彈性力學(xué)第二章 張量基礎(chǔ)知識

彈性力學(xué)第二章張量基礎(chǔ)知識第1頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量§2-1坐標(biāo)系和矢量如圖2.1，三維空間直角坐標(biāo)系Oxyz,張量:簡潔、統(tǒng)一、物理意義明確、與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)P點(diǎn)坐標(biāo)（x,y,z)P點(diǎn)坐標(biāo)可記為：正方向的單位基矢量(2.1)第2頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量P點(diǎn)坐標(biāo)為：(2.2)如圖2.1,原點(diǎn)O到P點(diǎn)的矢量為P點(diǎn)的矢徑,用r表示第3頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量顯然，指標(biāo)i,j,k與求和無關(guān)，可用任意字母代替。為簡化表達(dá)式，引入Einstein求和約定：每逢某個指標(biāo)在一項(xiàng)中重復(fù)一次，就表示對該指標(biāo)求和，指標(biāo)取遍正數(shù)1，2，…，n。這樣重復(fù)的指標(biāo)稱為啞標(biāo)。于是n表示空間的維數(shù)，以后無特別說明，我們總?cè)=3。例題A:求和約定、啞指標(biāo)第4頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量雙重求和展開式（9項(xiàng)）三重求和（27項(xiàng)）第5頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量是違約的，求和時要保留求和號B:自由指標(biāo)例如指標(biāo)i在方程的各項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，稱之為自由指標(biāo)。一個自由指標(biāo)每次可取整數(shù)1,2,3,…,n，與啞標(biāo)一樣，無特別說明總?cè)=3。于是，上式表示3個方程的縮寫：第6頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量i為自由指標(biāo)，j為啞標(biāo)表示第7頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月i，j為自由指標(biāo)，k為啞標(biāo)表示9個方程：……第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量第8頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月C:Kroneckerdelta符號在卡氏直角坐標(biāo)系下，Kroneckerdelta符號定義為：其中i，j為自由指標(biāo)，取遍1，2，3；因此，可確定一單位矩陣：第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量第9頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月若是相互垂直的單位矢量，則，但而，故第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量(2.3)的作用：1）換指標(biāo)；2）選擇求和。例：注意：是一個數(shù)值，即第10頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月例例個數(shù)，項(xiàng)的和。求特別地，第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量第11頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量任意兩矢量a和b的點(diǎn)積矢量a的模(2.4)兩矢量a和b用正交基表示,則其點(diǎn)積為第12頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量D:置換符號Permutationsymboli,j,k為順序排列i,j,k有兩個相等例如：i,j,k為逆序排列(2.5)可見：也稱為三維空間的排列符號。第13頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量任意兩矢量a和b的叉積由叉積定義,若是直角坐標(biāo)系的單位基矢量則(2.6)(2.8a)(2.7)aba×b第14頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量式(2.8a)可寫為(2.８b)三矢量a,b,c的混合積(2.9)a,b,c為共點(diǎn)棱的平行六面體的體積，a,b,c構(gòu)成右手系為正第15頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量Ｅ:Kroneckerdelta符號與置換符號Permutationsymbol的關(guān)系(2.10)證明(1).i,j,k有兩個相同時，上式成立，同理，l,m,n有兩個相同時，上式也成立(2).不同時,由下式交換行(a)第16頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量(b)(3).同理,由(b)式交換列可得到(2.10)式從(2.10)式可得到下面幾個有用的恒等式第17頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量即(2.11)第18頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量(2.12)(2.13)二重叉積即(2.14)第19頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月F:坐標(biāo)變換舊坐標(biāo)系：新舊基矢量夾角的方向余弦：單位基矢量：新坐標(biāo)系：單位基矢量：

舊新第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量(2.15)第20頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量

新舊(2.16)變換系數(shù)第21頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-1坐標(biāo)系和矢量即(2.17)任一矢量u在新舊坐標(biāo)中表示一致利用(2.15)則即(2.18)矢量u本身與坐標(biāo)無關(guān),矢量的分量ui隨坐標(biāo)系而變第22頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-2張量的定義§2-2張量的定義推廣矢量的概念若在空間任一組基下,有用n個指標(biāo)編號的個數(shù)當(dāng)基矢量按變換成時,個數(shù)按如下規(guī)律變換張量的定義 (2.19)為對應(yīng)基下的張量分量,有時稱為n階張量.

個數(shù)的有序集合為一個n階張量.稱第23頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-2張量的定義標(biāo)量零階張量，不隨坐標(biāo)變換而變的不變量矢量一階張量，一個矢量的某一分量不是標(biāo)量，它隨坐標(biāo)系的變化而變化矢量的三種記法：不變性記法如T；基矢量的線性組合法；用矢量分量表示即并矢記法。一個n階張量的并矢記法：(2.20)n個基矢量并寫在一起，稱為基張量其有基張量.第24頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-2張量的定義二階張量T第25頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-2張量的定義…二階的基張量共9個張量的另一個定義在某一坐標(biāo)系中,某一個量T可表示成式(2.20)的形式,則T是一個n階張量.(2.20)第26頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-2張量的定義在一個坐標(biāo)系中,某一張量的所有分量為零,按定義(2.19),則在其它坐標(biāo)系中的所有分量也為零,這個張量為零張量,O例:證明是一個三階張量(置換張量)滿足變換規(guī)律(2.19),即是一個三階張量例:和是兩個任意矢量,是標(biāo)量.證明是一個二階張量證:和是任意的,得證二階張量第27頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-3張量代數(shù)§2-3張量代數(shù)A:張量的線性組合同階張量可進(jìn)行線性組合運(yùn)算,結(jié)果仍為同階張量A,B是二階張量,α和β是標(biāo)量,則(2.21)交換律:A+B=B+A結(jié)合律:A+B+C=A+(B+C),(αβ)A=α(βA)分配律:(α+β)A=αA+βAα(A+B)=αA+αB第28頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-3張量代數(shù)B:張量的縮并在張量的并矢記法中,對某兩個基矢量進(jìn)行點(diǎn)積,則原張量降低兩階成為一個新的張量,如(2.22)證明是二階張量第29頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-3張量代數(shù)C:張量的并積張量積兩個張量的并積(2.23)n階張量A與p階張量B的并積為C,則C定義為C是(n+p)階張量一般情況下,第30頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-3張量代數(shù)D:張量的點(diǎn)積張量點(diǎn)積兩個張量的點(diǎn)積是先并再縮,如(2.24)雙點(diǎn)積兩個張量的點(diǎn)積是先并再縮二次(2.25)第31頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-3張量代數(shù)E:張量的叉積張量叉積是矢量叉積的推廣,如(2.26)兩個二階張量的叉積第32頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-3張量代數(shù)F:張量的商法則設(shè)有個數(shù),對任意q階張量,按下式計算總得一個p階張量,則必為一個(p+q)階張量證:為簡單,取p=q=2因C,B為張量,故(a)(b)(c)第33頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-3張量代數(shù)則四階張量結(jié)論:設(shè)有個數(shù),對任意m階張量,定義若為n+m階張量,則必為n階張量第34頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-4二階張量§2-4二階張量二階張量T仿射量,線性變換v,u為矢量,用矩陣表示則A,B為二階張量則A:二階張量的矩陣表示(2.27)(2.28)第35頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-4二階張量B:二階張量的行列式(2.29)二階張量的行列式與坐標(biāo)無關(guān),是不變量.與單位矩陣[I]對應(yīng)的張量叫單位張量I單位張量I與除標(biāo)量外的任意張量B的點(diǎn)積仍為B單位矩陣[I](2.30)第36頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-4二階張量C:二階張量的逆與轉(zhuǎn)置若T,對B有:T·B=B·T=I,則T可逆,B=T-1為逆張量充要條件:T的行列式不為零對定義B為A的轉(zhuǎn)置張量轉(zhuǎn)置張量的運(yùn)算性質(zhì):A,B是二階張量,u,v是任意矢量(2.31)(2.32)(2.33)第37頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-4二階張量逆張量運(yùn)算性質(zhì):A,B是二階張量(2.35)(2.34)(2.36)(2.37)D:二階張量的對稱與反對稱若則A是對稱二階張量若即則A是反對稱二階張量任意一個二階張量T可表示成一個對稱張量S和一個反對稱張量W之和(2.38)(張量的加法分解)第38頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-4二階張量(2.39)(2.40)對任一反對稱張量W,必存在唯一一個矢量ω,使得(2.41)對任意矢量v成立因式(2.41)成立ω為對應(yīng)于反對稱張量W的軸向矢量.第39頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-4二階張量(2.42)V任意,則上式乘enij,則利用等式(2.12)即(2.43)上二式說明反對稱張量和其軸向矢量是一一對應(yīng)的(2.12)第40頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示§2-5對稱二階張量的譜表示某二階對稱張量S,若存在一個數(shù)λ和單位矢量a,使得(2.44a)成立,則λ為張量S的特征值(主值),a為張量S對應(yīng)特征值λ的特征矢量(主方向).根據(jù)商法則,λ為標(biāo)量.單位矢量a(2.44b)(2.45)(2.46a)展開第41頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示其中(2.46b)(2.47)分別為S的第一、第二和第三不變量張量S的跡式(2.46)為S的特征方程上式展開與(2.46b)比較第42頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示(2.48)式(2.46)求出特征值，利用（2.45)和（2.44b)求出特征矢量特征值和特征矢量的性質(zhì)1.互不相等的特征值對應(yīng)的特征矢量相互垂直2.三個特征值都是實(shí)數(shù)證性質(zhì)1.特征值對應(yīng)特征矢量a和b(2.44a)第43頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示證性質(zhì)2.是S的任一特征值，對應(yīng)特征矢量a共軛復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)規(guī)定張量S的譜第44頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示譜定理：設(shè)S是一個對稱二階張量,則必定存在由其特征矢量構(gòu)成的一組單位正交基,和ei對應(yīng)的特征值構(gòu)成S的譜,且有(2.49)反之,如果S具有(2.49)的形式,且e1、e2和e3是相互正交的單位矢量,則和ei分別是S的特征值和對應(yīng)的特征矢量證(1)，三個特征值互不相等，對應(yīng)的ei互相垂直以ei為基矢量，則第45頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示則譜分解式（2.49）成立(2),二個特征值相等,另一個不同，設(shè)取則是相互垂直的右手系解上兩式得由(2.48),(2.47)第46頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示得則(2.50)由得e3也是對應(yīng)于λ2的特征向量設(shè)則和e1垂直的任何方向都是S的對應(yīng)于λ2的主方向.e2可取與e1垂直的任一單位矢量(3),三個特征值相等第47頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示(3),三個特征值相等取e1與λ1對應(yīng),取與e1垂直的e2,再取e3=e1×e2則是相互垂直的右手系解得由(2.48),(2.47)解上兩式得得顯然(2.51)第48頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示即都是S的特征矢量設(shè)任一矢量有這表明任一方向都是S的主方向.任取三個相互垂直的單位矢量作為基矢量,式(2.49)成立第49頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示重要結(jié)論：證:由n得基矢量(c)(d)由(c)和(d),去n1得設(shè)S是二階對稱張量,是S的譜,是和譜對應(yīng)的三個相互正交的特征矢量,n是任意單位矢量,則函數(shù)的最小值為,且,f(n)的最大值為,且.第50頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-5對稱二階張量的譜表示(e)(f)由(e)得f取最大值由(f)得f取最小值由(c)和(d),去n3得第51頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-6張量分析§2-6張量分析A:標(biāo)量的矢量函數(shù)一個張量F依賴于另一張量T而變化矢量u是t的函數(shù),ui也是t的函數(shù),如ui可導(dǎo),則矢量u對t的導(dǎo)數(shù)為:(2.53)(2.52b)第52頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-6張量分析B:矢量的標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量f是矢量u的函數(shù)即若f可連續(xù)偏導(dǎo),則(2.54)f對u的導(dǎo)數(shù)是一個矢量(2.55)第53頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-6張量分析C:矢量的矢量函數(shù)矢量u是矢量v的函數(shù)即若ui的偏導(dǎo)連續(xù).則(2.56a)(2.56b)(2.57)稱為u對v的導(dǎo)數(shù),是一個二階張量第54頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-6張量分析若標(biāo)量f是二階張量Tij的函數(shù),即D:二階張量的標(biāo)量函數(shù)若f對二階張量Tij的偏導(dǎo)連續(xù),則(2.58)(2.59)f相對于T的導(dǎo)數(shù),二階張量第55頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-6張量分析(2.60)若是定義在空間區(qū)域的張量,是一個張量場,則則對坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)記為(二階張量)則的導(dǎo)數(shù)和微分記為(2.61)(2.62)第56頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-6張量分析E:梯度、散度和旋度Hamilton

算子(2.63)則的導(dǎo)數(shù)和微分改寫為(2.64)(2.65)右梯度同樣定義左梯度(2.66)第57頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-6張量分析顯然(2.67)若是一個標(biāo)量(2.68)標(biāo)量場的梯度若是一個矢量是二個二階張量，若是一個二階張量第58頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-6張量分析若是一個矢量，其div散度定義為(2.69)矢量的散度為一標(biāo)量場若是一個二階張量，其左右散度分別定義為二階張量的左右散度為矢量若是一個二階對稱張量，第59頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-6張量分析矢量u的旋度定義設(shè)u是矢量場,(2.70)是反對稱張量則w的軸向矢量為第60頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-6張量分析Laplace算子(2.71)(2.72)對一個n階張量對一個標(biāo)量(2.73)若則是調(diào)和函數(shù)第61頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-7積分定理§2-7積分定理在數(shù)學(xué)分析中,存在如下等式(2.74)式中,V表示空間的某一區(qū)域,S這一區(qū)域的表面,n=niei是S的外法線單位矢量,是V中具有連續(xù)偏導(dǎo)的場函數(shù)例:矢量令(2.75)令上式的i=j,得高奧公式(2.76)第62頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-7積分定理例:二階張量令(2.77)規(guī)律:面積分中的被積函數(shù)有因子ni,去掉ni,被積函數(shù)的其余部分對xi求偏導(dǎo)就得體積分中的被積分中函數(shù)例:(2.78)V表示空間的某一區(qū)域,S這一區(qū)域的表面,n=niei是S的外法線單位矢量,是V中任意階的光滑張量場“?！北硎静⒎e、點(diǎn)積、叉積等任何一種運(yùn)算，則第63頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章張量基礎(chǔ)知識§2-7積分定理(2.79)(2.80)例:二階張量令“。”取點(diǎn)積(2.79)為(2.77)直接記法以上積分對二維情況也成立定理是定義在區(qū)域V中的一個連續(xù)函數(shù)，D是V的任意一個子區(qū)域，下式成立的充要條件是第64頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章