常微分方程 線性方程組的基本理論

常微分方程線性方程組的基本理論1第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、線性齊次方程組解的結構

證明:Th4.5

設是齊次線性方程組的解,則它們的線性組合也是齊解。是齊次線性方程組的解.2第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月線性相關及線性無關則稱此組函數向量在上線性相關,否則稱為線性無關.有成立，設為上的函數向量,若有一組不全為零的數?3第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.3.1

證明在任何區(qū)間I上都是線性相關的.證明:取則故在I上是線性相關的.4第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.3.2

證明在上線性無關.只需證明:要使成立,線性無關.5第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月朗斯基判別準則:設有n個函數向量為這些函數向量組的朗斯基行列式.稱6第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月Th4.6

齊次線性方程組的解組

在線性相關的充要條件是它們的朗斯基行列式由的任意性有均線性相關.則所以證明:充分性.在上線性相關,設7第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月則線性相關，必要性.若,取,有考慮Th4.6

齊次線性方程組的解組在線性相關的數,使得即存在不全為零由解的疊加原理

知是齊線性方程組的解,且由解的存在唯一性定理知,所以齊解組線性相關.8第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月Th4.7

設是齊次線性方程組的任意n個解,則它們的朗斯基行列式其中為齊次線性方程組對應的系數矩陣A(t)的對角線元素.------劉維爾公式證明:由行列式的求導法則

及是解得證.9第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月推論4.1

齊次線性方程組的任一解組的在上或恒不為零,或恒為零.在上線性無關推論4.2

齊次線性方程組的解組有.在上某點處，10第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月Th4.8

線性齊次微分方程組一定存在

個線性無關解.證明:由解的存在惟一性定理,一定存在滿足初始條件在上線性無關.因此的解11第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月的n個線性無關解,則Th4.9（通解結構定理）設是方程組（1）是方程組的通解，

其中是任意常數.（2）方程組的任一解均可表示為的線性組合.12第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：（1）由解的疊加原理知（1）是方程組的通解.

是方程組的解,故彼此獨立,所以是通解.13第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月可知線性無關,

因為是n個線性無關解,即它們構成n維線性空間的基,故對向量一定存在唯一確定的一組常數滿足（2）方程組的任一解均可表示為的線性組合.考慮疊加原理!解的唯一性!證明設是任一解,并滿足14第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月推論4.3

方程組的線性無關解的最大個數為n.（2）方程組的任一解均可表示為的線性組合.的n個線性無關解,則Th4.9（通解結構定理）設是方程組（1）通解15第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月基本解組:

稱方程組的n個線性無關解為一個基本解組.基解矩陣:

由基本解組組成的矩陣為基解矩陣.解矩陣:

如果矩陣的每一列都是的解,稱這個矩陣為方程組的解矩陣.Th4.10

方程組一定存在一個基解矩陣并若為其任一解,則.其中c是確定的n維常數向量.16第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月Th4.11

方程組的一個解矩陣為基解矩陣

在上某點有證明

若是的解矩陣,則有即又因為是基解矩陣,所以17第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月推論4.4

若是在上的基解矩陣,方程組在區(qū)間上的基解矩陣.是非奇異常數矩陣,則也是現令兩邊關于t

求導得證明:方程組的基解矩陣滿足矩陣方程故有即是的解矩陣,又由于C

的非奇異性,因此,也是方程組的基解矩陣.18第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月推論4.5

若是兩個基解矩陣,則存在非奇異常數矩陣C,使得故是常數矩陣,且為非奇異的,即有令證明:因為是基解矩陣,故其逆矩陣存在,是可微矩陣,且19第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.3.3

驗證是方程組的基本解矩陣,并寫出其通解.是方程組的一個解….解:首先驗證是解矩陣,表示第一列,是解矩陣,通解為:是方程組的基本解組.20第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月試證明以為基本解組的齊次線性微分例4.3.4

設在上線性無關,方程組具有下列形式其中,是所求的一階微分方程組的未知函數,是的第個元素.21第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月方程組的基解矩陣從而證明:設所求的微分方程組為代入微分方程組22第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.3.5

已知線性齊次微分方程組的兩組解為，試求該微分方程組．解:

線性無關,……所求方程組為23第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、非齊次線性微分方程組解的結構性質1

如果是非齊次方程組的解,是對應的齊次線性方程組的解,則是非齊次方程組的解．性質2

如果是非齊次方程組的兩個解,和是對應齊次方程組的解.則性質3

設的解……是方程組24第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月Th4.11(通解結構定理)設是方程組齊次方程組的一個基解矩陣,是非齊次方程組的某個解,則非齊次線性方程組的任一解可表示為其中c為確定的常數列向量.證明:由性質知,是齊次方程組的解,非齊次方程組的通解?25第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月設非齊次方程組解代入非齊次方程組得因為齊次方程組的通解從到積分,并取是可逆的,常數變易法求解非齊次方程組的特解.26第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月TH4.12

若是齊次方程組的基解矩陣,則（1）向量函數是非齊次方程組的解,并滿足(2)非齊次方程組的通解是----非齊次方程組的