD的長。解析：（1）補全圖形如下，由于△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如圖2，過點A作AF⊥EB交EB延長線于點F，由于△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴點E的運動軌跡是直線BE，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點E與F重合時，AE的值最小，此時CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，在Rt△ACF中，CF=2AC+AF=4+2√3，∴CD=CF=27.知識精講：確定動點軌跡為圓或者圓弧型的方法:（1）動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或者圓弧。（2）當(dāng)某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓。例如，如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系。角平分線交于點D，點E在AB邊上，且DE⊥AB，若點F在AC邊上，且EF=2，求當(dāng)F點在AC邊上移動時，DE+DF的最小值．【分析】首先，根據(jù)題目條件可知，△ABC是等腰直角三角形，且AD為AB的中線，DE⊥AB，因此△ADE為等腰直角三角形，即DE=AE/√2=AB/2√2=1/√2．接下來，考慮點F在AC邊上移動時，DE+DF的最小值．根據(jù)題目條件可知，EF=2，因此AE=AB-EF=2-2=0，即點A、E、F三點共線．因此，DE+DF=DE+AF=DE+AC-FC=1/√2+2-FC．因此，DE+DF的最小值即為FC的最大值．又因為AC對角線的角平分線經(jīng)過點D，因此角ADC=60°，角ACD=30°．因此，△ACD是30°-60°-90°三角形，CD=AC/2=1，AD=AC√3/2=√3/2．由于EF=2，因此FC=AC-EF=AC-2．因此，DE+DF的最小值即為FC的最大值，即為AC-1/√2-2．由于AC=2√3，因此DE+DF的最小值為2√3-1/√2-2=2√3-√2-2．【精典例題】1、如圖，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，點D為AB邊上的動點，AD=4，點E在AC邊上，且DE⊥AC，求當(dāng)D點在AB邊上移動時，DE+CE的最小值．【分析】首先，根據(jù)題目條件可知，△ABC是直角三角形，且AD為AB的中線，因此DE⊥AC，即△ADE為直角三角形，且AE=AC-AD=2．因此，DE=AE/2=1．接下來，考慮點D在AB邊上移動時，DE+CE的最小值．根據(jù)題目條件可知，AC=6，因此CE=AC-DE=5．因此，DE+CE=1+5=6，即DE+CE的最小值為6．1、在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，O為AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，求MN的最小值和最大值之和。解析：如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點D，連接OD，作OP⊥BC垂足為P交⊙O于F，此時垂線段OP最短，PF最小值為OP-OF。因為AC=4，BC=3，所以AB=5。由于∠OPB=90°，所以O(shè)P∥AC。又因為點O是AB的三等分點，所以O(shè)B=8/3，OA=2/3。所以O(shè)P=5/3。因為⊙O與AC相切于點D，所以O(shè)D⊥AC，OD∥BC，所以O(shè)DOA=1/3。所以O(shè)D=1/3。所以MN最小值為OP-OF=8/5-1=3/5。當(dāng)N在AB邊上時，M與B重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，MN最大值=10/3+1=13/3。所以MN長的最大值與最小值的和是6。2、在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=3，E是AB的中點，F(xiàn)是AD邊上的一個動點，將AEF沿EF所在直線翻折，得到A'EF，則A'C的長的最小值是多少？解析：如圖，連接AE，BE，CE，CF。則AE=1，BE=√5/2，CE=√13/2。因為A'EF與AEF全等，所以A'C=CE=√13/2。所以A'C的最小值為√13/2。所謂“瓜豆原理”，是指從動點的軌跡與主動點的軌跡相似，可以通過主、從動點與定點的連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比來確定從動點的軌跡。當(dāng)主動點的軌跡是其他圖形時，從動點的軌跡也是相應(yīng)的圖形?！揪淅}】1、如圖，在反比例函數(shù)y=-2/x的圖像上有一個動點A，連接AO并延長交圖像的另一支于點B，在第一象限內(nèi)有一點C，滿足AC=BC，當(dāng)點A運動時，點C始終在函數(shù)y=k的圖像上運動，若tan∠CAB=2，則k的值為（）。解析：根據(jù)瓜豆原理，當(dāng)點A在反比例函數(shù)y=-2/x的圖像上運動時，點C在直線y=k上運動。由于∠CAB為定值，因此tan∠CAB=2也是定值，可列出方程2=AC/AB=√(k^2+1)/√(1+4/x^2)，解得k=6。2、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）。解析：由于點A在x軸上運動，因此可設(shè)點A的坐標(biāo)為(x,0)，則點C的坐標(biāo)為(0,4/x)，點B的坐標(biāo)為(2x,0)。根據(jù)勾股定理，可列出B到原點的距離d=sqrt((2x)^2+4/x^2)，對d求導(dǎo)可得d'=4x^3/(x^4+1/4)，令d'=0，解得x=1/√2或x=-1/√2。由于x>0，因此最大距離為d=sqrt(8)。3、如圖，在等邊三角形ABC邊長為23，兩頂點A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸負半軸、軸的正半軸上滑動，點C在第四象限，連接OC，則線段OC長的最小值是（）。解析：由于等邊三角形ABC，因此點C的坐標(biāo)為(-23/2,-23sqrt(3)/2)，點O的坐標(biāo)為(0,0)。設(shè)點A的坐標(biāo)為(-x,0)，則點B的坐標(biāo)為(0,23+xsqrt(3))，點C的坐標(biāo)為(-23/2+x/2,-23sqrt(3)/2+(23+xsqrt(3))/2)=(x/2-xsqrt(3)/2-23/2,-23sqrt(3)/2+23/2+xsqrt(3)/2)，根據(jù)勾股定理，可列出OC的長度d=sqrt[(x/2-xsqrt(3)/2-23/2)^2+(-23sqrt(3)/2+23/2+xsqrt(3)/2)^2]，對d求導(dǎo)可得d'=(x-23sqrt(3))/(x^2+23xsqrt(3)-529)，令d'=0，解得x=23sqrt(3)，代入可得d=3。4、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，M是BC的中點，N是A'B'的中點，連接MN，若BC=4，∠ABC=60°，則線段MN的最大值為（）。解析：將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，可得到三個全等三角形△ABC≌△B'CA，△A'BC≌△AC'B，△AB'C≌△A'CB，根據(jù)瓜豆原理，可知MN平行于AB，且MN=AB/2=2。1、在三角形ABC中，AB=5，AC=7，