彈塑性力學第十一章

彈塑性力學第十一章2023/8/141第1頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型1.1單向拉壓實驗：不同材料在單向拉壓實驗中，有不同的應力－應變曲線。BAC

s

o

p

e

e

pBAC

s

o

p

e

’sO’軟鋼

-

合金鋼

-

2023/8/142第2頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型

當應力－應變曲線在OA范圍內變化，材料為彈性變化。當應力達到

s時（軟鋼有明顯屈服發(fā)生(AB段），合金鋼無明顯屈服發(fā)生）將發(fā)生塑性變形。確定材料發(fā)生塑性變形的條件為BAC

s

o

p

e

e

pBAC

s

o

p

e

’sO’軟鋼

-

合金鋼

-

2023/8/143第3頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型

f(

)=

-

s=0

初始屈服條件（函數）

當軟鋼應力達到A點后，軟鋼有明顯屈服（塑性流動）階段。經過屈服階段后，荷載可再次增加（稱為強化階段，BC段），但強化階段

增幅較少。BAC

s

o

p

e

e

pBAC

s

o

p

e

’sO’軟鋼

-

合金鋼

-

2023/8/144第4頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型對于此種材料（有明顯屈服流動，強化階段應力較少）屈服條件是不變的。當應力滿足屈服條件時，卸載將有殘余變形，即塑性變形存在。卸載按線性彈性。BAC

s

o

p

e

e

pBAC

s

o

p

e

’sO’軟鋼

-

合金鋼

-

2023/8/145第5頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型

而對于合金鋼，無明顯屈服，當

s時進入強化階段，在加載即發(fā)生彈性變形和塑性變形，卸載按線彈性。對于強化特性明顯的材料，由O’點繼續(xù)加載，在O’B段又是線性彈性變化，當

達到B點再次發(fā)生塑性變形，BAC

s

o

p

e

’sO’

-

’s=0——后繼屈服函數

’s=’s(p)2023/8/146第6頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型BAC

s

o

’sO’’

s’’

包辛格效應

當卸載后，反向加載時，有些金屬材料反映出反向加載的屈服極限

’’s

s

——稱為包辛格效應（Bauschinger.J.德國人）。2023/8/147第7頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型小結：（1）在彈性階段（

s）：=

e

應力應變關系一一對應。（2）當應力達到初始屈服條件（

=

s時），材料進入彈塑性階段，

=

e+p，應力－應變關系不再是一一對應關系，而要考慮加載變形歷史。（3）對于有明顯屈服流動且強化階段較小的材料，屈服條件采用初始屈服條件。對于無明顯屈服流動且強化階段較高的材料，將有后繼屈服函數產生。（4）有些強化材料具有包辛格效應。2023/8/148第8頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型1.2常見的幾種簡化力學模型

1.理想彈塑性模型：加載時：

=E

s

=

s

s

s

o

s理想彈塑性模型2023/8/149第9頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型2.線性強化彈塑性模型：加載時：

=E

s

=E

s+Et(-

s)

s

s

o

sEEt線性強化彈塑性模型2023/8/1410第10頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型在實際問題中，有時當彈性應變

e

p

塑性應變，可忽略彈性變形。上述兩種模型分別簡化為：

s

時,

=0

s

o

=

s

s

oEt

s+Et

理想剛塑性模型

線性強化剛塑性模型2023/8/1411第11頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型1.3金屬材料在靜水壓力實驗：

前人（Bridgman）對大量金屬進行水壓力實驗及拉壓和靜水壓力聯合實驗，得到下列結果：在靜水壓力(高壓)p作用下,金屬體積應變e=

V/V=p/k成正比，當p達到或超過金屬材料的

s時，e與p仍成正比；并且除去壓力后，體積變化可以恢復，金屬不發(fā)生塑性變形。2023/8/1412第12頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-1金屬材料的力學實驗及幾種簡化力學模型2.金屬受靜水壓力和拉壓聯合作用與金屬單獨受拉壓作用比較，發(fā)現靜水壓力對初始屈服應力

s沒有影響。結論：靜水壓力與塑性變形無關。2023/8/1413第13頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析1.拉壓桿的彈塑性問題圖示為兩端固定的等截面桿(超靜定桿)，

aPN2EAxN1b設材料為理想彈塑性材料，在x=a處（b

a）作用一逐漸增大的力P。平衡條件:

N1+N2=P變形協調條件：

a+b=0

s

o

s理想彈塑性模型2023/8/1414第14頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析（1）彈性解：

當桿處于彈性階段，桿兩部分的伸長為代入變形協調方程為或由于b

a，所以N1

N2

，將代入平衡方程。2023/8/1415第15頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析

得

最大彈性荷載力P

作用點的伸長為

2023/8/1416第16頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析(2)彈塑性解Pp

P

Pe:P=Pe

后，P可繼續(xù)增大，而N1=

sA

不增加（a段進入塑性屈服，但b段仍處于彈性）N2=P-N1=P-

sA

力P

作用點的伸長取決于b段桿的變形2023/8/1417第17頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析2023/8/1418第18頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析(3)塑性解：

PPpPe

e

N1=

sA,N2=sA

這時桿件變形顯著增加，喪失承載能力則最大荷載Pp=2sA——極限荷載2023/8/1419第19頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析作業(yè)：圖示桁架各桿截面面積為A,材料為理想彈塑性,求荷載

P

與C

點豎向位移

關系。

PABCDl2023/8/1420第20頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析

-

s

s(1)材料為理想彈塑性;xMMy2.梁的彈塑性彎曲

2.1

假設:

(2)平截面假設(適用于l

h);(3)截面上正應力

x

對變形影響為主要的;2023/8/1421第21頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析2.2梁具有兩個對稱軸截面的彈塑性彎曲:(1)梁的彎矩zybh在線彈性階段彈性極限狀態(tài)（設矩形截面）:M=Me在截面上y=h/2處，

或——最大彈性彎矩xMMy2023/8/1422第22頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析h/2-+

s

s

s

s-+y0y0y彈塑性階段：Mp

M

Me彎矩繼續(xù)增大，截面上塑性區(qū)域向中間擴展，塑性區(qū)域內的應力保持不變，截面上彎矩為2023/8/1423第23頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析當y0=h/2時：h/2-+

s

s

s

s-+y0y0y——最大彈性彎矩2023/8/1424第24頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析當y0=0時：h/2-+

s

s

s

s-+y0y0y-

s

s+——極限彎矩2023/8/1425第25頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析令

=Mp/Me=1.5（矩形截面）

——

截面形狀系數。

1.51.71.15-1.17截面形狀2023/8/1426第26頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析

截面彎矩達到極限彎矩時，其附近無限靠近的相鄰兩截面可發(fā)生有限相對轉角，該截面稱為塑性鉸。

對于靜定梁，截面彎矩達到極限彎矩時，結構變成機構，承載力已無法增加。這種狀態(tài)稱為極限狀態(tài)。2023/8/1427第27頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析（2）梁彈塑性彎曲時的變形在線彈性階段，梁彎矩和曲率的關系為線性關系M=EI

(M

Me),或

將應力與彎矩關系式

代入上式,可得2023/8/1428第28頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析在彈塑性階段，由于梁彎曲時截面仍然保持平面，可得或代入梁彈塑性彎曲時M的表達式

得

s

s-+y0y0y2023/8/1429第29頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析

(M

Me)MMpMe

e

o(3)梁彈塑性彎曲時的卸載：卸載是以線彈性變化，卸載后梁截面的彎矩M=0,但截面內的應力不為零，有殘余應力存在。以矩形截面為例：2023/8/1430第30頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析

s+-+-

s+=--++2023/8/1431第31頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析2.3梁具有一個對稱軸截面的彈塑性彎曲:xMMyzybh

具有一個對稱軸截面梁的彈塑性彎曲特點：隨著彎矩的增大，中性軸的位置而變化。中性軸的位置的確定：2023/8/1432第32頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析zybh

在彈性階段：應力為直線分布，中性軸通過截面的形心。

最大彈性彎矩

Me=

sW-+

s2023/8/1433第33頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析zybh

-+

s

s+-F1F2在彈塑性階段：中性軸的位置由截面上合力為零來確定:

F1=F22023/8/1434第34頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析-+

s

s-+

s

s+-F1F2zybh

在塑性流動階段：受拉區(qū)應力和受壓區(qū)應力均為常數，中性軸的位置由截面上合力為零來確定:F1=F2

或

sA1=sA2

得A1=A2

——中性軸的位置由受拉區(qū)截面面積等于受壓區(qū)截面面積確定。2023/8/1435第35頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析極限彎矩

Mp=

s(S1+S2)

S1和S2分別為面積A1和A2對等面積軸的靜矩。作業(yè)：已知理想彈塑性材料的屈服極限為

s,試求(1)圖示梁截面的極限彎矩Mp,（2）當M/Me=1.2時，y0的值為多少?aazya)aazyb)2023/8/1436第36頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析

超靜定梁由于具有多余約束，因此必須有足夠多的塑性鉸出現，才能使其變?yōu)闄C構。

下面舉例說明這個過程。

一端固定、一端簡支的等截面梁，跨中受集中荷載作用。2.4超靜定梁的極限荷載Pl/2l/2ACB2023/8/1437第37頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析固定端彎矩最大，2）在彈塑性階段：固定端首先發(fā)生塑性區(qū)域，隨著荷載增加、固定端成為第一個塑性鉸。1）在線彈性階段Pl/2l/2ACBP6Pl/32ACB5Pl/32Pe<P<PPMPACB2023/8/1438第38頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析

固定端彎矩保持Mp，當荷載增加到極限荷載時，跨中彎矩達到Mp。3）極限狀態(tài)Pl/2l/2ACBMPMP

極限荷載Pp的確定可采用靜力法，也可采用虛功法

。Pe<P<PPMPACB2023/8/1439第39頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析

根據平衡方程靜力法Pl/2l/2ACBMPMP虛功法求得PpPMPMP2023/8/1440第40頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析結構在極限狀態(tài)時，應滿足3個條件（1）、機構條件——成為幾何可變體系（2）、內力極限條件——內力不超過極限彎矩（3）、平衡條件——始終滿足平衡條件2023/8/1441第41頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-2一維問題彈塑性分析作業(yè)：已知理想彈塑性材料的等截面梁，試求極限荷載。Pll(b)Pll(a)2023/8/1442第42頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數3.1應力偏量的不變量和應變偏量的不變量：在第二章第六節(jié)介紹了應力張量分解：其中Sij

為應力偏量。類似應力張量分解，可將應變張量分解為：2023/8/1443第43頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數應力張量

ij存在三個不變量

、

和

。2023/8/1444第44頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數類似

、

和

的定義。1.可求應力偏量

sij

的三個不變量：

2023/8/1445第45頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數2023/8/1446第46頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數2023/8/1447第47頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數2023/8/1448第48頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數在主軸方向：2023/8/1449第49頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數2.應變偏量eij

的三個不變量：

第一不變量：第二不變量：2023/8/1450第50頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數在主軸方向：第三不變量：2023/8/1451第51頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數在單向拉伸時，三個主應力已知：

1

0、2=3=0

代入

J2表達式,得對于三維應力狀態(tài)，定義每一點應力狀態(tài)都存在力學效應相同的等效應力

e

3.2等效應力

e

和等效應變

e

：

1.等效應力

e

(應力強度)：

或

——等效應力2023/8/1452第52頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數2023/8/1453第53頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數2.等效應變

e

：

單向拉伸時

1

0、

2=3=-1

代入

表達式,得2023/8/1454第54頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數當桿受拉伸進入塑性階段，認為體積應變

e=0，即

1+

2+

3=(1-2

)

1=0,得此時類似于

e

的定義，在三維應力狀態(tài)定義等效應變

e：2023/8/1455第55頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數

e以發(fā)生塑性變形定義的量（由

1、2、3

定義）2023/8/1456第56頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數這個等效應變增量d

e在建立彈塑性應力應變關系增量理論用到

在變形過程中的每一瞬時，發(fā)生應變增量（d1、d2、d3），則可定義瞬時的等效應變增量：2023/8/1457第57頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數M

(

1+

3)/2

1

2

3P1P3P23.3羅德（Lode）參數：1.應力羅德參數：在應力莫爾圓中描述一點的應力狀態(tài)

1

2

3，當1、3確定,則最大圓半徑確定(1-3)/2，但2的變化可導致兩個內圓的比例或大小。這兩個內圓的比例或大小可由羅德參數描述。2023/8/1458第58頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數M為P1和P3的中點,定義應力羅德參數

M

(

1+

3)/2

1

2

3P1P3P22023/8/1459第59頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數當

2=1時,,

=1當

2=3時,

=-1

-1

12023/8/1460第60頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-3

應力、應變偏量的不變量和等效應力

e、等效應變

e、羅德（Lode）參數2.應變羅德參數：

2023/8/1461第61頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件4.1一維問題屈服條件:

一維問題包括：桿系的拉壓（桁架）問題、圓桿扭轉問題、梁的純彎曲問題。這些問題每一點的應力狀態(tài)（在彈性和彈塑性階段）主方向始終不變，且知道它們的方向，所以了解不同材料在單向桿件拉壓的屈服條件就可以應用到上述問題。2023/8/1462第62頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件4.1一維問題屈服條件:

1.屈服條件：

理想彈塑性材料的屈服條件為：

f(

)=

-k=-

s=0

s

o

pE在屈服階段，發(fā)生塑性變形。卸載后，再加載屈服條件不變。2023/8/1463第63頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件

s

o

pEEt

eABDFC線性強化彈塑性材料的屈服條件：加載：當

s時，材料為彈性變形；當

=s時，開始發(fā)生塑性變形:f()=

-k=-

s=0——初始屈服函數當

s是強化階段，發(fā)生彈塑性變形。2023/8/1464第64頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件卸載：如在強化階段的B點卸載，按線彈性卸載至C點，有塑性應變保留（

p=-

e=-

E）。如再次加載，則由C點沿CB按線彈性變化（不產生新的塑性變形）。

s

o

pEEt

eABDFC當應力達到

B點時，B點應力為新的屈服極限，稱為后繼屈服極限。2023/8/1465第65頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件f(

)=

-k=-

B=0

——后繼屈服函數。

k=H(p)——k與塑性變形歷史有關。

s

o

pEEt

eABDFC2023/8/1466第66頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件或：

2023/8/1467第67頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件

s

o

pEEt

eABDFC2023/8/1468第68頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件小結：

理想彈塑性和強化彈塑性材料的一維屈服函數形式均可寫成

f(

)=

-k=0

——后繼屈服函數k=

s

理想彈塑性k=H(p)

強化彈塑性2023/8/1469第69頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件2.加載、卸載準則:對于一維問題屈服條件已建立，由前面的討論可知：強化材料，當

s時，加載和卸載的應力應變關系是不同的，加載服從于彈塑性規(guī)律；卸載服從彈性關系。這是材料在塑性階段的一個重要特點，所以需要有一個判別材料是加載還是卸載的準則。

2023/8/1470第70頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件強化材料：f(

)=

-k=0

d

0

加載過程（從一個屈服點到達后繼

的另一屈服點

d=Etd=Et(de+dp)）

d

0

卸載過程

d=Ed

d

=0

中性變載

s

oEEtAB2023/8/1471第71頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件理想彈塑性材料：

d

=0

加載過程

d=0

d

0

卸載過程

d=Ed

s

oEB2023/8/1472第72頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件4.2三維應力狀態(tài)的屈服條件1.金屬材料三維應力狀態(tài)的屈服條件與何有關三維應力狀態(tài)的屈服條件

f=0

與何有關？f(

ij,k)=f(1,2,3,k)=0

類似于一維應力的屈服條件

f(

,k)=0，三維應力狀態(tài)的屈服條件應力2023/8/1473第73頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件f(

ij,k)=f(1,2,3,k)=0

k=const

——

理想彈塑性材料

k=H((

ij)p)

——

強化彈塑性材料，

與變形歷史有關。屈服條件也可寫為：f(

，

,

，k)=0

對于金屬材料的力學實驗得出靜水壓力對金屬材料的屈服無影響，則屈服條件

f=0可由應力偏量或應力偏量的不變量表示（J1=0）:2023/8/1474第74頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件f(sij,k)=f(s1,s2,s3,k)=f(J2,J3,k)=02.主應力空間和

平面

(1)主應力空間:在外載的作用下，每點產生確定的應力，通常以應力分量（張量）

ij表示，但應力張量的分量

ij隨坐標系選取的不同而變化的。但應力張量的三個主應力

1,2,3

是不隨坐標系改變而變化。以三個主應力為三維直角坐標系來討論一點應力狀態(tài)形象、直觀、易理解。2023/8/1475第75頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件以三個主應力為三維坐標系，則變形體內任一點

P的應力狀態(tài)可在主應力空間找到P(

1,2,3)相應的位置。

1R

3

2OQP(

1,

2,

3)n

——矢量表示任一點

P的三個主應力2023/8/1476第76頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件(2)

平面

平面：是通過主應力空間坐標原點

O的平面，其平面的法線為

即法線的三個方向余弦相等，均為

2023/8/1477第77頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件模：

(3)應力矢量沿

平面內和

平面法線（）方向分解:

1R

3

2OQP(

1,

2,

3)n

應力球張量：2023/8/1478第78頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件應力偏張量：

1R

3

2OQP(

1,

2,

3)n

應力偏張量的模：2023/8/1479第79頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件由靜水壓力實驗知：靜水壓力（應力球張量）不產生塑性變形，所以由主應力空間一點應力矢量

可見，當

增加（或減少），也增加（或減少），對塑性無影響，而使達到屈服時依賴的增加.

1R

3

2OQP(

1,

2,

3)n

2023/8/1480第80頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件換句話說，三維應力狀態(tài)的屈服函數（曲面）與

平面相交于閉合曲線，當在閉合曲線內，則P點應力是彈性的，當達到閉合曲線，P點達到屈服極限。

1R

3

2OQP(

1,

2,

3)n

2023/8/1481第81頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件3.兩個常見的屈服條件：

（1）Tresca（屈雷斯卡）屈服條件：1864年法國工程師Tresca通過金屬（鉛）作了一系列擠壓實驗，結果提出當最大剪應力達到一定數值時（k），材料進入塑性狀態(tài)。

即當：

1

2

3

（已知）

（初始屈服條件）2023/8/1482第82頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件

k

值可由實驗確定：采用純剪實驗,

1=-3=s,2=0,代入Tresca屈服條件得

1-3=s

，

則

k=s/2，得

1-3=2s

，則k=s（剪切屈服極限）.采用單向拉伸實驗：

1=s,2=3=0,

s（拉伸屈服極限）,代入Tresca屈服條件2023/8/1483第83頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件由兩個實驗結果都可得到k，如果要求兩個k值相同，則必須有

s=s/2，但對大多數金屬

s

s/2

。

1-2=2k

2-3=2k

3-1=2k

k=

s

或

k=s/2

當三個主應力大小和次序不知道時

Tresca條件：2023/8/1484第84頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件在平面問題中：

3=0，則Tresca條件為

1

3

2

1-2=2k、

2=2k

、

1=2k

1

2

2

2k

1

2k

1-

2

2k六個平面方程在主應力空間圍成正六面體2023/8/1485第85頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件（2）Mises（米澤斯）屈服條件：1913年德國力學家Mises對Tresca屈服條件進行修正，Tresca條件的不足是：a.未考慮中間主應力的影響；b.

由六個平面方程（線性函數）構成屈服函數不光滑，在數學上處理不方便，因此Mises建議用一個圓柱面代替Tresca的正六棱柱面。由于圓柱體垂直

平面的，由前面已知，圓柱面的半徑r可由應力偏量的第二不變量表示，2023/8/1486第86頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件

3

1

2——應力偏張量的模等于常數或

——Mises屈服條件k1

值可由實驗確定：如采用純剪實驗,

1=-

3=

s,

2=0,

2023/8/1487第87頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件

代入Mises屈服條件，得

。Mises

屈服條件為：如采用單向拉伸實驗：

1=s,2=3=0,代入Mises

屈服條件，得

。Mises條件為：2023/8/1488第88頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件由兩個實驗結果都可得到k1，如果要求兩個k1值相同，則必須有

，對于大多數金屬材料的剪切屈服極限和拉伸屈服極限的關系基本接近

。

如果以

s（單向拉伸）為屈服條件的控制參數，則Mises條件的曲面圓柱為Tresca正六面體的外接圓柱體。

3

1

22023/8/1489第89頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件

如果以

s（純剪切）為屈服條件的控制參數，則Mises條件的曲面圓柱為Tresca正六面體的內接圓柱體。

3

1

2

3

1

22023/8/1490第90頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件例：薄壁圓管內徑為

a,厚度為

。受拉力P和扭矩

MT共同作用，材料

s為單向拉伸屈服極限，試寫Tresca和Mises屈服條件表達式。

zPMTPMT

aa解：

薄壁圓管的應力:2023/8/1491第91頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件主應力:Tresca屈服條件（以

s屈服條件為控制參數）：

1-

3=

s

或

2023/8/1492第92頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件Mises屈服條件：或

一些韌性較好材料（如鋼、銅、鋁）的薄壁圓管的實驗結果比較符合Mises屈服條件。TrescMises0.580.51.0

z/

s

z/

s2023/8/1493第93頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件作業(yè)：薄壁圓筒容器受內壓p的作用，薄壁圓筒容器直徑D=100mm,壁厚

=5mm,材料為理想彈塑性的，屈服極限為

s=300MPa.試用Tresca和Mises屈服條件求極限壓力。Ｄp

2023/8/1494第94頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件4．加載、卸載準則（1）理想塑性材料加載和卸載因理想塑性材料不發(fā)生強化，f=0不變的。當應力在屈服面上移動f=0且加載當應力由屈服面退回屈服面內趨勢時，但f=0

且

卸載

ijd

d

nf=02023/8/1495第95頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-4屈服條件（2）強化材料加載、卸載

f=0且

加載中性變載

卸載

ijd

d

nf=0d

2023/8/1496第96頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力

設內半徑為a，外半徑為b的厚壁圓筒，在內表面處作用均勻壓力p，圓筒材料為理想彈塑性材料。本問題為軸對稱平面應變問題。abp

彈性分析當內壓

p較小時，厚壁圓筒處于彈性狀態(tài)，其中的應力分量為2023/8/1497第97頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力(a)

隨著壓力p的增加，圓筒內環(huán)向應力和徑向應力的絕對值都不斷增加，若圓筒處在平面應變狀態(tài)下，其軸向應力也在增加。2023/8/1498第98頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力

當應力分量的組合達到某一臨界值時，該處材料進入塑性變形狀態(tài)，并逐漸形成塑性區(qū)。彈塑性分析

對于厚壁圓筒的軸對稱平面應變問題，因此每一點的主應力方向都知道：

1=

、：2=z=(r+

)/2、3=r，其屈服條件可以簡化為：2023/8/1499第99頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力Mises屈服條件：Tresca屈服條件：

(b)

由于這兩種屈服條件，在這里假設的條件下只相差一個系數，因此在進行分析時可按Tresca條件計算，將結果中的

s

乘以一個系數，就變成了按Mises屈服條件的結果。2023/8/14100第100頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力

隨著壓力p

的增加，圓筒在內壁r=a

處

-

r

有最大值，即筒體由內壁開始屈服。若此時的內壓為pe

。由(a)式和(b)式可以求得彈性極限壓力為(c)

當p>pe

時，在筒體內壁附近出現塑性區(qū)，并且隨著內壓的增加，塑性區(qū)逐漸向外擴展，而外壁附近仍為彈性區(qū)。2023/8/14101第101頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力

由于應力組合

-

r的軸對稱性，塑性區(qū)與彈性區(qū)的分界面為圓柱面。

筒體處于彈塑性狀態(tài)下的壓力為pp

，彈塑性分界半徑為c。此時對于彈性區(qū)和塑性區(qū)也可按兩個厚壁圓筒分別進行討論。r=cr=cr=c2023/8/14102第102頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力

由于軸對稱性，在內筒的外壁和外筒內壁分別作用均布徑向壓力

r

r=c=q

，為求解塑性區(qū)的應力分量，應滿足平衡方程與屈服條件，即r=cr=cr=c2023/8/14103第103頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力將屈服條件代入平衡方程，即得

或

將上式進行積分，得積分常數A

可由內壁的邊界條件定出:A=-pp-

slna

。2023/8/14104第104頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力代入上式可求得

r

，再由屈服條件，可求出

，即求得塑性區(qū)的應力分量為：(d)

由上式可知，塑性區(qū)的應力分量是靜定的，它僅與內壓pp

有關，而與彈性區(qū)的應力無關。而且在塑性區(qū)內

>0,r<0

。2023/8/14105第105頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力

為求彈性區(qū)的應力分量，將彈性區(qū)作為內半徑為c

，外半徑為b

，承受內壓q

的厚壁圓筒，由(a)式可得r=cr=cr=c2023/8/14106第106頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力式中

q,c

是未知量。從彈性區(qū)來看，r=c

處剛達到屈服，對比(c)式可得(c)2023/8/14107第107頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§11-5理想彈塑性厚壁筒受內壓力將上式q代入彈性區(qū)應力分量，可得以c

表示的彈性區(qū)應力分量2023/8/14108第108頁，課件共123頁，創(chuàng)作于2023年2月§