基于鞍點理論的不等式約束優(yōu)化方法

基于鞍點理論的不等式約束優(yōu)化方法

0拉格朗日乘子法優(yōu)化和能源系統(tǒng)的開發(fā)應用非常廣泛?？纱笾聦⑶蠼獬绷髯顑?yōu)化問題的傳統(tǒng)方法分為兩類:牛頓法和梯度法。在牛頓法中,針對最優(yōu)潮流問題,首先形成增廣的拉格朗日函數(shù),將其線性化后,再運用牛頓法求解,得到最終的庫恩—塔克點。然而,這種方法存在著初值依賴性較高,并且在不等式約束的處理上難度較大的缺點,一些學者采用內(nèi)部試驗迭代的方法來辨識每次主迭代中有效不等式約束集,但這種不等式約束處理方法在實際應用中存在著程序編制和維護復雜、計算量大、數(shù)值穩(wěn)定性差等缺陷而在梯度方法中,對迭代初值的強依賴性這個缺點得以克服,但是對于處理不等式約束以及最優(yōu)步長的求解等問題上,采用梯度法依舊難度較大,雖然梯度法用罰函數(shù)處理不等式約束、用拉格朗日乘子判斷是否到邊界的方法是一種有效處理不等式約束的方法,但該處理方法會產(chǎn)生病態(tài)條件,導致收斂性變壞。文獻[6]對最優(yōu)潮流方法進行了詳盡敘述,此處不再贅述。隨著間歇式能源大規(guī)模接入電網(wǎng),其規(guī)模性和不確定性特點,對電力系統(tǒng)運行各方面都產(chǎn)生了一定影響,衍生出了許多新的研究熱點,電網(wǎng)的輸電能力就是其中一個重要方面。文獻[7-8]提出了基于序貫蒙特卡洛仿真的電網(wǎng)輸電能力的計算方法,該方法能綜合考慮動態(tài)時變性和不確定性的影響,根據(jù)元件運行特性及狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性,按時間順序?qū)ο到y(tǒng)狀態(tài)進行仿真,并定義了一系列的概率指標對輸電能力進行評估。文獻[9-11]在考慮負荷波動和設備故障等不確定性因素外,還考慮了風電場風速及輸出功率的隨機特性,利用蒙特卡洛仿真對輸電能力進行評估。文獻[12]基于點估計法和級數(shù)的大型太陽能發(fā)電系統(tǒng)的輸電能力概率計算方法,有效描述了影響系統(tǒng)輸電能力的各種不確定因素,并最終給出了輸電能力的概率區(qū)間。然而,上述方法通過概率區(qū)間來確定輸電能力的精確性較差,難以實現(xiàn)準確的系統(tǒng)調(diào)度和運行。拉格朗日函數(shù)的鞍點具有特殊的性質(zhì),像馬鞍一樣,能夠提供優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。利用拉格朗日函數(shù)的鞍點可以形成鞍點逼近算法針對電力系統(tǒng)優(yōu)化問題求解中的不等式約束處理困難的現(xiàn)象,首先對優(yōu)化問題進行松弛處理,把等式約束吸收進目標函數(shù)中,定義拉格朗日松弛函數(shù)的鞍距,說明鞍距實際上是由不等式約束引起的;將鞍距在不等式約束中進行分配,結合牛頓法修正方程,對于不同的分配方式,可以形成不同的算法;并說明內(nèi)點法只是鞍點逼近理論的一種應用,是將鞍距按照距離不等式約束邊界的對數(shù)距離進行分配的。最后,以電力系統(tǒng)最大輸電能力研究問題為例,對鞍點逼近理論處理不等式約束的算法進行驗證,以此證實本文所提出算法的有效性。1拉格朗日乘子和對偶問題對于優(yōu)化問題,一般都是直接或間接利用其庫恩—塔克條件進行尋優(yōu),尋優(yōu)的過程基本上都是在可行解域內(nèi)部進行。對于式(1)所示的優(yōu)化問題,其拉格朗日松弛函數(shù)可表示為式(2)所示的形式。式中:α和β分別為等式約束和不等式約束的拉格朗日乘子。如果定義原問題為:則對偶問題可以表示為:原問題提供了優(yōu)化問題最優(yōu)值的下界,而對偶問題則體現(xiàn)了庫恩—塔克條件中的互補松弛約束,提供了優(yōu)化問題最優(yōu)值的上界。因此拉格朗日函數(shù)的鞍點(x式中:上標*表示最優(yōu)值;點(x根據(jù)全局優(yōu)化理論,僅當函數(shù)f,g,h為凸函數(shù)時,上式中的等式成立。而實際上,電力系統(tǒng)網(wǎng)絡方程并不具有凸的性質(zhì),但是倘若假定最優(yōu)點在初始點附近,即在初始點一定的鄰域范圍內(nèi),可以大致認為網(wǎng)絡方程不會在單調(diào)性方面發(fā)生變化,因此上式可以認為是:同理,也可以定義拉格朗日松弛函數(shù)的原問題和對偶問題分別為:也必然有:即也可以認為:2不考慮正則約束的情況下的鞍距對于求解優(yōu)化問題來說,困難之一是不等式約束的處理問題,對應不等式約束的拉格朗日乘子具有突變的特點,即在可行解域內(nèi)部時值為0,而在可行解域的邊界上時,其值是一個正數(shù)。對于大多數(shù)的尋優(yōu)算法來說,這種突變性給計算帶來了一定的困難。當不考慮不等式約束的影響時,對于式(7)和式(8)所示的原始—對偶問題,可以定義鞍距為:鞍距體現(xiàn)了不考慮不等式約束情況下原始和對偶問題之間的差別當達到最優(yōu)解時,原始和對偶問題是相等的,對偶間隙σ=0,則有:由此可見,鞍距體現(xiàn)了不等式約束的變化。鞍距也有微分形式,可以描述為式(15)或式(16)。式中:f3零對偶間隙時鞍距的變化由于鞍距是由不等式約束的變化引起的,因此可以根據(jù)零對偶間隙時鞍距的變化公式求解對應不等式約束的拉格朗日乘子。假設不等式約束的數(shù)量為M,根據(jù)鞍距在不等式約束之間的分配方式的不同,可以相應地形成多種算法。3.1有對角矩陣假設鞍距由這M個不等式約束平分,即有:寫成矩陣的形式有:式中:H為由h的各個分量組成的對角矩陣;E為元素全部為1的M×1維向量。則寫成微分的形式有:即式中:ΔH(x,u)=H可得:3.2內(nèi)點法則原理鞍距的分配也可以按照不等式約束接近極限的程度進行,可以按照下式對鞍距進行劃分:寫成矩陣的形式有:寫成微分的形式有:即可得:此外,還可以采取將鞍距在越限的不等式約束之間分配等處理措施。由此可見,依照不同原則對鞍距進行分配,可以形成不同的算法。而內(nèi)點法則是將最優(yōu)化模型簡化為一般非線性模型,并引入松弛變量將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束后,把目標函數(shù)改造為障礙函數(shù),如下式所示:式中:f(x)為原目標函數(shù);h(x)=0為等式約束函數(shù);當L4互補松弛條件對于式(1),庫恩—塔克條件可以表示為:式中:f將上式展開得:在狀態(tài)變量、控制變量及對偶變量所對應不等式約束中,拉格朗日乘子β初值的給定需要滿足互補松弛條件,即在所有不等式約束均得到滿足的假設前提下,β=0。此時,迭代修正在可行解域內(nèi)完成,即與內(nèi)點法思路是一致的。此外,由上節(jié)的分析可見,拉格朗日乘子β具有一定的罰因子的性質(zhì),當接近于可行解域的邊界時,h(x,u)接近于0,因此H(x,u)鞍點逼近算法就是根據(jù)上述方程,不斷對控制變量、狀態(tài)變量和對偶變量進行修正逼近的一種計算方法。5輸電能力評估對于大規(guī)模間歇式能源接入下電力系統(tǒng)的最大傳輸能力問題,常見的一種做法是利用蒙特卡洛法對所關心的設備進行狀態(tài)抽樣后再進行狀態(tài)評估,得到足夠的狀態(tài)數(shù)據(jù),在每個系統(tǒng)狀態(tài)下,利用有效算法進行輸電能力計算,從而得到系統(tǒng)輸電能力的期望值電力系統(tǒng)的最大輸電能力問題的數(shù)學模型式中:λ為輸電能力的負荷倍數(shù);b將狀態(tài)變量定義為節(jié)點的電壓與相角;相應的,將控制變量定義為發(fā)電機的有功功率、無功電源的無功功率和輸電能力的負荷倍數(shù)。5.1負荷增長方向以IEEE30節(jié)點為例,系統(tǒng)的數(shù)據(jù)參見文獻[23]。將原始負荷方向取為負荷增長方向,需要注意一點是:除去平衡節(jié)點,其余節(jié)點的類型均屬于負荷節(jié)點類型。對于30節(jié)點的系統(tǒng),不等式約束的數(shù)量達到了86個,當要求的計算精度e=105.2發(fā)電機內(nèi)點和鞍點抽象再以IEEE14節(jié)點為例,比較本文所提出的基于拉格朗日函數(shù)鞍距分配的廣義內(nèi)點法與內(nèi)點法的效果。此處,將第3節(jié)中所提的按照不同鞍距分配方法形成的兩種鞍點逼近算法均與內(nèi)點法進行比較,其中鞍點逼近法1是鞍距按照不等式約束進行平均分配,鞍點逼近法2為鞍距按照不等式約束接近極限的程度進行分配。數(shù)據(jù)見文獻[24]。該系統(tǒng)包含兩臺發(fā)電機(其中1為平衡節(jié)點),只包含發(fā)電機的區(qū)域為送端區(qū),其余為受端區(qū)。取電壓約束的上、下限分別為此外,將算法迭代過程中對偶間隙G可以看出,對于鞍點逼近法1,由于是將鞍距平均分配,因此,計算步驟相對較少,計算速度很快,但其尋優(yōu)效果不佳,可能陷入局部最優(yōu),而非全局最優(yōu)。而對于鞍點逼近法2,由于是將鞍距按照不等式約束接近極限的程度進行分配,因此計算速度相對較慢,但尋優(yōu)效果較好。相較于廣泛應用的經(jīng)典算法內(nèi)點法,鞍點逼近法1的優(yōu)勢在于其計算速度快,但其相對較差的尋優(yōu)效率限制了該方法的使用;因此,更多的時候,采用鞍點逼近法2更具合理性與實用性,尋優(yōu)效果達到甚至略優(yōu)于內(nèi)點法,但其缺陷在于收斂速度相比內(nèi)點法而言較慢。且在編程的過程中,發(fā)現(xiàn)內(nèi)點法尋找可行初始點比較困難,而本文方法的可行初始點取值范圍要更大,對初值的敏感度較低。因此,本文所提方法具有一定的可行性。6結論與局限性當大規(guī)模間歇式電源接入電網(wǎng)時,所帶來的不確定性使得庫恩—塔克條件中對應不等式約束的拉格朗日乘子較難確定,給最優(yōu)潮流問題的求解帶來了一定的困難,本文通過將拉格朗日函數(shù)鞍點理論引入最優(yōu)潮流的求解過程中,得到了較好的效果。由于拉格朗日函數(shù)的鞍點表達式是單一方程的形式,而針對不等式約束的拉格朗日乘子為多個,所以存在如何利用這個單一的表達式求解多個拉格朗日乘子的問題。本文通過定義鞍距,并將鞍距在眾多不等式約束之間進行分配,根據(jù)不同的分配方式可以形成不同的算法。尤其是通過本文的推導可以看出,內(nèi)點罰函數(shù)方法只是拉格朗日鞍點理論應用的一個特例。本文所提的鞍點逼近算法的不足之處在于收斂速度劣于內(nèi)點法,這是由于按照不等式約束接近極限的程