§8.5復(fù)合函數(shù)微分法

#=2yex2+y2+z2+2zex2+y2+z2-x2cosy=2ex2+y2+z2(y+zx2cosy)=2ex2+y2+x4sin2y(y+x4sinycosy).例5.設(shè)z=f(x-y,xy2),f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求竺,空,蘭QxQx2QxQy解：設(shè)u=x-y,v=xy2，貝Vz=f(u,v)QzQuQv2Q=fu靈+fv施=fu+yfv，Q2z=Q(f+y2f)=Qfu+y2Qfv=Qx(fu+yfv)=莎+y瓦Qx2_QuQvQuQv)=fuuQx+fuvQx+y(fvu+fvvQ)u、v_x、y+y4f。=fuu+y2fuv+y2(fvu+y2fvv)=fuu+2y2fuvvQ2z

QxQy=Qy(fu+y2fv)=豊+y2譽(yù)+2yfvQuQv2QuQv=fuu石+fuvQy+y[fvuQy+fvvQy]+2fvxv、y=-fuu+fuv-2xy+y2[fvu(T)+fvv-2xy]+2yfv=-f+(2xy-y2)f+2xy3f+2yf。uuuvvvv例6.設(shè)w=f(x+y+z,xyz),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求色及WQxQxQz解:以1、2分別表示x+y+z、xyz上；兩個中間變量，函數(shù)的復(fù)合關(guān)系圖如右：/zf、2《yzdwdx魯憲dZ+讐呂=fn+吋12'辭胡(魯憲dZ+讐呂=fn+吋12'F=F色+F竺=f+xyfdzdudzdvdz2122故證=fH+Xyf12+yf2+yZf21+Xy2Zf22=f11+y(X+Z)f12+Xy2Zf22+對2例7?設(shè)z=x3f（xy,三），f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)’求希，影，證解：dy=x3(f1?x+f2?X)=x4f1+x2f2.省=x4(f11?x+f12?)+x2(f21?x+f22?)=x5f11+2x3f12+xf22,dy2xxx2dXdy二4x3f1+x4[f11-y+f12-(-三)]+2xf2+x2[f21-y+f22-(—2)x2=4x3F+2對2+x4yfn-對22。二、全微分形式不變性設(shè)z=f(u,V)可微，若u,v是自變量，則Dz=竺Du+dzDv。dudv若u,v是中間變量，即z=f(u,v)，u=p(x,y)，v=屮(x,y),則復(fù)合函數(shù)z=f[p(x,y)，屮(x,y)]的全微分為Dz=^Dx+竺Dy=(竺旦+竺?竺)Dx+(竺?色+空?空嗆

dxdydudxdvdxdudydvdy

它的全微分形式邑(哲dx+哲dy)+竺(竺dx+色dy)=^du+竺dv。

QuQxQyQvQxQyQuQv它的全微分形式由此可見，無論z是自變量u,v的函數(shù)或中間變量u,v的函數(shù),例7．例7．已知z=uv，u=Inix2+y2,v=arctan—，求dz。x解法】：先求出nQy，再求出dz=Qxdx+fydyo解法2：利用全微分形式不變性。QzQz1vdz=du+dv=vuv-1du+uvInudv=uvQuQv(—du+Inudv)u11(2xdx+2ydy)=(xdx+ydy)，x2+y2x2+y2dv=y11[-dx+dy]=(-ydx+xdy)，x2xx2+y2uv??dz=—22x+yv[(xdx+ydy)+Inu(-ydx+xdy)]u=八[(蘭-yInu)dx+(蘭+xInu)dy]。x2+y2uu例8.設(shè)z=f(xy,-)+g(蘭)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),yg具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求巴QxQy解：I=yfi