考慮結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的變密度拓撲優(yōu)化方法

考慮結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的變密度拓撲優(yōu)化方法

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中，強度、剛度和穩(wěn)定性是三個主要問題?，F(xiàn)有的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法多以考慮結(jié)構(gòu)剛度為主,如體積約束下的最大剛度和剛度約束下的最小體積等變密度法1優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型基于經(jīng)典變密度法,建立以單元相對密度為設(shè)計變量,結(jié)構(gòu)最小柔度為目標函數(shù),體積和失穩(wěn)載荷因子為約束條件的優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型,如式(1)所示:式中:ρ為單元相對密度矢量;C為結(jié)構(gòu)柔度;n為結(jié)構(gòu)中單元的數(shù)量;U為結(jié)構(gòu)節(jié)點位移矢量;K為結(jié)構(gòu)總剛度矩陣;u2單元相對密度使用變密度法進行連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化時,需要對中間密度值進行懲罰,從而使單元相對密度趨向0或1,避免灰度單元的出現(xiàn)。本文使用目前最流行的SIMP(solidisotropicmicrostructureswithpenalization,固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu))法式中:E3計算的靈敏度對于式(1)中的結(jié)構(gòu)柔度C(ρ)、體積V和第1階失穩(wěn)載荷因子λ3.1材料插值模型及剛度矩陣根據(jù)式(1)中結(jié)構(gòu)柔度的表達式,可得柔度C的靈敏度表達式:式中U=K由材料插值模型及平面四邊形單元的剛度矩陣,可得k將U=K式中c3.2體積敏度體積靈敏度如式(6)所示:3.3失穩(wěn)載荷因子由結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性線性特征值理論,可得經(jīng)典的穩(wěn)定性分析特征方程式中:λ式(7)兩邊同乘φ式(8)對設(shè)計變量ρ由于K,K根據(jù)式(10)、式(9)可簡化為:將式(7)代入式(11),得:式(12)經(jīng)變換得到失穩(wěn)載荷因子λ式中:k4考慮穩(wěn)定性的變密度法利用上述優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型及計算得到的靈敏度,采用拉格朗日乘子法推導(dǎo)優(yōu)化準則。首先構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的拉格朗日函數(shù):式中:β當目標函數(shù)C取得極值時,拉格朗日函數(shù)(14)需滿足以下庫恩-塔克(Kuhn-Tucker)條件:針對設(shè)計變量ρ考慮上式中μ將式(17)展開并整理,得到:其中,β整理得到:式中:E式中:ρ要計算得到f同理展開第1階失穩(wěn)載荷因子λ在優(yōu)化過程中,考慮到V5幾何剛度矩陣顯式推導(dǎo)在式(19)中,還需使用e式中:G是與單元形函數(shù)有關(guān)的微分矩陣,S是與單元應(yīng)力有關(guān)的矩陣,V為單元體積。對于平面四邊形單元,G和S的表達式如下式中:N將G和S代入式(24),可得平面四邊形單元的幾何剛度矩陣的顯式表示:式中:式中:r=m,q,u,v;s=m,q,u,v。對于平面四邊形單元,有:其中ξ,η為局部坐標,它們與整體坐標x,y的轉(zhuǎn)換關(guān)系為:其中2a,2b為四邊形單元的邊長。因此,可求得形函數(shù)對坐標x,y的微分為:將式(32)代入式(29),得:6低密度區(qū)域的出現(xiàn)變密度拓撲優(yōu)化方法由于引入了中間密度單元,會在優(yōu)化的過程中出現(xiàn)低密度區(qū)域,導(dǎo)致虛假模態(tài)的出現(xiàn),影響優(yōu)化進程。本文采用文獻[9]提出的虛假模態(tài)處理方法,以識別虛假模態(tài)。將低密度區(qū)域模態(tài)應(yīng)變能貢獻比值作為判斷指標,設(shè)定一個密度閥值ρ式中:E7數(shù)學(xué)模型的建立及初始化考慮結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的變密度拓撲優(yōu)化方法的具體流程如圖1所示。首先建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型并初始化基本參數(shù);然后進行靜力學(xué)分析,并提取單元應(yīng)力(用于構(gòu)建應(yīng)力矩陣S)及應(yīng)變能(用于求解式(20)中的應(yīng)變能e8第14次迭代前后的優(yōu)化過程及優(yōu)化結(jié)果圖2所示為受壓柱模型,設(shè)計域?qū)挾萕=1m,高度H=2m,結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)及優(yōu)化設(shè)計參數(shù)如表1所示。在設(shè)計域頂端中部施加均布載荷P=10圖3為柔度C、體積V和失穩(wěn)載荷因子λ圖4為優(yōu)化過程中結(jié)構(gòu)的拓撲變化過程、失穩(wěn)模態(tài)云圖以及相應(yīng)的優(yōu)化過程數(shù)據(jù)。由圖可見結(jié)構(gòu)下部兩側(cè)的材料被保留以保證穩(wěn)定性和一定的剛度,同時在上部兩側(cè)及中間區(qū)域去除材料以減小體積。與圖3相對應(yīng)來看,在第14次迭代之前,結(jié)構(gòu)主要在頂部兩側(cè)及底部中央去除材料,優(yōu)化進程較緩。在第14次迭代以后,結(jié)構(gòu)內(nèi)部開始出現(xiàn)孔洞,優(yōu)化進程加快。最終,失穩(wěn)載荷因子約束條件破壞,優(yōu)化終止。為實現(xiàn)對比說明,針對不考慮穩(wěn)定性的拓撲優(yōu)化問題,利用僅考慮體積約束下以結(jié)構(gòu)柔度最小為目標的傳統(tǒng)變密度法對上述模型進行拓撲優(yōu)化。在上述考慮穩(wěn)定性約束的優(yōu)化問題中,優(yōu)化后模型的體積收斂為初始模型體積的0.58,因此使用V對優(yōu)化過程進一步研究后發(fā)現(xiàn),當改變網(wǎng)格單元的大小后,優(yōu)化過程會受到一定的影響。當減小網(wǎng)格單元的大小時,即使用42×84個四節(jié)點四邊形平面應(yīng)變單元對設(shè)計域進行網(wǎng)格離散時,保持其余條件不變,迭代16次后,失穩(wěn)載荷因子為74.87,體積與原始體積比值為0.59,拓撲優(yōu)化后得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖6所示,與使用40×80個單元迭代16次得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)不同。通過分析發(fā)現(xiàn),在優(yōu)化過程中網(wǎng)格單元大小的改變會導(dǎo)致局部結(jié)構(gòu)失穩(wěn)現(xiàn)象的出現(xiàn),從而影響最終的優(yōu)化結(jié)果。9優(yōu)化問題的求解通過引入失穩(wěn)載荷因子約束,提出了一種考慮結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的變密度拓撲優(yōu)化方法。其中,通過推導(dǎo)單元的幾何剛度矩陣,計算幾何應(yīng)變能,從而得到失穩(wěn)載荷因子的靈敏度是求解優(yōu)化問題的關(guān)鍵。優(yōu)化算例表明,該考慮穩(wěn)定性約束的變密度拓撲優(yōu)化方法能顯著提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,需要注意的是,雖然該方法提高了結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,但在柔度方面會有一定妥協(xié)。即在相同的約束條件下,結(jié)構(gòu)的剛度優(yōu)化和穩(wěn)定性優(yōu)化將會在一定程度上相互約