實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型課件

§9.6實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形（一）

引言§9.6實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形（一）引言1一、實(shí)對(duì)稱矩陣的一些性質(zhì)引理1

設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A的特征值皆為實(shí)數(shù)．證：設(shè)是A的任意一個(gè)特征值，則有非零向量滿足一、實(shí)對(duì)稱矩陣的一些性質(zhì)引理1設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A的特征2其中為的共軛復(fù)數(shù)，令又由A實(shí)對(duì)稱，有其中為的共軛復(fù)數(shù)，令又由A實(shí)對(duì)稱，有3由于是非零復(fù)向量，必有故

考察等式，由于是非零復(fù)向量，必有故考察等式，4引理2

設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，在

n

維歐氏空間上定義一個(gè)線性變換如下：則對(duì)任意有

或引理2設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，在n維歐氏空間上定義一個(gè)線5證：取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則在基下的矩陣為A，即任取證：取的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則在基6即于是又是標(biāo)準(zhǔn)正交基，即于是又是標(biāo)準(zhǔn)正交基，7即有又注意到在中

二、對(duì)稱變換1．定義則稱為對(duì)稱變換．設(shè)為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足

即有又注意到在中二、對(duì)稱變換1．定義則稱為對(duì)稱變81）n維歐氏空間V的對(duì)稱變換與n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定的：

2．基本性質(zhì)①

實(shí)對(duì)稱矩陣可確定一個(gè)對(duì)稱變換．

一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．事實(shí)上，設(shè)為V的定義V的線性變換：則即為V的對(duì)稱變換．1）n維歐氏空間V的對(duì)稱變換與n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下是9②對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣．為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，事實(shí)上，設(shè)為n維歐氏空間V上的對(duì)稱變換，為

在這組基下的矩陣，即或②對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣．為V的一組標(biāo)準(zhǔn)10于是即所以A為對(duì)稱矩陣．由是對(duì)稱變換，有于是即所以A為對(duì)稱矩陣．由是對(duì)稱變換，有112）（引理3）對(duì)稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)也是它的不變子空間．對(duì)任取即證明：設(shè)是對(duì)稱變換，W為的不變子空間．

要證即證由W是子空間，有因此故也為的不變子空間．2）（引理3）對(duì)稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)也是它的不變子空間121．(引理4)實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量分別是屬于的特征向量．

則

三、實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化是正交的．

正交基下的矩陣，證：設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A為上對(duì)稱變換的在標(biāo)準(zhǔn)是A的兩個(gè)不同特征值，由1．(引理4)實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量分別是屬于13又即正交．(定理7)對(duì)總有正交矩陣T，使有即２．又即正交．(定理7)對(duì)總14證：設(shè)A為上對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣．由實(shí)對(duì)稱矩陣和對(duì)稱變換互相確定的關(guān)系，只需證有n個(gè)特征向量作成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即可．n=1時(shí)，結(jié)論是顯然的．

對(duì)的維數(shù)n用歸納法．

有一單位特征向量，其相應(yīng)的特征值為，即假設(shè)n－1時(shí)結(jié)論成立，對(duì)設(shè)其上的對(duì)稱變換證：設(shè)A為上對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣．由實(shí)對(duì)稱矩15設(shè)子空間顯然W是子空間，則也是子空間，且

又對(duì)有所以是上的對(duì)稱變換．由歸納假設(shè)知有n－1個(gè)特征向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．設(shè)子空間顯然W是子空間，則也是16從而就是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，又都是的特征向量．即結(jié)論成立．3．實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似實(shí)對(duì)角矩陣步驟設(shè)

(i)

求出A的所有不同的特征值：其重?cái)?shù)必滿足;

(ii)

對(duì)每個(gè)，解齊次線性方程組

從而就是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，又都是17求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：它是A的屬于特征值的特征子空間的一組基．正交基把它們按正交化過(guò)程化成的一組標(biāo)準(zhǔn)(iii)因?yàn)榛ゲ幌嗤?，且就是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．所以求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：它是A的屬于特征值的特征子空間18則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，使為對(duì)角形．例1．設(shè)

求一正交矩陣T使成對(duì)角形．則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，19解：先求A的特征值．A的特征值為（三重）,解：先求A的特征值．A的特征值為（三重）20其次求屬于的特征向量，即求解方程組得其基礎(chǔ)解

其次求屬于的特征向量，即求解方程組得其21把它正交化，得

再單位化，得把它正交化，得再單位化，得22這是特征值(三重)的三個(gè)單位正交特征向量，也即是特征子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．這是特征值(三重)的三個(gè)單位正交特征向量，也23再求屬于的特征向量，即解方程組得其基礎(chǔ)解

再求屬于的特征向量，即解方程組得其基礎(chǔ)解24再單位化得

這樣構(gòu)成的