空間向量?jī)煞N應(yīng)用

精品文檔-下載后可編輯空間向量?jī)煞N應(yīng)用在歷年的高考中，證明線線、線面及面面位置關(guān)系，求角空間角與空間距離是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。解決空間問(wèn)題時(shí)我們有兩種處理方法：一種是利用平面幾何及立體幾何的定理來(lái)解決；一種是利用空間向量的運(yùn)算來(lái)解決。前者注重技巧性和思維性，難度較大；后者注重計(jì)算能力及構(gòu)造能力，難度較低。由于新課標(biāo)中三垂線定理不作要求，從而更加突出空間向量在解題中的重要性。本文將對(duì)空間向量的四種應(yīng)用進(jìn)行探討，幫助同學(xué)們進(jìn)一步地理解空間向量的應(yīng)用。

一、空間向量用于求空間角

1.求異面直線所成角

運(yùn)用向量夾角公式“cos=”求異面直線所成角，是學(xué)習(xí)了空間向量之后求異面直線所成角常用的方法，求解時(shí)，應(yīng)先建立空間直角坐標(biāo)系，求出與兩異面直線共線的向量，最后由向量夾角公式得解。

例1如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，求AC與PB所成的角的余弦值；

2.求直線與平面所成角

設(shè)直線？諄與平面α的夾角為θ（0°≤θ≤90°），a是直線？諄的一個(gè)方向向量，n是平面α的法向量，則由sinθ=cos，可求出θ的大小。直線與平面所成角，是空間角中?？純?nèi)容，求解時(shí)應(yīng)先建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出法向量和直線所在向量的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)就可得解。

3.求二面角的大小

設(shè)n1、n2分別是兩個(gè)半平面的法向量，則其二面角（銳角）θ滿足cosθ=|cos|。

二面角的計(jì)算問(wèn)題是高考的常考點(diǎn)，許多學(xué)生對(duì)求二面角總感到困難，特別是作出二面角。而運(yùn)用向量知識(shí)，只憑坐標(biāo)運(yùn)算就可得解。

二、空間向量用于求空間距離

1.求點(diǎn)面距離

設(shè)n是平面ABC的法向量，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為d=，高考常設(shè)置點(diǎn)面距離問(wèn)題，考查創(chuàng)新意識(shí)和綜合解題能力。

例2點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，且PA平面ABCD，點(diǎn)Q為線段AP的中點(diǎn)，若AB=1，BC=2，PA=2。求點(diǎn)P到平面BQD的距離。

分析：根據(jù)點(diǎn)到平面BQD的距離就是點(diǎn)P與平面BQD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)距離的最小值，只需在平面BQD內(nèi)任取動(dòng)點(diǎn)M，恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得到點(diǎn)P與動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)P與動(dòng)點(diǎn)M間的距離函數(shù)式，然后根據(jù)函數(shù)求最值的方法求解即可。

2.求異面直線間的距離

用法向量法求異面直線a與b之間的距離的一般方法是：

（1）作直線a，b的方向向量的a，b，求a，b的法向量n，此即異面直線a，b公垂線的方向向量；

（2）在直線a，b上各取一點(diǎn)A，B，作向量；