初升高數(shù)學(xué)銜接通用資料

初升高數(shù)學(xué)銜接第11頁共52頁初升高數(shù)學(xué)銜接班學(xué)法指導(dǎo)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、認(rèn)識(shí)初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和差異2、了解高中數(shù)學(xué)的考法3、了解高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)策略和學(xué)習(xí)方法二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1、初高中數(shù)學(xué)知識(shí)差異與學(xué)法差異2、針對高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)與考法，培養(yǎng)適合高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法、養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。三、重點(diǎn)講解：高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是：注重抽象思維，內(nèi)容龐雜、知識(shí)難度大。高中教材不再像初中教材那樣貼近生活，生動(dòng)形象，知識(shí)容量也更為緊密?？陀^的說，初高中知識(shí)之間存在斷層，正是由于這種斷層造成很多同學(xué)難以在較短時(shí)間內(nèi)適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。那么，如何做好初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接過渡，使得同學(xué)們對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)，并迅速適應(yīng)新的教學(xué)模式呢？下面我們就一起探討如何應(yīng)對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。（一）高中數(shù)學(xué)教材分析高中數(shù)學(xué)課程分為必修和選修。必修課程由5個(gè)模塊（5本書）構(gòu)成；選修課程有4個(gè)系列，其中系列1、系列2由若干模塊構(gòu)成（系列1兩本書、系列2三本書），系列3、系列4由若干專題組成。內(nèi)容涉及初等函數(shù)、數(shù)列、概率與統(tǒng)計(jì)、算法、平面解析幾何、立體幾何等等。進(jìn)入高中，我們首先學(xué)習(xí)的是《必修1》模塊，我們應(yīng)先對這一模塊有一個(gè)大體的了解?！侗匦?》模塊由兩章構(gòu)成，分別是：第一章：集合第二章：函數(shù)如何理解集合呢？集合是一種數(shù)學(xué)語言，我們要能夠使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，提高我們運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力。在初中學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)上，我們還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)，只不過高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時(shí)還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，在初中一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，我們還將學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)這些新的函數(shù)類型，而函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學(xué)的始終。（二）高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變化1、數(shù)學(xué)語言在抽象程度上的突變。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語言方式進(jìn)行表達(dá)。而高中數(shù)學(xué)一開始即在初中學(xué)習(xí)的“函數(shù)”的基礎(chǔ)上觸及抽象的“集合語言”。例如：初中是這樣定義函數(shù)的：設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果對于x的每一個(gè)值，都有惟一的值y與它對應(yīng)，那么就說自變量x是y的函數(shù)。那么，y=1是函數(shù)嗎？我們需要進(jìn)一步深化函數(shù)的概念。在高中是用集合的語言來定義函數(shù)的：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有惟一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f（x），x∈A．可以得到y(tǒng)=1是函數(shù)的結(jié)論。集合作為數(shù)學(xué)的基本語言可以簡潔地表示數(shù)學(xué)對象，對剛步入高中的同學(xué)來說，也是抽象的。而后續(xù)的幾何部分也削弱了直觀性而突出了抽象性和空間的想象能力。這就是說，思維要從初中的直觀、經(jīng)驗(yàn)型向抽象、理論型過渡。2、思維方法向理性層次躍遷。高一的同學(xué)產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的一個(gè)原因是高中數(shù)學(xué)的思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什么，再看什么，即使是解答思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等……分別確定了各自的思維套路。因此，同學(xué)們在初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的、便于操作的定勢方式，而高中數(shù)學(xué)在思維形式上發(fā)生了很大的變化，同學(xué)們一定要能從經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證型思維。3、知識(shí)內(nèi)容劇增初中數(shù)學(xué)知識(shí)少、淺、難度低、知識(shí)面窄。高中數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛，將對初中的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推廣和引申，也是對初中數(shù)學(xué)知識(shí)的完善。如：初中學(xué)習(xí)的角的概念只是“0～180°”范圍內(nèi)的，但實(shí)際當(dāng)中也有720°和“－360°等角，為此，高中將把角的概念推廣到任意角，可表示包括正、負(fù)在內(nèi)的所有大小的角。又如：高中要學(xué)習(xí)《立體幾何》，將在三維空間中求一些幾何實(shí)體的體積和表面積；還將學(xué)習(xí)“排列組合”知識(shí)，以便解決排隊(duì)方法種數(shù)等問題。如：①三個(gè)人排成一行，有幾種排隊(duì)方法？（答：6種）；②四人進(jìn)行乒乓球雙打比賽，有幾種比賽場次？（答：3種），高中將學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)這些排列方式的數(shù)學(xué)方法。初中的學(xué)習(xí)中對一個(gè)負(fù)數(shù)開平方無意義，但在高中規(guī)定了于是令－1的平方根為±i，這樣即可把數(shù)的概念進(jìn)行推廣，使數(shù)的概念擴(kuò)大到復(fù)數(shù)范圍等。這些知識(shí)同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中將逐漸接觸到。4、綜合性增強(qiáng)，學(xué)科間知識(shí)相互滲透，相互為用，加深了學(xué)習(xí)的難度。比如這樣一個(gè)實(shí)際問題：把一個(gè)物體放在天平的一個(gè)盤子上，在另一個(gè)盤子上放砝碼使天平平衡，稱得物體的質(zhì)量為a，如果天平制造得不夠精確，天平的兩臂長短略有不同（其他因素不計(jì)），那么a并非物體的實(shí)際質(zhì)量。不過我們可以做第二次測量：把物體調(diào)換到另外一個(gè)盤子上，此時(shí)稱得的物體的質(zhì)量為b，如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？要解決這個(gè)問題我們需要用到物理中力學(xué)的知識(shí)，且我們還可以從中得出一個(gè)重要的數(shù)學(xué)不等式。5、系統(tǒng)性增強(qiáng)。由于高中教材的理論性增強(qiáng)，常以某些基礎(chǔ)理論為綱，根據(jù)一定的邏輯，把基本的概念、基本原理、基本方法聯(lián)結(jié)在一起，構(gòu)成一個(gè)完整的知識(shí)體系。前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)是其中一個(gè)表現(xiàn)。另外，知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成是另一個(gè)表現(xiàn)，因此高中教材知識(shí)的結(jié)構(gòu)化明顯升級(jí)。如函數(shù)，初中只簡單地介紹一次、二次、反比例、正比例函數(shù)，對函數(shù)的性質(zhì)很少研究，而高中的函數(shù)是一個(gè)大的知識(shí)體系。函數(shù)的定義域、值域、解析式、性質(zhì)等是一個(gè)小系統(tǒng)；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、二次函數(shù)也是一個(gè)小系統(tǒng)；函數(shù)圖象也是一個(gè)小系統(tǒng)等等。這些小知識(shí)體系相互滲透、聯(lián)系構(gòu)成函數(shù)大體系。再比如小學(xué)里就有根據(jù)規(guī)律填數(shù)，如2，4，6，（），10，而數(shù)列的理論體系到高中才建立起來。6、能力要求更高高中課程目標(biāo)明確地提出要提高學(xué)生的五種基本能力，即空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理能力。平時(shí)要注重對這些能力的培養(yǎng)。比如空間想象能力是對空間形式進(jìn)行觀察、分析、抽象的能力.主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫圖和對圖形的想象能力。同學(xué)們在初中學(xué)習(xí)過三視圖，可以畫出簡單空間圖形的三視圖，到高中，我們會(huì)具體給出三視圖的定義，而且會(huì)考查由三視圖如何還原出實(shí)際物體。例1：下面是一個(gè)組合圖形的三視圖，請描述物體形狀如果給出相應(yīng)的數(shù)據(jù)，同學(xué)們是否能夠求出它的體積呢？這道題考查的就是同學(xué)們的空間想象能力。例2：三角數(shù)陣中的歸納推理根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n（n≥3）行從左至右的第3個(gè)數(shù)是。這道題考查的就是同學(xué)們的歸納推理能力。當(dāng)然，對于一個(gè)實(shí)際問題，同學(xué)們是否能夠建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來處理問題，這又對大家的能力提出了更高的要求。（三）高中數(shù)學(xué)考試的特點(diǎn)高考中主要考查什么呢？考綱要求：數(shù)學(xué)學(xué)科的考試，按“考查知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則，將知識(shí)、能力和素養(yǎng)融為一體，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。拿江蘇高考卷來說，文科數(shù)學(xué)滿分為160分，理科數(shù)學(xué)滿分為200分，其中數(shù)學(xué)選修部分占40分。初中數(shù)學(xué)的考試方法，基本上是學(xué)什么考什么。高中數(shù)學(xué)考試卻有許多截然不同之處?？荚囶}多半是生疏的題目，是不能依賴模仿加以解決的問題。同學(xué)們在做題中最感困難的是沒有思路。分析不出所要解答的題目的問題結(jié)構(gòu)。仿佛感到什么方法都學(xué)過，就是分不清什么時(shí)候該用哪一個(gè)?？磥恚醺咧袛?shù)學(xué)考試的主要區(qū)別是高中考的是同學(xué)們解決問題的能力。（四）學(xué)好高中數(shù)學(xué)的應(yīng)對策略和學(xué)習(xí)方法我們了解了高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)以及考試的特點(diǎn)之后，現(xiàn)在就根據(jù)其特點(diǎn)尋找相應(yīng)的學(xué)法。1、充分發(fā)揮“老師”的作用。有一些同學(xué)在初中學(xué)習(xí)不規(guī)范，憑借聰明的頭腦，在初三的中考突擊中也能取得較理想的成績。這部分同學(xué)上高中后，學(xué)習(xí)上仍比較放松，以為采取同樣的方法仍可以考上理想的大學(xué)。但是，現(xiàn)實(shí)告訴我們，這種投機(jī)取巧的方式到高中是根本行不通的。中考的題目不太具有明顯的選拔性，中考只是局部的學(xué)生競爭，同學(xué)們考上高中都相對容易，但高考則不同，目前我們國家還不可能普及高等教育，高等教育可說還屬于一種精英教育，只能選拔一些成績好的同學(xué)去讀大學(xué)，因此高考的題目往往具有很強(qiáng)的選拔性，競爭非常激烈。從課程本質(zhì)上說，高中內(nèi)容體系性雖強(qiáng)，但是在編寫時(shí)是通過“模塊”的形式把這些比較系統(tǒng)的內(nèi)容分散開來編寫的，如果沒有老師的引領(lǐng)，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)覺得內(nèi)容繁雜、無序，不容易形成知識(shí)結(jié)構(gòu)和“思維鏈”，無法形成對知識(shí)“一覽眾山小”的把握，并不利于對知識(shí)的學(xué)習(xí)。而且，前面也說了，高中數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著很多的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)解題方法，這些抽象的思想與靈活方法的運(yùn)用，同學(xué)們僅憑讀課本是無法感知的，而老師上課時(shí)一般都要講清知識(shí)的來龍去脈，剖析概念的內(nèi)涵，分析重、難點(diǎn)，突出思想方法，只有在老師的帶領(lǐng)下同學(xué)們才能更好地認(rèn)識(shí)高中數(shù)學(xué)，認(rèn)清結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，利用好老師的角色將對我們的學(xué)習(xí)起到事半功倍的效果。2、抓住數(shù)學(xué)的靈魂———數(shù)學(xué)思想。所謂數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問題的進(jìn)一步抽象和概括，屬于對數(shù)學(xué)規(guī)律性的認(rèn)識(shí)范疇。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)著數(shù)學(xué)問題的解決，并具體體現(xiàn)在解決問題的不同方法中。常用的數(shù)學(xué)思想有：方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等。無論是初中數(shù)學(xué)還是高中數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)思想都是數(shù)學(xué)的靈魂，它們之間是可以銜接的。例1：某農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型機(jī)20臺(tái)，乙型機(jī)30臺(tái)?，F(xiàn)將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū)。兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見下表：每臺(tái)甲型收割機(jī)的租金每臺(tái)乙型收割機(jī)的租金A地區(qū)1800元1600元B地區(qū)1600元1200元（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來；（3）如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請你為該農(nóng)機(jī)租賃公司提出一條合理建議．解：（1）若派往A地區(qū)的乙型聯(lián)合收割機(jī)為x臺(tái)，則派往A地區(qū)的甲型聯(lián)合收割機(jī)為（30－x）臺(tái)；派往B地區(qū)的乙型收割機(jī)為（30－x）臺(tái)，派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為（x－10）臺(tái)?！鄖＝1600x＋1800（30－x）＋1200（30－x）＋1600（x－10）＝200x＋74000。x的取值范圍是：10≤x≤30（x是正整數(shù)）。（2）由題意得200x＋74000≥79600，解不等式得x≥28.由于10≤x≤30，∴x取28，29，30這三個(gè)值，故有3種不同的分配方案。①當(dāng)x＝28時(shí)，即派往A地區(qū)甲型收割機(jī)2臺(tái)，乙型收割機(jī)28臺(tái)；派往B地區(qū)甲型收割機(jī)18臺(tái)，乙型收割機(jī)2臺(tái)。②當(dāng)x＝29時(shí)，即派往A地區(qū)甲型收割機(jī)1臺(tái)，乙型收割機(jī)29臺(tái)；派往B地區(qū)甲型收割機(jī)19臺(tái)，乙型收割機(jī)1臺(tái)。③當(dāng)x＝30時(shí)，即30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往B地區(qū)。（3）由于一次函數(shù)y＝200x＋74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以，當(dāng)x＝30時(shí)，y取得最大值。如果要使該農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得租金最高，只需x＝30，此時(shí)，y＝6000＋74000＝80000。建議該農(nóng)機(jī)租賃公司將30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往B地區(qū)，可使該農(nóng)機(jī)租賃公司獲得的租金最高。這里面透露出的就是函數(shù)的思想，而在高中，函數(shù)的思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想。例2：實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程kx2+2|x|+k=0有實(shí)數(shù)解？運(yùn)用函數(shù)的思想就可以解決這個(gè)問題。3、夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，掌握適度的知識(shí)外延。要學(xué)習(xí)好高中數(shù)學(xué)，必須準(zhǔn)確理解和掌握好基本概念、基本公式和基本性質(zhì)，抓住這些基本知識(shí)的要點(diǎn)和適用范圍，是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一，否則一切都無從談起，從目前的高考來看，也很側(cè)重對這些知識(shí)的考查，特別是一些簡答題，如對某些基本概念不能準(zhǔn)確理解就很難正確作答。夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要基礎(chǔ)，但僅有這些還不夠，要想在有限的時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確快速地解答完考題，必須具備一定的知識(shí)外延，需要在平時(shí)的聽課和練習(xí)中注意加強(qiáng)對一些重要結(jié)論的記憶，擴(kuò)大自己的知識(shí)面，豐富自己的知識(shí)積累。4、做題之后加強(qiáng)反思同學(xué)們一定要明確，現(xiàn)在正做著的題，絕不會(huì)是考試的題目。在考試中我們需要運(yùn)用平時(shí)做題目時(shí)的解題思路與方法。因此，要把自己做過的每道題加以反思，總結(jié)一下自己的收獲。要總結(jié)出：這是一道什么內(nèi)容的題，用的是什么方法。日久天長，構(gòu)建起一個(gè)內(nèi)容與方法的科學(xué)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。反思是學(xué)習(xí)過程中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。5、主動(dòng)復(fù)習(xí)，總結(jié)提高進(jìn)行章節(jié)總結(jié)是非常重要的。初中時(shí)是老師替學(xué)生做總結(jié)，做得細(xì)致，深刻，完整。高中是自己給自己做總結(jié)，老師不但不給做，而且是講到哪，考到哪，不留復(fù)習(xí)時(shí)間，也不會(huì)明確指出做總結(jié)的時(shí)間。那么，怎樣進(jìn)行章節(jié)復(fù)習(xí)呢？（1）把本章節(jié)的內(nèi)容一分為二，一部分是基礎(chǔ)知識(shí)，一部分是典型問題。要把對技能的要求，列進(jìn)這兩部分的其中一部分中，不要遺漏。（2）把各種重要的，典型的問題記錄在冊。6、養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，提高自己的思維能力。能力是在不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境中得到培養(yǎng)的。在平日的學(xué)習(xí)中要注意開發(fā)不同的學(xué)習(xí)場所，參與一切有益的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，如數(shù)學(xué)第二課堂、數(shù)學(xué)競賽、智力競賽等活動(dòng)。平時(shí)注意觀察，比如：空間想象能力是通過實(shí)例凈化思維，把空間中的實(shí)體高度抽象在大腦中，并在大腦中進(jìn)行分析推理。其他能力的培養(yǎng)也都需要在學(xué)習(xí)、理解、訓(xùn)練、應(yīng)用中得到發(fā)展。（五）給“高一”新同學(xué)的建議1、改掉“依賴”的習(xí)慣許多同學(xué)進(jìn)入高中后，還像在初中那樣，有很強(qiáng)的依賴心理，跟隨老師慣性運(yùn)轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。表現(xiàn)在不訂計(jì)劃，坐等上課，對老師課上要講的內(nèi)容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”，不會(huì)鞏固所學(xué)的知識(shí)?！鲃?dòng)性不好是同學(xué)中普遍存在的問題。高中僅做聽話的孩子是不夠的，只知做作業(yè)也是絕對不夠的；高中老師講的話也不少，但是誰該干些什么，老師并不一一具體指明。因此，高中新生必須提高學(xué)習(xí)的自主性。準(zhǔn)備向?qū)淼拇髮W(xué)生的學(xué)習(xí)方法過渡。2、運(yùn)算一定要過關(guān)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開運(yùn)算，初中老師往往一步一步在黑板上演算。到了高中，因時(shí)間有限，運(yùn)算量大，老師常把計(jì)算過程留給同學(xué)們，這就要求同學(xué)們多動(dòng)腦，勤動(dòng)手，不僅要能筆算，而且還要能口算，心算和估算，對復(fù)雜運(yùn)算，要有耐心，掌握算理，注重簡便方法。許多學(xué)生由于運(yùn)算能力低，致使數(shù)學(xué)成績難以提高，但他們總歸咎于“粗心”，思想上仍不重視。我們在高一時(shí)就要重視對自己運(yùn)算能力的培養(yǎng)。3、題目貴“精”，不貴“多”有的同學(xué)認(rèn)為，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，只要多做題，功到自然成。其實(shí)不然。一般說做的題太少，很多熟能生巧的問題就會(huì)無從談起。因此，應(yīng)該適當(dāng)?shù)囟嘧鲱}。但是，只顧鉆入題海，堆積題目，在考試中一般也是難有作為的。做題的效率要高。做題的目的在于檢查你所學(xué)的知識(shí)、方法是否已掌握好。如果你掌握得不準(zhǔn)，甚至有偏差，那么多做題的結(jié)果，反而鞏固了你的缺欠，因此，要在準(zhǔn)確地把握住基本知識(shí)和方法的基礎(chǔ)上做一定量的練習(xí)。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的拓展和深化。為了幫助同學(xué)們順利地從初中數(shù)學(xué)過渡到高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，老師將在后續(xù)課程中對高中數(shù)學(xué)部分將要用到的一些初中數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深化和補(bǔ)充，并在此基礎(chǔ)上為同學(xué)們揭開高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的帷幕?！就骄毩?xí)】（答題時(shí)間：45分鐘）1.關(guān)于x的方程x2+kx+k2－9=0只有一個(gè)正根，那么k的值是（）A.k＞3或＜－3B.k=±3C.k≥3或k≤－3D.－3≤k＜37.今有A、B、C、D四人在晚上都要從橋的左邊到右邊去。此橋一次最多只能走兩人，而且只有一支手電筒，過橋是一定要用手電筒的。四人過橋最快所需時(shí)間如下：A2分鐘；B3分鐘；C8分鐘；D10分鐘。走得快的人要等走得慢的人，請問如何的走法才能在21分鐘內(nèi)讓所有的人都過橋?8.125×4×3=2000這個(gè)式子顯然不等，可是如果算式中巧妙地插入兩個(gè)數(shù)字“7”，這個(gè)等式便可以成立，你知道這兩個(gè)7應(yīng)該插在哪嗎？9.牛頓的名著《一般算術(shù)》中，還編有一道很有名的題目，即牛在牧場上吃草的題目，以后人們就把這種應(yīng)用題叫做牛頓問題?！坝幸黄翀龅牟?，如果放牧27頭牛，則6個(gè)星期可以把草吃光；如果放牧23頭牛，則9個(gè)星期可以把草吃光；如果放牧21頭牛，問幾個(gè)星期可以把草吃光？”*10.春夏×秋冬=夏秋春冬，春冬×秋夏＝春夏秋冬，式中春、夏、秋、冬各代表四個(gè)不同的數(shù)字，你能指出它們各代表什么數(shù)字嗎？*11.著名物理學(xué)家愛因斯坦編的問題：在你面前有一條長長的階梯。如果你每步跨2階，那么最后剩1階；如果你每步跨3階，那么最后剩2階；如果你每步跨5階，那么最后剩4階；如果你每步跨6階，那么最后剩5階；只有當(dāng)你每步跨7階時(shí)，最后才正好走完，一階也不剩。請你算一算，這條階梯到底有多少階？牧場上原有的草量是162－15×6=72，或207－15×9=72。前面已假定每頭牛每星期的吃草量為1，而每星期新長的草量為15，因此新長出的草可供15頭牛吃。今要放牧21頭牛，還余下21－5=6頭牛要吃牧場上原有的草，這牧場上原有的草量夠6頭牛吃幾個(gè)星期，就是21頭牛吃完牧場上草的時(shí)間。72÷6=12（星期）。也就是說，放牧21頭牛，12個(gè)星期可以把牧場上的草吃光。10.解：春夏×秋冬=夏秋春冬，春冬×秋夏=春夏秋冬∵秋夏<100，春冬×100=春冬00>春夏秋冬∴冬＞夏且積千位≤春∴春＞夏當(dāng)夏≠1時(shí)，根據(jù)九九表和冬＞夏知：冬=5，夏=3若春≥6，由春3×秋5＝3秋春5＜4000可知秋＜7。春5×秋3＜春000無解若春＜6春≠5且春＞夏＝3所以春＝445×秋3＝43秋5無解所以夏＝1因?yàn)榇憾燎?＝春1秋冬，所以秋>5春1×秋冬=1秋春冬，∴春≤3，當(dāng)春=3時(shí)，秋=6，3冬×61=316冬無解。因?yàn)榇?gt;夏，且<3，所以春=22冬×秋1=21秋冬，21×秋冬=1秋2冬；秋=9時(shí)無解，秋=8時(shí)，冬=711.解：分析能力較強(qiáng)的同學(xué)可以看出，所求的階梯數(shù)應(yīng)比2、3、5、6的公倍數(shù)（即30的倍數(shù)）小1，并且是7的倍數(shù)。因此只需從29、59、89、119、……中找7的倍數(shù)就可以了。很快可以得到答案為119階。第一講數(shù)與式的運(yùn)算 在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實(shí)數(shù)和代數(shù)式簡稱為數(shù)與式．代數(shù)式中有整式（多項(xiàng)式、單項(xiàng)式）、分式、根式．它們具有實(shí)數(shù)的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算．在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)習(xí)了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算簡便．由于在高中學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到更復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個(gè)數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過被開方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)接觸到被開方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此本節(jié)中要補(bǔ)充．基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容．一、乘法公式【公式1】證明： 等式成立【例1】計(jì)算：解：原式= 說明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降冪或升冪排列． 【公式2】(立方和公式) 證明: 說明:請同學(xué)用文字語言表述公式2. 【例2】計(jì)算： 解：原式= 我們得到： 【公式3】(立方差公式)請同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱為乘法公式．【例3】計(jì)算：（1） （2）（3） （4）解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式= 說明：（1）在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu)．（2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、…、20的平方數(shù)和1、2、3、4、…、10的立方數(shù)，是非常有好處的．【例4】已知，求的值．解：原式= 說明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計(jì)算較煩瑣．本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡化了計(jì)算．請注意整體代換法．本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉．【例5】已知，求的值．解： 原式= ① ②，把②代入①得原式=說明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用．引申：同學(xué)可以探求并證明：二、根式 式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下： (1) (2) (3) (4)【例6】化簡下列各式：(1) (2)解：(1)原式= (2)原式=說明：請注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對字母的取值分類討論．【例7】計(jì)算(沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：(1) (2) (3)解：(1)原式= (2)原式= (3)原式=說明：(1)二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．(2)二次根式的化簡常見類型有下列兩種：①被開方數(shù)是整數(shù)或整式．化簡時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來；②分母中有根式(如)或被開方數(shù)有分母(如)．這時(shí)可將其化為形式(如可化為)，轉(zhuǎn)化為“分母中有根式”的情況．化簡時(shí)，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡．(如化為，其中與叫做互為有理化因式)．【例8】計(jì)算：(1) (2)解：(1)原式= (2)原式= 說明：有理數(shù)的的運(yùn)算法則都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)式的乘法公式、分式二次根式的運(yùn)算．【例9】設(shè)，求的值．解：原式=說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡化計(jì)算量．三、分式當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1)利用除法法則；(2)利用分式的基本性質(zhì)．【例10】化簡解法一：原式=解法一：原式=說明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡．一般根據(jù)題目特點(diǎn)綜合使用兩種方法．【例11】化簡解：原式= 說明：(1)分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡；(2)分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式．練習(xí)練習(xí)A組1．二次根式成立的條件是( ) A． B． C． D．是任意實(shí)數(shù)2．若，則的值是( ) A．－３ B．３ C．－９ D．９3．計(jì)算： (1) (2) (3) (4)4．化簡(下列的取值范圍均使根式有意義)： (1) (2) (3) (4)5．化簡： (1) (2)B組1．若，則的值為( )： A． B． C． D．2．計(jì)算： (1) (2)3．設(shè)，求代數(shù)式的值．4．當(dāng)，求的值．5．設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，求的值．6．已知，求代數(shù)式的值．7．設(shè)，求的值．8．展開9．計(jì)算10．計(jì)算11．化簡或計(jì)算： (1) (2) (3) (4)第一講習(xí)題答案A組1．C2．A3．(1) (2) (3) (4)4．5．B組1．D2．3．4． 5． 6．3 7．8．9．10．11．第二講因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的基本技能．因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式：(立方和公式)(立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：這就是說，兩個(gè)數(shù)的立方和(差)，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)．運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式： (1) (2)分析：(1)中，，(2)中．解：(1) (2) 說明：(1)在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，經(jīng)常要逆用冪的運(yùn)算法則，如，這里逆用了法則；(2)在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，一定要看準(zhǔn)因式中各項(xiàng)的符號(hào)． 【例2】分解因式： (1) (2) 分析：(1)中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2)中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或．解：(1)． (2) 二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提?。虼?，可以先將多項(xiàng)式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．1．分組后能提取公因式 【例3】把分解因式． 分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取公因式．解：說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法．本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試． 【例4】把分解因式． 分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號(hào)打開后重新分組，然后再分解因式．解： 說明：由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律．由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用．2．分組后能直接運(yùn)用公式 【例5】把分解因式． 分析：把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒有公因式，但可以運(yùn)用平方差公式分解因式，其中一個(gè)因式是；把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公因式后，另一個(gè)因式也是.解： 【例6】把分解因式． 分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式．解： 說明：從例5、例6可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以分組分解法來分解因式．三、十字相乘法 1．型的因式分解 這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．因此，運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解： (1) (2)解：(1) ． (2) 說明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同． 【例8】把下列各式因式分解： (1) (2)解：(1) (2) 說明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同． 【例9】把下列各式因式分解： (1) (2) 分析：(1)把看成的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項(xiàng)系數(shù)． (2)由換元思想，只要把整體看作一個(gè)字母，可不必寫出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式．解：(1) (2) 2．一般二次三項(xiàng)式型的因式分解大家知道，．反過來，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解： (1) (2)解：(1) (2) 說明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)．四、其它因式分解的方法 1．配方法 【例11】分解因式解： 說明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解．當(dāng)然，本題還有其它方法，請大家試驗(yàn)．2．拆、添項(xiàng)法 【例12】分解因式 分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行．細(xì)查式中無一次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，可考慮通過添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決．解： 說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿足系數(shù)對應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件．本題還可以將拆成，將多項(xiàng)式分成兩組和．一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：(1)如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來分解；(3)如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解；(4)分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止．練習(xí)練習(xí)A組1．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6)2．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4)3．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6)4．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)5．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4)(5)(6) (7) (8)B組1．把下列各式分解因式：(1) (2)(3) (4) (5)2．已知，求代數(shù)式的值．3．證明：當(dāng)為大于2的整數(shù)時(shí)，能被120整除．4．已知，求證：．第二講因式分解答案A組1． 2． 3． 4．5．．B組1．．2．3．4．第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用．本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述．一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1)當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2)當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：(3)當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實(shí)數(shù)根．由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【例1】不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)： (1) (2) (3)解：(1)，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． (2)原方程可化為： ，∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． (3)原方程可化為： ，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根．說明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式．【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 (3)方程有實(shí)數(shù)根； (4)方程無實(shí)數(shù)根．解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例3】已知實(shí)數(shù)、滿足，試求、的值．解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：．綜上知：二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 一元二次方程的兩個(gè)根為： 所以：， 定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么： 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”．上述定理成立的前提是．【例4】若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)．分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算．這里，可以利用韋達(dá)定理來解答．解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1)(2)(3)(4)說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，，，等等．韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想．【例5】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值．(1)方程兩實(shí)根的積為5； (2)方程的兩實(shí)根滿足．分析：(1)由韋達(dá)定理即可求之；(2)有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論．解：(1)∵方程兩實(shí)根的積為5 ∴ 所以，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5． (2)由得知： ①當(dāng)時(shí)，，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故； ②當(dāng)時(shí)，，由于 ，故不合題意，舍去． 綜上可得，時(shí)，方程的兩實(shí)根滿足．說明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足．【例6】已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根． (1)是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由． (2)求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值．解：(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立． ∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ∴， 又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ∴ ∴ ，但． ∴不存在實(shí)數(shù)，使成立． (2)∵ ∴要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到， 要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為．說明：(1)存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在． (2)本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會(huì)對為整數(shù)的分析方法． A組1．一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是( ) A． B． C． D．2．若是方程的兩個(gè)根，則的值為( ) A． B． C． D．3．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長分別是關(guān)于的方程的根，則等于( ) A． B． C． D．4．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( ) A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定5．若實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為( ) A． B． C． D．6．如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是______7．已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長是_______．8．若方程的兩根之差為1，則的值是_____．9．設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則=_____，=_____．10．已知實(shí)數(shù)滿足，則=_____，=_____，=_____．11．對于二次三項(xiàng)式，小明得出如下結(jié)論：無論取什么實(shí)數(shù)，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？請您說明理由．12．若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的的正實(shí)數(shù)根，求的值．13．已知關(guān)于的一元二次方程． (1)求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)若方程的兩根為，且滿足，求的值．14．已知關(guān)于的方程的兩根是一個(gè)矩形兩邊的長． (1)取何值時(shí)，方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根？ (2)當(dāng)矩形的對角線長是時(shí)，求的值．B組1．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． (1)求的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請您說明理由．2．已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11．求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．3．若是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且都大于1． (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)若，求的值．第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案A組1．B 2．A 3．A 4．A 5．A6．7．3 8．9或 9．10． 11．正確 12．413．14．B組1． (2)不存在2． (1)當(dāng)時(shí)，方程為，有實(shí)根；(2)當(dāng)時(shí)，也有實(shí)根．3．(1) ； (2)．第四講不等式初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法．高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識(shí)．本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識(shí)．一、一元二次不等式及其解法1．形如的不等式稱為關(guān)于的一元二次不等式．【例1】解不等式．分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號(hào)法則正正(負(fù)負(fù))得正、正負(fù)得負(fù)”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組．解：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是．說明：當(dāng)把一元二次不等式化為的形式后，只要左邊可以分解為兩個(gè)一次因式，即可運(yùn)用本題的解法． 【例2】解下列不等式： (1) (2)分析：要先將不等式化為的形式，通常使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)．解：(1)原不等式可化為：，即 于是： 所以原不等式的解是． (2)原不等式可化為：，即 于是： 所以原不等式的解是．2．一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡稱：三個(gè)二次)．以二次函數(shù)為例：(1)作出圖象；(2)根據(jù)圖象容易看到，圖象與軸的交點(diǎn)是，即當(dāng)時(shí)，．就是說對應(yīng)的一元二次方程的兩實(shí)根是．(3)當(dāng)時(shí)，，對應(yīng)圖像位于軸的上方．就是說的解是．當(dāng)時(shí)，，對應(yīng)圖像位于軸的下方．就是說的解是．一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1)將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；(2)觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖象．①如果圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來判斷)．那么(圖1)： ②如果圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來判斷)．那么(圖2)： 無解③如果圖象與軸沒有交點(diǎn)，此時(shí)對應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來判斷)．那么(圖3)：取一切實(shí)數(shù) 無解如果單純的解一個(gè)一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為正；(2)若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根．那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)；(3)否則，對二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．【例3】解下列不等式： (1) (2) (3)解：(1)不等式可化為 ∴不等式的解是(2)不等式可化為 ∴不等式的解是(3)不等式可化為．【例4】已知對于任意實(shí)數(shù)，恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：顯然不合題意，于是： 【例5】已知關(guān)于的不等式的解為，求的值．分析：對應(yīng)的一元二次方程的根是和，且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向上．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解．解：由題意得：說明：本例也可以根據(jù)方程有兩根和，用代入法得：，，且注意，從而．二、簡單分式不等式的解法【例6】解下列不等式： (1) (2)分析：(1)類似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號(hào)法則”將之化為兩個(gè)一元一次不等式組處理；或者因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)(式)相除異號(hào)，那么這兩個(gè)數(shù)(式)相乘也異號(hào)，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解． (2)注意到經(jīng)過配方法，分母實(shí)際上是一個(gè)正數(shù)．解：(1)解法(一) 原不等式可化為： 解法(二) 原不等式可化為：． (2)∵ 原不等式可化為：【例7】解不等式解：原不等式可化為： 說明：(1)轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，一定要先將右端變?yōu)?． (2)本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號(hào)：三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式．(1)當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(2)當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(3)當(dāng)時(shí)，不等式化為：； ①若，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；②若，則不等式無解．【例8】求關(guān)于的不等式的解．解：原不等式可化為： (1)當(dāng)時(shí)，，不等式的解為； (2)當(dāng)時(shí)，． ①時(shí)，不等式的解為； ②時(shí)，不等式的解為； ③時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)． (3)當(dāng)時(shí)，不等式無解．綜上所述：當(dāng)或時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，不等式無解．【例9】已知關(guān)于的不等式的解為，求實(shí)數(shù)的值．分析：將不等式整理成的形式，可以考慮只有當(dāng)時(shí)，才有形如的解，從而令．解：原不等式可化為：． 所以依題意：．練習(xí)練習(xí)A組1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4)2．解下列不等式： (1) (2) (3) (4)3．解下列不等式： (1) (2)4．已知不等式的解是，求的值．5．解關(guān)于的不等式．6．已知關(guān)于的不等式的解是，求的值．7．已知不等式的解是，求不等式的解．B組1．已知關(guān)于的不等式的解是一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍．2．若不等式的解是，求的值．3．解關(guān)于的不等式．4．取何值時(shí)，代數(shù)式的值不小于0？5．已知不等式的解是，其中，求不等式的解．第四講不等式答案A組1．2．3．(1)無解(2)全體實(shí)數(shù)4．．5．(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)時(shí)，取全體實(shí)數(shù)．6．7．B組1．2．3．(1)時(shí)，；(2)時(shí)，無解；(3)時(shí)，．4．．5．．第五講二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)．在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值，無最小值．本節(jié)我們將在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最值問題．同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實(shí)際生活中的簡單應(yīng)用．【例1】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量的值．解：作出函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【例2】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．解：作出函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．由上述兩例可以看到，二次函數(shù)在自變量的給定范圍內(nèi)，對應(yīng)的圖象是拋物線上的一段．那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值．根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量的范圍的圖象形狀各異．下面給出一些常見情況： 【例3】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍．解：作出函數(shù)在內(nèi)的圖象．可以看出：當(dāng)時(shí)，，無最大值．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值范圍是．【例4】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))．分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對位置．解：函數(shù)的對稱軸為．畫出其草圖．(1)當(dāng)對稱軸在所給范圍左側(cè)．即時(shí)： 當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)對稱軸在所給范圍之間．即時(shí)： 當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)對稱軸在所給范圍右側(cè)．即時(shí)： 當(dāng)時(shí)，．綜上所述：在實(shí)際生活中，我們也會(huì)遇到一些與二次函數(shù)有關(guān)的問題：【例5】某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量(件)與每件的銷售價(jià)(元)滿足一次函數(shù)．(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤與每件銷售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？解：(1)由已知得每件商品的銷售利潤為元， 那么件的銷售利潤為，又． (2)由(1)知對稱軸為，位于的范圍內(nèi)，另拋物線開口向下 當(dāng)時(shí)，當(dāng)每件商品的售價(jià)定為42元時(shí)每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元．A組1．拋物線，當(dāng)=_____時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)=_____時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)=_____時(shí)，圖象過原點(diǎn)．2．用一長度為米的鐵絲圍成一個(gè)長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為________．3．求下列二次函數(shù)的最值： (1)； (2)．4．求二次函數(shù)在上的最大值和最小值，并求對應(yīng)的的值．5．對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．6．求函數(shù)的最大值和最小值．7．已知關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，的最小值為0？B組1．已知關(guān)于的函數(shù)在上． (1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值； (2)當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，求函數(shù)的最大值．2．函數(shù)在上的最大值為3，最小值為2，求的取值范圍．3．設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，最大值是0，求的值．4．已知函數(shù)在上的最大值為4，求的值．5．求關(guān)于的二次函數(shù)在上的最大值(為常數(shù))．第五講二次函數(shù)的最值問題答案A組1．414或2，2．3．(1)有最小值3，無最大值；(2)有最大值，無最小值．4．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．5．6．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或1時(shí)，．7．當(dāng)時(shí)，．B組1．(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．2．．3．．4．或．5．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．第六講簡單的二元二次方程組在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用消元法解二元一次方程組．高中新課標(biāo)必修2中學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，需要用到二元二次方程組的解法．因此，本講講介紹簡單的二元二次方程組的解法．含有兩個(gè)未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，或由兩個(gè)二元二次方程組組成的方程組，叫做二元二次方程組．一、由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組 一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法求解．其蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程組分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去．解：由(1)得：(3) 將(3)代入(2)得：，解得： 把代入(3)得：；把代入(3)得：． ∴原方程組的解是：．說明：(1)解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟：①由二元一次方程變形為用表示的方程，或用表示的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一個(gè)一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3)，求相應(yīng)的未知數(shù)的 值；⑤寫出答案． (2)消，還是消，應(yīng)由二元一次方程的系數(shù)來決定．若系數(shù)均為整數(shù)，那 么最好消去系數(shù)絕對值較小的，如方程，可以消去，變形 得，再代入消元． (3)消元后，求出一元二次方程的根，應(yīng)代入二元一次方程求另一未知數(shù)的值， 不能代入二元二次方程求另一未知數(shù)的值，因?yàn)檫@樣可能產(chǎn)生增根，這一點(diǎn) 切記． 【例2】解方程組分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點(diǎn)，可以把、看成是方程的兩根，則更容易求解．解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把、看成是方程的兩根，解方程得：．∴原方程組的解是：．說明：(1)對于這種對稱性的方程組，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程時(shí)，未知數(shù)要換成異于、的字母，如． (2)對稱形方程組的解也應(yīng)是對稱的，即有解，則必有解．二、由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組1．可因式分解型的方程組方程組中的一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程組，其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成．【例3】解方程組分析：注意到方程，可分解成，即得或，則可得到兩個(gè)二元二次方程組，且每個(gè)方程組中均有一個(gè)方程為二元一次方程．解：由(1)得： ∴或 ∴原方程組可化為兩個(gè)方程組： 用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是： 說明：由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組中，有一個(gè)方程可以通過因式分解，化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)方程組，其中每一個(gè)方程組均有一個(gè)方程是二元一次方程．【例4】解方程組分析：本題的特點(diǎn)是方程組中的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，我們可以消去常數(shù)項(xiàng)，可得到一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程．對其因式分解，就可以轉(zhuǎn)化為例3的類型．解：(1)–(2)得： 即 ∴ ∴原方程組可化為兩個(gè)二元一次方程組：． 用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是：． 說明：若方程組的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，則消去常數(shù)項(xiàng)，得到一個(gè)二元二次方程．此方程與原方程組中的任一個(gè)方程聯(lián)立，得到一個(gè)可因式分解型的二元二次方程組． 【例5】解方程組分析：(1)+(2)得：，(1)-(2)得：，分別分解(3)、(4)可得四個(gè)二元一次方程組．解：(1)+(2)得：， (1)-(2)得：． 解此四個(gè)方程組，得原方程組的解是： ． 說明：對稱型方程組，如、都可以通過變形轉(zhuǎn)化為的形式，通過構(gòu)造一元二次方程求解．2．可消二次項(xiàng)型的方程組 【例6】解方程組分析：注意到兩個(gè)方程都有項(xiàng)，所以可用加減法消之，得到一個(gè)二元一次方程，即轉(zhuǎn)化為由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組．解：(1)得： 代入(1)得：． 分別代入(3)得：． ∴原方程組的解是：． 說明：若方程組的兩個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)對應(yīng)成比例，則可用加減法消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程，把它與原方程組的任意一個(gè)方程聯(lián)立，解此方程組，即得原方程組的解． 二元二次方程組類型多樣，消元與降次是兩種基本方法，具體問題具體解決．練習(xí)練