2021中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題05 瓜豆原理中最值問(wèn)題

2021中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題05瓜豆原理中最值問(wèn)題專(zhuān)題：瓜豆原理中動(dòng)點(diǎn)軌跡直線(xiàn)型最值問(wèn)題動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是中考的重要壓軸點(diǎn)。由于學(xué)生解析幾何知識(shí)和思維能力的限制，這個(gè)問(wèn)題常常成為學(xué)生在中考中的難點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生在中考中失分。掌握該問(wèn)題的基本圖形和解決問(wèn)題的一般思路，是中考復(fù)習(xí)的重要途徑。本文詳細(xì)介紹了動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的基本圖形，其基本類(lèi)型為直線(xiàn)型和圓弧型。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線(xiàn)時(shí)，可以利用“垂線(xiàn)段最短”求最值。如果動(dòng)點(diǎn)軌跡已確定，可以直接運(yùn)用垂線(xiàn)段最短求最值。如果動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線(xiàn)時(shí)，可以通過(guò)以下三種方法進(jìn)行確定：1.觀(guān)察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)、端點(diǎn)等位置時(shí)，是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線(xiàn)的端點(diǎn)連接后的角度不變。若存在，則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)。2.當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線(xiàn)的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)。3.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)。例如，圖中的P是直線(xiàn)BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP的中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是一條直線(xiàn)。當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線(xiàn)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線(xiàn)。可以這樣理解：分別過(guò)A、Q向BC作垂線(xiàn)，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線(xiàn)。例如，圖中的△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡。當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值時(shí)，P、Q軌跡是同一種圖形。當(dāng)確定軌跡是線(xiàn)段時(shí)，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線(xiàn)即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線(xiàn)段。必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）。結(jié)論：P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線(xiàn)的夾角等于∠PAQ（當(dāng)∠PAQ≤90°時(shí)，∠PAQ等于MN與BC夾角）；P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）。練習(xí)題：1、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為多少？解析：將F點(diǎn)看成是由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，作出G點(diǎn)軌跡。考慮到F點(diǎn)軌跡是線(xiàn)段，故G點(diǎn)軌跡也是線(xiàn)段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線(xiàn)段位置，初始時(shí)刻G點(diǎn)在G1位置，最終G點(diǎn)在G2位置（G2不一定在CD邊），G1G2即為G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡。CG最小值即當(dāng)CG⊥G1G2的時(shí)候取到，作CH⊥G1G2于點(diǎn)H，CH即為所求的最小值。根據(jù)模型可知：G1G2與AB夾角為60°，故G1G2⊥EG1。過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CH于點(diǎn)F，則HF=G1E=1，CF=CE=√2，所以CH=√5/2，因此CG的最小值為√5/2。2、如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為多少？解析：由于△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AC=√2，BO=1，AP=PC=1。連接OM，由于P在AC上運(yùn)動(dòng)，所以O(shè)M⊥AC，且OM=1/2。當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，Q運(yùn)動(dòng)到B，所以MQ=1/2，因此M經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為√2。3、如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△PAB=S△PCD，BC=6，AB=4，則PC+PD的最小值為多少？解析：由于S△PAB=S△PCD，所以PA/PC=PD/PB，即PA/PD=PC/PB。又因?yàn)锳BCD是矩形，所以PB=AD-PC，PA=CD-PD，代入得(CD-PD)/(AD-PC)=PC/PB，化簡(jiǎn)得PD=(3/2)PC。又因?yàn)镻C+PD=PC+(3/2)PC=5/2PC，所以PC+PD的最小值為4。4、如圖，在平面內(nèi)，線(xiàn)段AB=6，P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線(xiàn)與線(xiàn)段AB垂直相交于點(diǎn)P，且滿(mǎn)足PC=PA。若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為多少？解析：由于PC=PA，所以△PAC是等腰三角形，所以∠PCA=∠PAC，又因?yàn)镃D垂直于AB，所以∠PCA=∠ECD，所以△ECD與△PAC相似。設(shè)PE=x，則CE=6-x，ED=x，AC=6，所以PC/AC=ED/CE，即x/(6-x)=ED/CE，代入ED=x，CE=6-x，得x^2-6x+9=0，解得x=3。所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為3。5、如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)。將線(xiàn)段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段DE，連結(jié)BE。（1）若點(diǎn)D在AB邊上（不與A，B重合）請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，求CD的長(zhǎng)。解析：（1）連接AC和BD，由于△ABC是等邊三角形，所以AC=BC=4，∠ACB=60°，所以△ACB是等邊三角形。設(shè)AD=x，則BD=6-x。在△ACD中，∠ACD=∠ECD=60°，所以△ACD與△ECD相似，所以ED/CD=AC/AD，即(4-x)/CD=4/x，解得x=2，所以AD=2，BD=4。在△BED中，∠EBD=∠ECD=60°，所以△BED是等邊三角形，所以BE=BD=4，證畢。（2）連接CE，由于△ABC是等邊三角形，所以CE=2。設(shè)CD=x，則DE=x，BE=4-x，AE=√(4-x)^2+2^2=√(x^2-8x+20)，所以(x^2-8x+20)取最小值時(shí)CD的長(zhǎng)度最小。對(duì)(x^2-8x+20)求導(dǎo)得2x-8=0，解得x=4，所以CD的長(zhǎng)度最小為4。2、等腰直角三角形ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)。解析：連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，因?yàn)椤鰽CB為等腰直角三角形，所以AC=BC=2，∠A=∠B=45°，因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，因?yàn)椤螾OQ=90°，∠COA=90°，所以∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中∵△APE和△BFQ都為等腰直角三角形，所以PE=AP/2=CQ/2，QF=BQ/2，∴PE+QF=(AP+CQ)/2=BC/2=1，因?yàn)镸點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，所以MH為梯形PEFQ的中位線(xiàn)，所以MH=(PE+QF)/2=1/2，即點(diǎn)M到AB的距離為1/2，而CO=1，所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)為△ABC的中位線(xiàn)，所以當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為1/2。所以答案為C。3、矩形ABCD中，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△PAB=S△PCD，BC=6，AB=4，求PC+PD的最小值。解析：因?yàn)锳BCD為矩形，所以AB=DC，又S△PAB=S△PCD，所以點(diǎn)P到AB的距離與到CD的距離相等，即點(diǎn)P在線(xiàn)段AD垂直平分線(xiàn)MN上，連接AC，交MN于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD的值最小，且PC+PD=AC=√(AB2+BC2)=√(42+62)=√52=2√13，所以PC+PD的最小值為2√13，即答案為213。4、在平面內(nèi)，線(xiàn)段AB=6，P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線(xiàn)與線(xiàn)段AB垂直相交于點(diǎn)P，且滿(mǎn)足PC=PA。若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為多少？解析：如圖，由題意可知點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑為線(xiàn)段AC′，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑為EE′，由平移的性質(zhì)可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，所以EE′=AC′=6，因?yàn)镻C=PA，所以點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M處，所以ME′=MC′=3，所以點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2×3=6。所以答案為6。題目：如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)．將線(xiàn)段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段DE，連結(jié)BE．（1）若點(diǎn)D在AB邊上（不與A，B重合），請(qǐng)證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，求CD的長(zhǎng)。解析：（1）補(bǔ)全圖形如下，由于△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥EB交EB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，由于△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)BE，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與F重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，在Rt△ACF中，CF=2AC+AF=4+2√3，∴CD=CF=27.知識(shí)精講：確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法:（1）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。（2）當(dāng)某條邊與該邊所對(duì)的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓。例如，如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？觀(guān)察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系。角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB邊上，且DE⊥AB，若點(diǎn)F在AC邊上，且EF=2，求當(dāng)F點(diǎn)在AC邊上移動(dòng)時(shí)，DE+DF的最小值．【分析】首先，根據(jù)題目條件可知，△ABC是等腰直角三角形，且AD為AB的中線(xiàn)，DE⊥AB，因此△ADE為等腰直角三角形，即DE=AE/√2=AB/2√2=1/√2．接下來(lái)，考慮點(diǎn)F在AC邊上移動(dòng)時(shí)，DE+DF的最小值．根據(jù)題目條件可知，EF=2，因此AE=AB-EF=2-2=0，即點(diǎn)A、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)．因此，DE+DF=DE+AF=DE+AC-FC=1/√2+2-FC．因此，DE+DF的最小值即為FC的最大值．又因?yàn)锳C對(duì)角線(xiàn)的角平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，因此角ADC=60°，角ACD=30°．因此，△ACD是30°-60°-90°三角形，CD=AC/2=1，AD=AC√3/2=√3/2．由于EF=2，因此FC=AC-EF=AC-2．因此，DE+DF的最小值即為FC的最大值，即為AC-1/√2-2．由于AC=2√3，因此DE+DF的最小值為2√3-1/√2-2=2√3-√2-2．【精典例題】1、如圖，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，AD=4，點(diǎn)E在AC邊上，且DE⊥AC，求當(dāng)D點(diǎn)在AB邊上移動(dòng)時(shí)，DE+CE的最小值．【分析】首先，根據(jù)題目條件可知，△ABC是直角三角形，且AD為AB的中線(xiàn)，因此DE⊥AC，即△ADE為直角三角形，且AE=AC-AD=2．因此，DE=AE/2=1．接下來(lái)，考慮點(diǎn)D在AB邊上移動(dòng)時(shí)，DE+CE的最小值．根據(jù)題目條件可知，AC=6，因此CE=AC-DE=5．因此，DE+CE=1+5=6，即DE+CE的最小值為6．1、在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，O為AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，求MN的最小值和最大值之和。解析：如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)D，連接OD，作OP⊥BC垂足為P交⊙O于F，此時(shí)垂線(xiàn)段OP最短，PF最小值為OP-OF。因?yàn)锳C=4，BC=3，所以AB=5。由于∠OPB=90°，所以O(shè)P∥AC。又因?yàn)辄c(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，所以O(shè)B=8/3，OA=2/3。所以O(shè)P=5/3。因?yàn)椤袿與AC相切于點(diǎn)D，所以O(shè)D⊥AC，OD∥BC，所以O(shè)DOA=1/3。所以O(shè)D=1/3。所以MN最小值為OP-OF=8/5-1=3/5。當(dāng)N在AB邊上時(shí)，M與B重合時(shí)，MN經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，MN最大值=10/3+1=13/3。所以MN長(zhǎng)的最大值與最小值的和是6。2、在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=3，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AEF沿EF所在直線(xiàn)翻折，得到A'EF，則A'C的長(zhǎng)的最小值是多少？解析：如圖，連接AE，BE，CE，CF。則AE=1，BE=√5/2，CE=√13/2。因?yàn)锳'EF與AEF全等，所以A'C=CE=√13/2。所以A'C的最小值為√13/2。所謂“瓜豆原理”，是指從動(dòng)點(diǎn)的軌跡與主動(dòng)點(diǎn)的軌跡相似，可以通過(guò)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線(xiàn)形成的夾角以及主、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比來(lái)確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡。當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌跡也是相應(yīng)的圖形?！揪淅}】1、如圖，在反比例函數(shù)y=-2/x的圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖像的另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿(mǎn)足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=k的圖像上運(yùn)動(dòng)，若tan∠CAB=2，則k的值為（）。解析：根據(jù)瓜豆原理，當(dāng)點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-2/x的圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C在直線(xiàn)y=k上運(yùn)動(dòng)。由于∠CAB為定值，因此tan∠CAB=2也是定值，可列出方程2=AC/AB=√(k^2+1)/√(1+4/x^2)，解得k=6。2、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）。解析：由于點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)，因此可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,0)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4/x)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2x,0)。根據(jù)勾股定理，可列出B到原點(diǎn)的距離d=sqrt((2x)^2+4/x^2)，對(duì)d求導(dǎo)可得d'=4x^3/(x^4+1/4)，令d'=0，解得x=1/√2或x=-1/√2。由于x>0，因此最大距離為d=sqrt(8)。3、如圖，在等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為23，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸負(fù)半軸、軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第四象限，連接OC，則線(xiàn)段OC長(zhǎng)的最小值是（）。解析：由于等邊三角形ABC，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-23/2,-23sqrt(3)/2)，點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0)。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-x,0)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,23+xsqrt(3))，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-23/2+x/2,-23sqrt(3)/2+(23+xsqrt(3))/2)=(x/2-xsqrt(3)/2-23/2,-23sqrt(3)/2+23/2+xsqrt(3)/2)，根據(jù)勾股定理，可列出OC的長(zhǎng)度d=sqrt[(x/2-xsqrt(3)/2-23/2)^2+(-23sqrt(3)/2+23/2+xsqrt(3)/2)^2]，對(duì)d求導(dǎo)可得d'=(x-23sqrt(3))/(x^2+23xsqrt(3)-529)，令d'=0，解得x=23sqrt(3)，代入可得d=3。4、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，M是BC的中點(diǎn)，N是A'B'的中點(diǎn)，連接MN，若BC=4，∠ABC=60°，則線(xiàn)段MN的最大值為（）。解析：將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，可得到三個(gè)全等三角形△ABC≌△B'CA，△A'BC≌△AC'B，△AB'C≌△A'CB，根據(jù)瓜豆原理，可知MN平行于AB，且MN=AB/2=2。1、在三角形ABC中，AB=5，AC=7，