平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的特征

RJ八(下)教學(xué)課件第十八章平行四邊形18.1.1平行四邊形的性質(zhì)第2課時(shí)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的特征學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分的性質(zhì).（重點(diǎn)）2.經(jīng)歷對(duì)平行四邊形性質(zhì)的猜想與證明的過(guò)程，滲透轉(zhuǎn)化思想，體會(huì)圖形性質(zhì)探究的一般思路.（難點(diǎn)）

一位飽經(jīng)滄桑的老人，經(jīng)過(guò)一輩子的辛勤勞動(dòng)，到晚年的時(shí)候，終于擁有了一塊平行四邊的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個(gè)孩子，他是這樣分的：當(dāng)四個(gè)孩子看到時(shí)，爭(zhēng)論不休，都認(rèn)為自己分的地少，同學(xué)們，你認(rèn)為老人這樣分合理嗎?為什么?新課引入我們知道平行四邊形的邊角這兩個(gè)基本要素的性質(zhì)，那么平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)又具有怎樣的性質(zhì)呢?ABCDO

如圖，在□ABCD中，連結(jié)AC、BD,并設(shè)它們相交于點(diǎn)O.

OA與OC,OB與OD有什么關(guān)系?猜一猜OA=OC,OB=OD怎樣證明這個(gè)猜想呢？平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)1新課講解已知：如圖,□ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：OA=OC，OB=OD.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AD=BC，AD∥BC,∴∠1=∠2，∠3=∠4,∴△AOD≌△COB（ASA）,∴

OA=OC，OB=OD.ACDBO3241新課講解證一證ACDBO平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分.平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用格式：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

OA=OC，OB=OD.歸納總結(jié)

已知ABCD的周長(zhǎng)為60cm，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長(zhǎng)比△DOA的周長(zhǎng)長(zhǎng)5cm，求這個(gè)平行四邊形各邊的長(zhǎng)．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周長(zhǎng)比△DOA的周長(zhǎng)長(zhǎng)5cm，∴AB－AD＝5cm.又∵ABCD的周長(zhǎng)為60cm，∴AB＋AD＝30cm，則AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.

歸納：平行四邊形被對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之差等于鄰邊邊長(zhǎng)之差．例1新課講解【變式題】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是100cm，△AOB與△BOC的周長(zhǎng)的和是122cm，且AC:DB=2:1，求AC和BD的長(zhǎng)．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，∴AB+BC=50cm.∵△AOB與△BOC的周長(zhǎng)的和是122cm，∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122cm，即AC+BD=122-50=72cm.又∵AC:DB=2:1，∴AC=48cm，BD=24cm．新課講解

如圖,平行四邊形ABCD中，AC、BD交于O點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是OA、OC的中點(diǎn)，試判斷線(xiàn)段BE、DF的關(guān)系并證明你的結(jié)論．解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD,又點(diǎn)E、F分別是OA、OC的中點(diǎn)，∴OE＝OF.在△OFD和△OEB中，∵OE＝OF，∠BOE＝∠DOF，OB＝OD，∴△OEB≌△OFD，∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，∴BE∥DF.例2新課講解

如圖，ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O.點(diǎn)O作直線(xiàn)EF,分別交AB,CD于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：OE=OF.ABCDFEO證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ODF=∠OBE,∠DFO=∠BEO,∴△DOF≌△BOE（AAS）,∴AB∥CD,OD=OB,∴OE=OF.思考改變直線(xiàn)EF的位置，OE=OF還成立嗎?例3新課講解ABCDOEFABCDOEFABCDOEF請(qǐng)判斷下列圖中，OE=OF還成立么？同例3易證明OE=OF還成立.歸納：過(guò)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)作直線(xiàn)與平行四邊形的一組對(duì)邊或?qū)叺难娱L(zhǎng)線(xiàn)相交，得到線(xiàn)段總相等.新課講解議一議1.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)

O，若AD=16，AC=24，BD=12，則△OBC的周長(zhǎng)為（）BA.26B.34C.40D.52新課講解練一練2.如圖，在ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)

O，△AOB的周長(zhǎng)為15，AB=6，則對(duì)角線(xiàn)AC、

BD的長(zhǎng)度的和是（）BA.9B.18C.27D.36新課講解ABCDO解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)勾股定理，得∴BC=AD=8,CD=AB=10.是直角三角形.又∵OA=OC,

如圖，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD、AC、OA的長(zhǎng)，以及ABCD的面積．平行四邊形的面積2例4新課講解

如圖，平行四邊形ABCD中，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為48，DE=5，DF=10，求平行四邊形ABCD的面積.解：設(shè)AB=x，則BC=24-x.根據(jù)平行四邊形的面積公式可得，5x=10(24-x)，解得x=16．則平行四邊形ABCD的面積為5×16=80．歸納：已知平行四邊形的高DE、DF，根據(jù)“等面積法”及平行四邊形的性質(zhì)列方程求解.例5新課講解問(wèn)題平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)分平行四邊形ABCD為四個(gè)三角形，它們的面積有怎樣的關(guān)系呢？解：相等.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵△ADO與△ODC等底同高，∴S△ADO=S△ODC.同理可得，S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.還可結(jié)合全等來(lái)證喲.歸納：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)分平行四邊形為四個(gè)面積相等的三角形，且都等于平行四邊形面積的四分之一.相對(duì)的兩個(gè)三角形全等.新課講解ABCDOFE

如圖，AC、BD交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O,平行四邊形ABCD被EF所分的兩個(gè)四邊形面積相等嗎？MN解：設(shè)直線(xiàn)EF分別交AD、BC于點(diǎn)N、M.∵AD∥BC,∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.又∵AO=CO,∴△NAO≌△MCO，∴S四邊形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB

=S△AOB+S△COB=.∴S四邊形ANMB=S四邊形CMND,即平行四邊形ABCD被EF所分的兩個(gè)四邊形面積相等.例6新課講解ABDOEFABCDOEFCABCDOEF思考如圖，AC、BD交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O,平行四邊形ABCD被EF所分的兩個(gè)四邊形面積相等嗎？

歸納：過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的任一條直線(xiàn)都將平行四邊形分成面積相等的兩部分.同例6易求得，平行四邊形ABCD被EF所分的兩個(gè)四邊形面積相等.新課講解1.把一個(gè)平行四邊形分成3個(gè)三角形，已知兩個(gè)陰影三角形的面積分別是9cm2和12cm2，求平行四邊形的面積．解：（9+12）×2=21×2=42（cm2）即平行四邊形的面積是42cm2．新課講解練一練2.如圖，歡歡看到平行四邊形的草地中間有一水井，為了澆水的方便，歡歡建議我們經(jīng)過(guò)水井修小路，一樣可以把草地分成面積相等的兩部分，同學(xué)們，你知道聰明的歡歡是怎么分的嗎？BMC●DAO解：如圖所示．新課講解1.如圖，□ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O,且

AC+BD=16,CD=6,則△ABO的周長(zhǎng)是（）BBCDAOA.10B.14C.20D.

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隨堂即練2.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）BCDAOD

A．∠ABO=∠CDO

B．∠BAD=∠BCDC．AO=COD．AC⊥BD隨堂即練3.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m,則m的取值范圍是()

BCDAOCA.24<m<39B.14<m<62C.7<m<31D.7<m<12

隨堂即練4.如圖，□ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，EF

過(guò)點(diǎn)O與AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F，若AB=4，

BC=5，OE=1.5，那么四邊形EFCD的周長(zhǎng)為（）ADCBFEOCA.16B.14C.12D.10隨堂即練5.如圖，平行四邊形ABCD的面積為20，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且AE=DF，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)______．5隨堂即練6.如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，則BD的長(zhǎng)是

.隨堂即練7.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，且

AB≠AD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD，交BC于點(diǎn)E.若△CDE

的周長(zhǎng)為10，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是多少？解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.∵OE⊥BD，∴BE=DE.∵△CDE的周長(zhǎng)為10，∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2×(BC+CD)=20．隨堂即練8.如圖，已知O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，

AC=24，BD=18，AB=16，求△OCD的周長(zhǎng)及AD邊的取值范圍．解：由題意，得OA=OC=12，OB=OD=9，CD=AB=16,∴△OCD的周長(zhǎng)為12+9+16=3