北京豐臺區(qū)第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

北京豐臺區(qū)第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知直線m，n和平面α，且m⊥α．則“n⊥m”是“n∥α”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)線面垂直和線面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：當(dāng)m⊥α?xí)r，若n⊥m，則n∥α或n?α，即充分性不成立，若n∥α，則n⊥m成立，即“n⊥m”是“n∥α”的必要不充分條件，故選：B2.已知函數(shù)，則（

）

A.

B.2

C.4

D.8參考答案：【知識點】指數(shù)函數(shù)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)B6B7【答案解析】A

f()=-1,f(-1)=故選A?！舅悸伏c撥】根據(jù)分段函數(shù)代入相應(yīng)的范圍求結(jié)果。3.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均相等，D為AA1的中點，M，N分別是線段BB1和線段CC1上的動點（含端點），且滿足.當(dāng)M，N運動時，下列結(jié)論中不正確的是（

）A.平面平面

B.三棱錐的體積為定值C.可能為直角三角形

D.平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為參考答案：C4.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的虛部是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D5.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是A．

B．C．

D．參考答案：B

6.多面體的三視圖如圖所示，則該多面體體積為（單位cm3)A.

B.

C.16

D.參考答案：B如圖故

選A7.下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)為（

）(A)

(B)(C)

(D)參考答案：A試題分析：這種問題首先應(yīng)該把函數(shù)化簡，，，，這時會發(fā)現(xiàn)只有A是偶函數(shù)，當(dāng)然它的最小正周期也是，只能選A．考點：最小正周期，函數(shù)的奇偶性．

8.已知f（x）=，則f（1）為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：A【考點】函數(shù)的值．【分析】由函數(shù)性質(zhì)得f（1）=f（3）=f（5）=f（7），由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=f（3）=f（5）=f（7）=7﹣5=2．故選：A．9.已知函數(shù)，若,則實數(shù)的取值范圍是

A.

B.C.

D.參考答案：A10.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最小正周期=

．參考答案：2π12.已知中，，，且，則的取值范圍是▲。參考答案：【知識點】向量的數(shù)量積

F3因為，所以，即可得，因為可得，設(shè)，所以有，因為，可得，所以，故答案為.【思路點撥】根據(jù)題意可得，由平方可得，可得，根據(jù)角B的范圍求得，而即可求得.13.關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列結(jié)論：①y=f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)；②y=f（x）可改寫為y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的最大值為4；④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱；則其中正確結(jié)論的序號為．參考答案：①②③④【考點】正弦函數(shù)的圖象．

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】①根據(jù)三角函數(shù)的周期公式進行求解；②根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進行轉(zhuǎn)化；③結(jié)合三角函數(shù)的有界性和最值進行求解判斷；④根據(jù)三角函數(shù)的對稱性進行判斷；【解答】解：①函數(shù)的周期T=，故y=f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù)正確；②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣）；故y=f（x）可改寫為y=4cos（2x﹣）正確；③當(dāng)4sin（2x+）=1時，y=f（x）的最大值為4，正確；④當(dāng)x=時，f（）=4sin（2×+）=4sin=4為最大值，即f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，正確．故正確的是①②③④，故答案為：①②③④【點評】本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14.已知，是互相垂直的單位向量，若

與λ的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是__．參考答案：【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設(shè)（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題，是中檔題．15.如果x=[x]+{x}，[x]∈Z，0≤{x}＜1，就稱[x]表示x的整數(shù)部分，{x}表示x的小數(shù)部分．已知數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=[an]+，則a2017等于（）參考答案：【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法．【分析】由已知求出數(shù)列的前四項，從而猜想an=4（n﹣1）+，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵，an+1=[an]+，∴a2=2+=4+，=8+，

a4=10+=12+，=16+，…∴an=4（n﹣1）+，∴a2017=4×2016+=8064+．【點評】解決該試題的關(guān)鍵是對于兩個數(shù)列通項公式的分析和求解，然后能合理的選用求公式來得到結(jié)論．16.等差數(shù)列中，已知，則的取值范圍是

．參考答案：試題分析：由得，所以由，，故的取值范圍為考點：等差數(shù)列的通項公式17.由曲線以及x軸所圍成的面積為______

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某公司開發(fā)一新產(chǎn)品有甲、乙兩種型號，現(xiàn)分別對這兩種型號產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測，從它們的檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取8次（數(shù)值越大產(chǎn)品質(zhì)量越好），記錄如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5（Ⅰ）畫出甲、乙兩產(chǎn)品數(shù)據(jù)的莖葉圖；（Ⅱ）現(xiàn)要從甲、乙中選一種型號產(chǎn)品投入生產(chǎn)，從統(tǒng)計學(xué)角度，你認(rèn)為生產(chǎn)哪種型號產(chǎn)品合適？簡單說明理由；（Ⅲ）若將頻率視為概率，對產(chǎn)品乙今后的三次檢測數(shù)據(jù)進行預(yù)測，記這三次數(shù)據(jù)中不低于8.5分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．參考答案：考點：離散型隨機變量的期望與方差；莖葉圖；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；離散型隨機變量及其分布列．專題：概率與統(tǒng)計．分析：（Ⅰ）由已知數(shù)據(jù)能作出甲、乙兩產(chǎn)品數(shù)據(jù)的莖葉圖．（Ⅱ）分別求出，，，，得到=，，這說明甲的數(shù)據(jù)更加穩(wěn)定，故生產(chǎn)甲產(chǎn)品合適．（Ⅲ）依題意，乙不低于8.5分的頻率為，ξ的可能取值為0，1，2，3，ξ～B（3，），由此能求解答： 解：（Ⅰ）由已知作出甲、乙兩產(chǎn)品數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖：（Ⅱ）=（8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3）=8.5，=（9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5）=8.5，=[（8.3﹣8.5）2+（9.0﹣8.5）2+（7.9﹣8.5）2+（7.8﹣8.5）2+（9.4﹣8.5）2+（8.9﹣8.5）2+（8.4﹣8.5）2+（8.3﹣8.5）2]=0.27，=[（9.2﹣8.5）2+（9.5﹣8.5）2+（8.0﹣8.5）2+（7.5﹣8.5）2+（8.2﹣8.5）2+（8.1﹣8.5）2+（9.0﹣8.5）2+（8.5﹣8.5）2]=0.405，∵=，，∴甲和乙的質(zhì)量數(shù)值的平均數(shù)相同，但甲的方差較小，說明甲的數(shù)據(jù)更加穩(wěn)定，故生產(chǎn)甲產(chǎn)品合適．（Ⅲ）依題意，乙不低于8.5分的頻率為，ξ的可能取值為0，1，2，3，則ξ～B（3，），∴P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列為：ξ0123P∴Eξ==．點評：本題主要考查莖葉圖、概率、隨機變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力．19.設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．（Ⅰ）求{an}的通項公式及前n項和Sn；（Ⅱ）已知{bn}是等差數(shù)列，Tn為前n項和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．參考答案：【考點】等比數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）可得數(shù)列{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，代入求和公式和通項公式可得答案；（Ⅱ）可得b1=3，b3=13，進而可得其公差，代入求和公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得數(shù)列{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，故可得an=1×3n﹣1=3n﹣1，由求和公式可得Sn==；（Ⅱ）由題意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5故T20=20×3+=1010【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，屬中檔題．20.（本題滿分共14分）如圖，四邊形ABCD為矩形，,BC平面ABE，BFCE，垂足為F.（1）求證：BF平面AEC;（2）已知AB=2BC=2BE=2，在線段DE上是否存在一點P，使二面角P-AC-E為直二面角，如果存在，請確定P點的位置，如果不存在，請說明理由。參考答案：解法（一）：(1)BC平面ABEBCAE，又，所以，AE平面CBEAEBF，而BFCE，所以，BF平面AEC。（2）過P作PKAC于K,PLEC于L,連接K,L。則。設(shè)PE=x，則PK=PL=，KL=，，所以，P為DE的三等分點，且解法（二）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立直角坐標(biāo)系。則A(0，0，0)，B(0，2，0),C（0，2，1）D(0，0，1),E（1），，所以，BF平面AEC（2）設(shè)，，,設(shè)平面APC的法向量為，，，令y=1，則z=-2，，而平面AEC的法向量是，，解得，所以，存在點P，且21.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項和滿足：，為常數(shù)，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，設(shè)，且數(shù)列的前項和為，求證：．

參考答案：（1）解：∵，

∴.

………1分當(dāng)時，，

………3分得，

………………4分∴數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列．

………5分∴.

……………6分（2）證明：當(dāng)時，， ………………7分∴.

…………8分由，，

………………10分∴.

……………11分∴.…………13分

∵，∴，即.

…………………14分22.某中學(xué)生物興趣小組在學(xué)校生物園地種植了一批名貴樹苗，為了解樹苗的生長情況，從這批樹苗中隨機地測量了其中50棵樹苗的高度（單位：厘米），并把這些高度列成了如下的頻數(shù)分布表：分

組[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]頻

數(shù)231415124（1）在這批樹苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率是多少？（2）這批樹苗的平均高度大約是多少？（計算時用各組的中間值代替各組數(shù)據(jù)的平均值）；（3）為了進一步獲得研究資料，若從[40，50）組中移出一棵樹苗，從[90，100]組中移出兩棵樹苗進行試驗研究，則[40，50）組中的樹苗A和[90，100]組中的樹苗C同時被移出的概率是多少？參考答案：考點：等可能事件的概率；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．專題：計算題．分析：（1）根據(jù)題意，由頻率分布表可得高度不低于80厘米的頻數(shù)，進而由等可能事件的概率公式，計算可得答案；（2）首先計算出樣本容量，進而由平均數(shù)的計算公式計算可得答案；（3）設(shè)[40，50）組中的樹苗為A、B，[90，100]組中的樹苗為C、D、E、F，用列表法可得移出3棵樹苗的基本事件的數(shù)目與A、C同時被移出的事件數(shù)目，有等可能事件的概率公式計算可得答案．解答： 解：（I）∵高度不低于80厘米的頻數(shù)是12