等比數(shù)列的性質(zhì)課件

等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)等比數(shù)列的定義、公比、等比中項(xiàng)等概念，復(fù)習(xí)

等比數(shù)列的判定方法.類比等差數(shù)列的性質(zhì)猜想并證明等比數(shù)列的性質(zhì).體會(huì)類比、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及歸納、猜想、證

明的過(guò)程.等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1復(fù)習(xí)回顧1.等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從

起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的

等于

，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，公比通常用字母

表示()第2項(xiàng)比同一常數(shù)注意：等比數(shù)列的任意一項(xiàng)和公比都不能為零！公比qq≠0復(fù)習(xí)回顧1.等比數(shù)列的定義：第2項(xiàng)比同一常數(shù)注意：等比數(shù)列的2正負(fù)相間擺動(dòng)數(shù)列非零的常數(shù)列相同相同q>0且q≠1正負(fù)相間擺動(dòng)數(shù)列非零的常數(shù)列相同相同q>0且q≠133.如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成

，那么G叫做a與b的

.等比數(shù)列等比中項(xiàng)注意：1．G是a與b的等比中項(xiàng)，則a與b的符號(hào)

，符號(hào)相反的兩個(gè)實(shí)數(shù)不存在等比中項(xiàng)．G＝

，即等比中項(xiàng)有

，且互為

．2．當(dāng)G2＝ab時(shí)，G不一定是a與b的等比中項(xiàng)．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比數(shù)列.相同兩個(gè)相反數(shù)3.如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b等比數(shù)列等比44.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式注意：從方程的觀點(diǎn)看等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，an＝a1·qn-1中包含了四個(gè)量an、a1、q、n，已知其中的任意

個(gè)量，可以求得

個(gè)量．三另一an＝a1·qn-14.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式注意：從方程的觀點(diǎn)看等比數(shù)列的通項(xiàng)公式55.等比數(shù)列的判定(1)定義法：

＝q(q為常數(shù)且q≠0)或

＝q(q為常數(shù)且q≠0，n≥2)?{an}為等比數(shù)列．(2)等比中項(xiàng)法：

(an≠0，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q為非零常數(shù)，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列．5.等比數(shù)列的判定6新課講授(1)在等差數(shù)列{an}中

若m＋n＝s＋t,則am＋an＝as＋at.(1)在等比數(shù)列{an}中若m＋n＝s＋t,則

.猜想證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則am＋an＝a1+

(m-1)d+a1+(n-1)d＝

2a1+

(m+n-2)d

＝

2a1+

(s＋t-2)d

＝a1+

(s-1)d+a1+(t-1)d＝as＋at證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,則am·an＝a1·q

m-1

·a1·q

n-1＝a1·a1·q

m+n-2＝a1·a1·q

s+t-2

＝a1·q

s-1

·a1·q

t-1

＝as·at1.等比數(shù)列的性質(zhì)思路：先把a(bǔ)m、an用基本量表示再求和am·an＝as·at新課講授(1)在等差數(shù)列{an}中(1)在等比數(shù)列{an}中7(2)在等差數(shù)列{an}中

若m＋n＝2k，則am＋an＝2ak.(2)在等比數(shù)列{an}中若m＋n＝2k，則

.證明：

∵m＋n＝2k＝k＋k

∴am＋an＝

ak＋

ak＝2ak猜想證明：

∵m＋n＝2k＝k＋k

∴am·an＝

ak·

ak＝ak2am·an＝ak2

等差數(shù)列{an}的這兩條性質(zhì)可以概括為：

下標(biāo)之和相等，則通項(xiàng)之和相等.等比數(shù)列{an}的這兩條性質(zhì)可以概括為：下標(biāo)之和相等，則通項(xiàng)之積相等.(2)在等差數(shù)列{an}中(2)在等比數(shù)列{an}中證明：8(3)對(duì)等差數(shù)列{an}

中任意兩項(xiàng)am

,an，都有an＝am＋(n-m)d.證明：由等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式得an＝

a1＋(n-1)d①am

＝a1＋(m-1)d②

①-②得

an-am＝(n-m)d

∴an＝am＋(n-m)d猜想證明：由等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式得an＝

a1·q

n-1①am

＝a1·q

m-1

②

①÷②得

an÷am＝

q

n-m

∴an＝am·q

n-m(3)對(duì)等比數(shù)列{an}

任意兩項(xiàng)am

,an，都有

.an＝am·q

n-m(3)對(duì)等差數(shù)列{an}中任意兩項(xiàng)am,an，都有證明9性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列1若m＋n＝s＋t，則am＋an＝as＋at.若m＋n＝

s＋t，則am·an＝as·at.2若m＋n＝2k，則am＋an＝2ak.若m＋n＝2k，則am·an＝ak2.相同點(diǎn)不同點(diǎn)3{an}中任意兩項(xiàng)am,

an都有an＝am＋(n-m)d.{an}中任意兩am,an，都有an＝am·q

n-m

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)等式左右兩邊都有兩項(xiàng)等式左右兩邊都是兩項(xiàng)的和等式左右兩邊都是兩項(xiàng)的積性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列1若m＋n＝s＋t，若m＋n＝s＋t10在等比數(shù)列{an}中，判斷下列等式是否成立辨析√××√在等比數(shù)列{an}中，判斷下列等式是否成立辨析√××√11典型例題典型例題12例2已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．例2已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a3＋a7＝20，a1a913性質(zhì)應(yīng)用20±4±64性質(zhì)應(yīng)用20±4±6414課堂達(dá)標(biāo)210課堂達(dá)標(biāo)21015性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列1若m＋n＝s＋t，則am＋an＝as＋at.若m＋n＝

s＋t，則am·an＝as·at.2若m＋n＝2k，則am＋an＝2ak.若m＋n＝2k，則am·an＝ak2.相同點(diǎn)不同點(diǎn)3{an}中任意兩項(xiàng)am，an，都有an＝am＋(n