七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題07 一元一次方程的定義(解析版)（重點(diǎn)突圍）

/專題07一元一次方程的定義考點(diǎn)一判斷各式是否是方程考點(diǎn)二列方程考點(diǎn)三方程的解考點(diǎn)四等式的性質(zhì)考點(diǎn)五一元一次方程的概念考點(diǎn)六利用一元一次方程的概念求字母的值考點(diǎn)一判斷各式是否是方程例題：（2022·四川資陽(yáng)·七年級(jí)期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】C【分析】根據(jù)方程的定義即可一一判定．【詳解】解：含有未知數(shù)的等式叫做方程，①是方程；②，不含有未知數(shù)，故不是方程；③不是等式，故不是方程；④是方程；⑤是方程；⑥不是等式，故不是方程；故方程有：①④⑤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，熟練掌握和運(yùn)用方程的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）下列四個(gè)式子中，是方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程的定義即可求出答案．【詳解】解：∵方程是指含有未知數(shù)的等式，∴只有B選項(xiàng)是方程，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用方程的定義．2．（2022·河南三門峽·七年級(jí)期末）在①；②；③；④中，方程共有（

）A．1個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】含有未知數(shù)的等式叫方程，根據(jù)方程的定義解答．【詳解】解：方程有③；④，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了方程的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二列方程例題：（2022·河北·邢臺(tái)市開元中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）根據(jù)“x的3倍與5的和比x的少2”列出方程是（

）A．3x+5=+2 B．3x+5=-2C．3（x+5）=-2 D．3（x+5）=+2【答案】B【分析】仔細(xì)審題，x的3倍即是3x，x的即是，由此根據(jù)可列出方程．【詳解】解：x的3倍與5的和是3x+5，比x的少2是，所以由題意可列方程為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查列一元一次方程，列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江杭州·一模）在地球表面以下，每下降1km溫度就上升約10℃．某日地表溫度是18℃，地下某處A的溫度是25℃．設(shè)A處在地表以下x千米，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：∵A處在地表以下x千米，每下降1km溫度就上升約10℃∴從地表到地下x千米要增加10x℃．∵地表溫度是18℃，地下某處A的溫度是25℃，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查列方程，正確理解題意是解題關(guān)鍵．2．（2022·湖南株洲·七年級(jí)期末）“的3倍與7的差等于12”可列方程為____________________．【答案】【分析】根據(jù)該數(shù)的3倍與7的差等于12，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此問(wèn)得解【詳解】解：根據(jù)題意得，3x﹣7＝12故答案為：3x﹣7＝12．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三方程的解例題：（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）下列方程中，解是的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將分別代入選項(xiàng)，能使等式依然成立的即為正確答案．【詳解】A、，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故C選項(xiàng)正確，符合題意；D、，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，將解代入方程驗(yàn)證是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽·肥西縣嚴(yán)店初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的解，則a的值是（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】C【分析】直接利用方程的解的定義代入求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的方程的解，∴，解得，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，能使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解，理解方程解的定義是關(guān)鍵．2．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級(jí)期末）已知是方程的解，則______．【答案】5【分析】將代入方程，求出a即可．【詳解】解：把代入方程得：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查方程的解的定義．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)四等式的性質(zhì)例題：（2022·河北·安新縣第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列等式的變形不正確的是（）A．若2a﹣3＝b﹣3，則2a＝b B．若x＝y(tǒng)，則C．若（m2+1）a＝﹣（m2+1），則a＝1 D．若mx＝my，則1﹣mx＝1﹣my【答案】C【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)，等式兩邊同時(shí)加上或者減去同一個(gè)整式，或者等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立，以此判斷即可得出正確選項(xiàng)．【詳解】A、若2a﹣3＝b﹣3，等式兩邊同時(shí)＋3，則2a＝b，選項(xiàng)正確，不符合題意；B、若x＝y(tǒng)，因?yàn)?，等式兩邊同時(shí)除以，則，選項(xiàng)正確，不符合題意；C、若（m2+1）a＝﹣（m2+1），因?yàn)?，等式兩邊同時(shí)除以，則a＝-1，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、若mx＝my，則等式兩邊×（-1），得﹣mx＝﹣my，兩邊同時(shí)+1，則1﹣mx＝1﹣my，選項(xiàng)正確，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等式基本性質(zhì)的理解，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南·南陽(yáng)市第九中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）下列方程變形正確的是（

）A．由4＋x＝7得x＝7＋4 B．由3x﹣2（x﹣1）＝8得3x﹣2x﹣2＝8C．由5x＝﹣6得x＝﹣ D．由＝2得8x﹣7（x﹣1）＝112【答案】D【分析】根據(jù)等式基本性質(zhì)和去括號(hào)法則逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、左邊減4，右邊加4，故A不符合題意；B、括號(hào)前是負(fù)數(shù)去括號(hào)都變號(hào)，故B不符合題意；C、兩邊除以不同的數(shù)，故C不符合題意；D、方程＝2兩邊都乘以56，可得8x﹣7（x﹣1）＝112，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)和去括號(hào)法則，熟練掌握等式基本性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．（2021·重慶·墊江第八中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）以下等式變形不正確的是（

）A．由，得到 B．由，得到C．由，得到 D．由，得到【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍成立；等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0數(shù)或字母，等式仍成立．【詳解】解：A、兩邊都加2，等式仍成立，故A正確，不符合題意；B、兩邊都加3，等式仍成立，故B正確，不符合題意；C、兩邊都乘以a，等式仍成立，故C正確，不符合題意；D、當(dāng)a≠0時(shí)，等式才成立，故D錯(cuò)誤，符合題意.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0數(shù)或字母，等式仍成立．考點(diǎn)五一元一次方程的概念例題：（2021·山東·單縣湖西學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）下列是一元一次方程的是（

）A．2＝3－1 B． C．x＋1＝5 D．－2【答案】C【分析】根據(jù)一元一次方程的通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0），進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．2=3-1，沒(méi)有未知數(shù)，不是方程，故本選項(xiàng)不合題意；B．，不是方程，故本選項(xiàng)不合題意；C．x+1=5是一元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；D．-2不是方程，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義和一般形式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川省射洪縣射洪中學(xué)外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）下列各式中：①x2－4x=3；②3x－1=；③x+2y=1；④xy－3=5；⑤5x－x=3，是一元一次方程的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①x2－4x=3中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次方程；②3x－1=符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；③x+2y=1中含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程；④xy－3=5中含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程；⑤5x－x=3符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；綜上分析可知，是一元一次方程的有2個(gè)，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的定義，含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是一次的整式方程，是一元一次方程．2．（2022·仁壽縣長(zhǎng)平初級(jí)中學(xué)校（四川省仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)初中部）七年級(jí)期中）下列方程中，一元一次方程共有(

)個(gè)①4x-3=5x-2；②3x-4y=5；③3x+1=；④+=0；⑤；⑥x-1=12A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)一元一次方程的定義得出即可．【詳解】解：①4x?3＝5x?2，是一元一次方程，符合題意；②3x-4y=5，含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，不合題意；③3x＋1＝，分母含有字母，不是一元一次方程，不合題意；④+=0，是一元一次方程，符合題意；⑤，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次方程，不合題意；⑥x?1＝12，是一元一次方程，符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程，能熟記一元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六利用一元一次方程的概念求字母的值例題：（2022·重慶·黔江區(qū)育才初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）若關(guān)于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，則k的值為（）A．2 B．1 C．0 D．0或2【答案】A【分析】根據(jù)一元一次方程的概念列出方程及不等式求解．【詳解】∵關(guān)于x的方程是一元一次方程，∴，且，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的概念，正確理解概念是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川·安岳縣興隆初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）已知方程是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是______．【答案】1【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1的方程叫做一元一次方程，根據(jù)定義求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：且m＋1≠0，解得：m＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．2．（2021·江蘇·鹽城市大豐區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程是一元一次方程，則m的值是__．【答案】【分析】根據(jù)一元一次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程）即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，解得：m=-1．故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元一次方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．一、現(xiàn)在題1．（2022·重慶黔江·七年級(jí)期末）下列方程中解是的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把x=2代入方程，判斷方程的左右兩邊是否相等，若是方程的解則左右相等，若不是則一定不相等．【詳解】解：A、把x=2代入方程得：左邊=6+6=12≠右邊，則x=2不是方程的解，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、把x=2代入方程得：左邊=-4+4=0=右邊，則x=2是方程的解，故B選項(xiàng)正確；C、把x=2代入方程得：左邊=1≠右邊，則x=2不是方程的解，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、把x=2代入方程得：左邊=4+4=8≠右邊，則x=2不是方程的解，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，正確理解定義是關(guān)鍵．2．（2021·遼寧·葫蘆島市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列各式運(yùn)用等式的性質(zhì)變形，錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A．兩邊都乘以，結(jié)果不變，故A正確，不符合題意；B．兩邊都乘以，結(jié)果不變，故B正確，不符合題意；C．當(dāng)?shù)扔诹銜r(shí)，除以無(wú)意義，故C錯(cuò)誤，符合題意；D．因?yàn)?，故等式兩邊可都除以，結(jié)果不變，故D正確，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等式的基本性質(zhì)．掌握等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)整式，等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立是解題關(guān)鍵．3．（2022·河南周口·七年級(jí)期末）已知關(guān)于x的方程的解是，則a的值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】方程的解就是能夠使方程兩邊左右相等的未知數(shù)的值，即利用方程的解代替方程中的未知數(shù)，所得到的式子左右兩邊相等．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：a=1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程解的定義，掌握將方程的解代入原方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022·福建泉州·七年級(jí)期中）已知方程是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值是（

）A．2 B．－3 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常數(shù)且a≠0），即可求解．【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元一次方程，∴，解得．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川·內(nèi)江市市中區(qū)全安鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）下列方程①－x=3

②3x－2y=4

③+x=3x

④x－6=2x⑤x－1=+1

⑥x=1

⑦3x－2=3(2+x)

中是一元一次方程的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)一元一次方程的定義判斷即可．【詳解】因?yàn)棰伲瓁=3不是一元一次方程，②3x－2y=4不是一元一次方程，③+x=3x不是一元一次方程，④x－6=2x是一元一次方程，⑤x－1=+1是一元一次方程，⑥x=1是一元一次方程，⑦3x－2=3(2+x)整理后不含未知數(shù)，不是一元一次方程，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義即含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是的整式方程，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·浙江工業(yè)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）在3x+y=6中，用含x的代數(shù)式表示y，則y=_________．【答案】y=6-3x【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)代數(shù)式，等式仍然成立，據(jù)此求解即可．【詳解】解：3x+y=6等式兩邊同時(shí)減去3x，得y=6-3x．故答案為：y=6-3x．【點(diǎn)睛】此題考查了等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等式的基本性質(zhì)．7．（2022·湖南·七年級(jí)單元測(cè)試）若是關(guān)于x的一元一次方程，則________．【答案】1【分析】把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程稱為一元一次方程，根據(jù)一元一次方程的概念即可完成解答．【詳解】由題意得：3－2a=1，解得：a=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的概念，把握一元一次方程的概念要注意三點(diǎn)：①只含一個(gè)未知數(shù)，即一元；②未知數(shù)的次數(shù)是1，即一次；③方程兩邊都是整式．8．（2022·安徽安慶·七年級(jí)期末）臨近春節(jié)，商場(chǎng)開展打折促銷活動(dòng)，某商品如果按原售價(jià)的八折出售，將盈利10元；如果按原售價(jià)的六折出售，將虧損50元．問(wèn)該商品的原售價(jià)為多少元？設(shè)該商品的原售價(jià)為x元，則列方程為______．【答案】0.8x-10=0.6x+50【分析】設(shè)該商品的原售價(jià)為x元，然后根據(jù)成本不變列出方程即可．【詳解】解：設(shè)該商品的原售價(jià)為x元，根據(jù)題意得：0.8x-10=0.6x+50，故答案為：0.8x-10=0.6x+50．【點(diǎn)睛】此題考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元一次方程，弄清題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．9．（2022·青?！の鲗幨薪逃茖W(xué)研究院七年級(jí)期末）已知是關(guān)于x的方程的解，則a=_______．【答案】-1【分析】由題意得，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：∵x=1是關(guān)于x的方程的解，∴故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握能使方程左右兩邊同時(shí)成立的未知數(shù)的值是一元一次方程的解．10．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一個(gè)一元一次方程，則a等于______．【答案】-4【分析】根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行計(jì)算即可．只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常數(shù)且a≠0）【詳解】解：由題意得：|a|-3=1且a-4≠0，∴a=±4且a≠4，∴a=-4，故答案為：-4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，絕對(duì)值，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列問(wèn)題，設(shè)未知數(shù)并列出方程：（1）用一根長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)正方形，正方形的邊長(zhǎng)是多少？（2）一臺(tái)計(jì)算機(jī)已使用，預(yù)計(jì)每月再使用，經(jīng)過(guò)多少月這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到規(guī)定的檢修時(shí)間？（3）某校女生占全體學(xué)生數(shù)的，比男生多80人，這個(gè)學(xué)校有多少學(xué)生？【答案】（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，；（2）設(shè)x月后這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到，；（3）設(shè)這個(gè)學(xué)校的學(xué)生數(shù)為x，【分析】（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)正方周長(zhǎng)公式列方程即可；（2）設(shè)x月后這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到，那么在x月里這臺(tái)計(jì)算機(jī)使用了，列出方程即可；（3）設(shè)這個(gè)學(xué)校的學(xué)生數(shù)為x，那么女生數(shù)為，男生數(shù)為，根據(jù)女生比男生多80人列方程即可．【詳解】解：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為．列方程：；（2）設(shè)x月后這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到，那么在x月里這臺(tái)計(jì)算機(jī)使用了．列方程：；（3）設(shè)這個(gè)學(xué)校的學(xué)生數(shù)為x，那么女生數(shù)為，男生數(shù)為．列方程：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，讀懂題意，列出方程是解題的關(guān)鍵．12．（2022·河北·巨鹿縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知是方程的解．（1）求m的值．（