山西省忻州市原平鐵路職工子弟中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

山西省忻州市原平鐵路職工子弟中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，BC=2，B=，當(dāng)△ABC的面積等于時(shí)，c=（）A． B． C．2 D．1參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由已知及三角形面積公式即可解得c的值．【解答】解：∵BC=2，B=，△ABC的面積=BC×AB×sinB=2×AB×，∴解得：AB=1，∴c=AB=1．故答案為：1．2.已知點(diǎn)，若直線l過點(diǎn)與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的為

()

A．

B．

C．

D．參考答案：B4.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?/p>

A.大前提錯(cuò)誤

B.小前提錯(cuò)誤

C.推理形式錯(cuò)誤

D.非以上錯(cuò)誤參考答案：A略5.設(shè)a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比數(shù)列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，則（）A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】運(yùn)用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，討論等號(hào)成立的條件，結(jié)合等比數(shù)列的定義和充分必要條件的定義，即可得到．【解答】解：由a1，a2，…，an∈R，n≥3．運(yùn)用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，若a1，a2，…，an成等比數(shù)列，即有==…=，則（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=an=0，則a1，a2，…，an不成等比數(shù)列．故p是q的充分不必要條件．故選：A．6.某人忘記了自己的文檔密碼，但記得該密碼是由一個(gè)2，一個(gè)9，兩個(gè)6組成的四位數(shù)，于是用這四個(gè)數(shù)隨意排成一個(gè)四位數(shù)，輸入電腦嘗試，那么他找到自己的文檔密碼最多嘗試次數(shù)為

A．36

B．24

C．18

D．12參考答案：D略7.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別a，b，c，且acosC,bcosB,ccosA成等差數(shù)列，則角B等于(

)

A30

B．60

C

90

D.120參考答案：B略8.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A.10

B.20

C.30

D.120參考答案：B9.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是過的弦，則的周長是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用“秦九韶算法”計(jì)算多項(xiàng)式，當(dāng)x=2時(shí)的值的過程中，要經(jīng)過

次乘法運(yùn)算和

次加法運(yùn)算。參考答案：5,512.觀察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 ……照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_____________________

參考答案：n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)213.若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)出橢圓的焦距、短軸長、長軸長分別為2c，2b，2a，通過橢圓的短軸長是長軸長與焦距的等比中項(xiàng)，建立關(guān)于a，b，c的等式，求出橢圓的離心率即可．【解答】解：設(shè)出橢圓的焦距、短軸長、長軸長分別為2c，2b，2a，∵橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等比數(shù)列，∴4b2=2a?2c，∴b2=a?c∴b2=a2﹣c2=a?c，由e=，兩邊同除以a2得：e2+e﹣1=0，解得：e=，由0＜e＜1，∴e=．故答案為：．14.周長為3cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為_______cm3.參考答案：【分析】由已知中周長為3cm的矩形,繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱,我們?cè)O(shè)出圓柱的長和寬,然后可以寫出圓柱體積的表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)法,分析出體積取最大值時(shí),自變量的值,代入即可求出圓柱體積的最大值.【詳解】解:矩形的周長為3cm設(shè)矩形的長為xcm,則寬為設(shè)繞其寬旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱,則圓柱的底面半徑為xcm,高為則圓柱的體積則當(dāng),則當(dāng)，則即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故當(dāng)圓柱體積取最大值此時(shí)故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓柱的體積,其中根據(jù)已知條件,設(shè)出圓柱的長和寬,然后可以寫出圓柱體積的表達(dá)式,是解答本題的關(guān)鍵.15.函數(shù)的值域是________．參考答案：略16.用“秦九韶算法”計(jì)算多項(xiàng)式，當(dāng)x=2時(shí)的值的過程中，要經(jīng)過

次乘法運(yùn)算和

次加法運(yùn)算。參考答案：5,517.某班有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布，已知，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?20分以上有

人.參考答案：考點(diǎn)：正態(tài)分布的性質(zhì)及運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】正態(tài)分布是隨機(jī)變量的概率分布中最有意義最有研究價(jià)值的概率分布之一.本題這個(gè)分布的是最優(yōu)秀的分布的原因是從正態(tài)分布的圖象來看服從這一分布的數(shù)據(jù)較為集中的分分布在對(duì)稱軸的兩邊,而且整個(gè)圖象關(guān)于對(duì)稱.所以解答這類問題時(shí)一定要借助圖象的對(duì)稱性及所有概率(面積)之和為這一性質(zhì),否則解題就沒了思路,這一點(diǎn)務(wù)必要學(xué)會(huì)并加以應(yīng)用.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)y=x3－3x2.（1）求函數(shù)的極小值；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間.

參考答案：解：（1）∵y=x3－3x2，∴=3x2－6x，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值-4.

（2）由=3x2-6x>0，解得x<0或x>2，

∴遞增區(qū)間是，.略19.如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，，，M為CD的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)，使，且P點(diǎn)到A、B的距離和為定值，求點(diǎn)P的軌跡E的方程；（3）過的直線與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，求面積的最大值．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x,y)(x≠0)，則又由AC⊥BD有，即，∴x2+y2=1（x≠0）.

（Ⅱ）設(shè)P（x,y），則，代入M的軌跡方程有即，∴P的軌跡為橢圓（除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn)）.要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點(diǎn)，故.∴

從而所求P的軌跡方程為9x2+y2=1(x≠0).（Ⅲ）易知l的斜率存在，設(shè)方程為

聯(lián)立9x2+y2=1，有

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，則令，則且，所以當(dāng)，即也即時(shí)，面積取最大值，最大值為．略20.(本小題滿分14分)在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與是邊長為的等邊三角形，，和平面所成的角為，且點(diǎn)在平面上的射影落在的平分線上．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．參考答案：（Ⅰ）由題意知，，都是邊長為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，，又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根據(jù)題意，點(diǎn)落在上，

……………3分∴，易求得，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面……………7分（Ⅱ）解法一：作，垂足為，連接，∵⊥平面，∴，又，∴平面，∴，∴就是二面角的平面角…………10分中，，，．∴．即二面角的余弦值為．…………14分解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，可求得．

……10分所以，所以二面角的余弦值為．

…………14分21.某高校2011年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組：第1組[160，165），第2組[165，170），第3組[170，175），第4組[175，180），第5組[180，185）得到的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求第3、4、5組的頻率并估計(jì)這次考試成績的眾數(shù)；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，該校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受甲考官的面試，求：第4組至少有一名學(xué)生被甲考官面試的概率？參考答案：【考點(diǎn)】等可能事件的概率；分層抽樣方法；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】（1）利用頻率等于頻數(shù)乘以組距得到各組的頻率，根據(jù)眾數(shù)是直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，求出眾數(shù)的估計(jì)值．（2）利用頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量得到，第3，4，5組共有60名學(xué)生，利用各組的人數(shù)與樣本容量的比乘以60得到每組抽取的人數(shù)．（3）列舉出從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)的所有的抽法，列舉出第4組的2位同學(xué)為B1，B2，至少有一位同學(xué)入選的抽法，由古典概型的概率公式求出概率．【解答】解：（1）由題設(shè)可知，第3組的頻率為0.06×5=0.3；第4組的頻率為0.04×5=0.2第5組的頻率為0.02×5=0.1．…估計(jì)這次考試成績的眾數(shù)為167．．…（2）第三組的人數(shù)為0.3×100=30人；第四組的人數(shù)為0.2×100=20人；第五組的人數(shù)為0.1×100=10人；因?yàn)榈?，4，5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組抽30×=3人；…第4組抽20×=2人；…第5組抽10×=1人；…所以第3，4，5組分別抽取出3人，2人和1人．…（3）設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組的兩位同學(xué)為B1，B2，第5組的1位同學(xué)為C1，…則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2