讓探究和反思成為數(shù)學解題教學的支點

...v.讓探究和反思成為數(shù)學解題教學的支點“教〞與“學〞是一個有機的整體，對數(shù)學解題教學的反思是數(shù)學教師不斷改良教學方法，進一步提升自己教學水平的一個重要途經(jīng)。數(shù)學教師不僅要重視解題根底理論的學習，更要特別關注數(shù)學解題過程中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題和教育教學實踐能力的開展，突出對課堂教學和實際情境與自身教育教學經(jīng)歷的分析與反思。從而引發(fā)學生對數(shù)學解題過程的反思，激發(fā)學生的學習數(shù)學熱情和興趣，開展學生的數(shù)學思維和創(chuàng)新能力，使學生的數(shù)學素養(yǎng)得到最大可能的提高。?數(shù)學新課程標準?在總體目標中指出：“對學生數(shù)學學習過程的評價包括參與數(shù)學活動的程度，自信心，合作交流的意識，以及獨立思考的習慣，數(shù)學思考的開展水平等方面。如：是否積極主動地參與學習；是否找到有效地解決問題的方法，嘗試從不同角度去思考問題；是否能夠使用數(shù)學語言有條理地表達自己的思考過程；是否有反思自己思考過程的意識……，數(shù)學技能的訓練和能力的培養(yǎng)離不開解題。解題是使學生結(jié)實掌握數(shù)學根底知識和根本技能的必要途徑，也是檢驗知識，運用知識的根本形式。有效地培養(yǎng)數(shù)學解題能力，有助于獨立的創(chuàng)造性的認識活動，也可以促進數(shù)學能力的開展。波利亞認為，任何學問都包括知識和能力這兩個方面．對于數(shù)學，能力比起僅僅具有一些知識來重要得多．因此，“學校的目的應該是開展學生本身的內(nèi)蘊能力，而不僅僅是傳授知識〞．波利亞發(fā)現(xiàn)，在日常解題和攻克難題而獲得數(shù)學上重大發(fā)現(xiàn)之間，并沒有不可逾越的鴻溝．他說：“一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一些重大的問題，但在求解任何問題的過程中，也都會有點滴的發(fā)現(xiàn)．〞要想有重大的發(fā)現(xiàn)，就必須重視平時的解題．數(shù)學有兩個側(cè)面，一方面，已嚴格地提出來的數(shù)學是一門系統(tǒng)的演繹科學；另一方面，在創(chuàng)造過程中的數(shù)學看來卻像是一門實驗性的歸納科學．波利亞指出，通過研究解題方法，我們可以看到數(shù)學的第二個側(cè)面，也就是看到“處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學〞。因此，波利亞把“解題〞作為培養(yǎng)學生數(shù)學才能和教會他們思考的一種手段和途徑．這種思想得到了國際數(shù)學教育界的廣泛贊同．1976年數(shù)學管理者委員會把解題能力列為10項根本技能的首位，美國數(shù)學教師聯(lián)合會理事會把解題提到了“80年代學校數(shù)學的核心〞這一高度．波利亞強調(diào)解題訓練的目的是引導學生開展智力活動，提高數(shù)學才能．在他看來，解題過程就是不斷變更問題的過程．在數(shù)學學科中，能力指的是什么?波利亞說：“這就是解決問題的才智——我們這里所指的問題，不僅僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創(chuàng)造精神．〞波利亞致力于培養(yǎng)學生的獨立探索能力．“問題是數(shù)學的心臟〞，對一個好的數(shù)學問題的不斷的探究和反思能到達師生雙贏—促進教師數(shù)學教學水平和學生學習成績的共同提高，從而使“教〞與“學〞到達和諧進步。著名數(shù)學家波利亞就曾說過：“數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回憶與反思。實踐說明，培養(yǎng)學生把解題后的反思應用到整個數(shù)學學習過程中，養(yǎng)成檢驗、反思的習慣，是提高學習效果、培養(yǎng)能力的行之有效的方法。鼓勵學生結(jié)合解題后的反思，提出問題，并將其指定為反思內(nèi)容之一，既能充分發(fā)揮學生的主體性，又能形成師生互動、生生互動的教學情境，還能培養(yǎng)學生的不斷探究的精神，從而使學生的數(shù)學創(chuàng)新意識得到保護和培養(yǎng)。這無疑對學生“心態(tài)的開放，主體的凸現(xiàn)，個性的X顯〞是十分有益的。經(jīng)過一段時間課改的具體實施，我發(fā)現(xiàn)也真正體會到，許多曾經(jīng)對數(shù)學不感興趣的學生，都對數(shù)學有了濃厚的興趣，也使我真正體會到只要你給學生創(chuàng)造一個自由活動的空間，學生便會還給你一個意外的驚喜。日前，筆者在課堂上例行講解一道關于平行四邊形性質(zhì)的運用的復習題，本以為這是十分平常的事，穩(wěn)固一下知識，按部就班講完就算了。想不到卻引出了一連串的話題及其對該題的一系列的探究。題目：如圖1，在□ABCD中，AB=2BC，E為AB的中點，DF⊥BC，垂足為F．請你說明：∠AED=∠EFB．圖1解答：如圖2，分別延長DE、CB交于點G圖1∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCAD=BC∴∠A=∠EBGEBACDFEBACDFG圖2∠A=∠EBGAE=BE∠AED=∠BEG∴△ADE≌△BGE∴DE=GEAD=BG又∵DF⊥BC∴EF=DG=EG∴∠EFB=∠G圖3又∵AB=2BCAE=BE=AB圖3∴BE=EG∴∠BEG=∠G又∵∠BEG=∠AED∴∠AED=∠EFB分析、講解完后，等了一會，根據(jù)本人的習慣，問學生是否理解？能否掌握？是否有疑問？有無可以改良的地方？有無其它的做法？能否提出新的問題？圖4本以為學生不會有什么問題，哪曾想，一石激起千層浪，很快就有學生提出了不同的想法。圖4生1：添加如圖3的輔助線同樣可以做.〔這點我早就想到了〕生2：如圖4，過E作EG∥BC交DF于點G.∵E是AB的中點∴G是DF的中點又∵DF⊥BC∴EG⊥DF∴EG是DF的中垂線∴DE=FE∴∠EDF=∠DFE∴∠EFB=∠ADE∵AD=AB=AE∴∠ADE=∠AED∴∠AED=∠EFB評注：這個方法好，運用轉(zhuǎn)化思想巧妙地把證∠AED=∠EFB的問題轉(zhuǎn)化成證∠EDF=∠DFE，思路清晰，值得表揚。圖5生3：題中有多余條件〔我有點吃驚〕！把□ABCD這個條件改為“在梯形ABCD中，AD∥BC〞，因為AB∥CD這個條件用不到.因此此題可以把圖形弱化成圖5，題目改為：如圖5，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=2BC，E為AB的中點，DF⊥BC，垂足為F．請你說明：∠AED=∠ECB．這樣更具有一般性。圖5評注：思考到這個程度是我始料未及的，從中可以看出我們的學生真是了不起，把問題的本質(zhì)給抓住了，可喜可賀??！我為他感到驕傲.圖6生4：我在稿紙上畫圖，得到的是圖6，這時結(jié)論∠AED=∠EFB顯然不成立，我發(fā)現(xiàn)它們的關系是∠AED+∠EFB=180°.也就是說，如果把原題中的如圖去掉，那么∠AED與∠EFB的關系就應該是“相等或互補〞。教師，對嗎？圖6評注：說實話，這時的我太興奮了，我感到從未有過的幸福.這位學生的思考是我在課前沒有想到的。隨著圖形的變化，所證的結(jié)論在改變，在這種動態(tài)的變化之中，學生的思維在不斷遷移和開展，數(shù)學學習興趣不斷高漲，學習的潛能得到極大的激發(fā)，不正是我們教學所追求的目標嗎？何為創(chuàng)新，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程就是創(chuàng)新，學生的思考，學生的發(fā)現(xiàn)，值得我們反思！到此課堂氣氛到達了高潮，同學們紛紛參與，各抒己見，又提出了不少細節(jié)方面的問題，如解題格式的書寫等等。精彩的演繹，完美的課堂。課后，難以平靜，反復回味，滿足之余總覺得好似還缺點什么，缺什么呢？翌日，生4又自豪地告訴我，他又有了新的發(fā)現(xiàn)，得到了更一般的結(jié)論：當60°<∠A<180°時，∠AED=∠EFB.當0°<∠A<60°時，∠AED+∠EFB=180°.是??！就缺這么多。幾天后的一課間，一向文靜內(nèi)向，善于思考的小雯同學告訴我她的發(fā)現(xiàn)：交換題目的條件和結(jié)論還可以得到新的真命題。命題1：如圖1，在□ABCD中，E為AB的中點，DF⊥BC，垂足為F，∠AED=∠EFB．請你說明：AB=2BC．命題2：如圖1，在□ABCD中，E為AB的中點，AB=2BC，垂足為F，∠AED=∠EFB．請你說明：DF⊥BC．當然，在圖6中同樣能得到類似的命題。評注：小雯同學的思考已經(jīng)不是一般層面上的東西了，充分反映她對此題理解的進一步深入。說明她對該題的掌握程度已經(jīng)到達一個新的高度，既說明了她對該題透徹的理解，更反映了一位優(yōu)秀同學的數(shù)學學習素養(yǎng)。讓我切身感受到：“師不必賢于弟子，弟子不必不如師〞的快樂。同時也給我?guī)頍o盡的思索：我們終究需要開展什么樣的數(shù)學教育，什么樣的教育教學方法才是數(shù)學學習所急需的？我想通過對此題教學過程的不斷的反思和考量，我們已經(jīng)找到了答案—讓反思成為習慣，讓探究成為數(shù)學解題教學的主題。解數(shù)學題決不能解一題丟一題，這樣做無助于解題能力的提高。解題后的反思是提高解題能力的一個重要途徑。1.善于進展總結(jié)PBDNCPBDNCEAKFMG2.善于進展引伸解完一道題之后，要善于把它“改頭換面〞。變成為多個與原題內(nèi)容或形式不同，但解法類似或相似的題目，這樣可以擴大視野，深化知識，從而提高解題能力。例如：邊長為4的正方形CDEF，截去一角成五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=1，P是AB上一點，AP:PB=2〔如圖示〕，求矩形PNDM的面積.解：延長NP交EF于K，延長MP交CF于G，得PG=AF=，PK=BF=∴矩形PNDM的面積=MP×NP=〔4－〕〔4－〕=。解完這道題后可以作如下引伸：去掉條件“AP:PB=2”。于是矩形PNDM的面積因P點在AB上的不同位置而變化，可引伸為如下的題目：邊長為4的正方形CDEF，截去一角成五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=1，假設P是AB上的一個動點，并將矩形PNDM的面積記為S，求S的變化范圍。假設條件不變又可引伸為：①S的最大值、最小值分別是多少？②P點在怎樣的位置時S的值為10？這樣從不同角度引伸，有助于培養(yǎng)學生的解題能力。3.善于進展推廣當一道數(shù)學題解完之后，如果將命題中的特殊條件一般化，從而推得更為普遍的結(jié)論，這就是數(shù)學命題的推廣。善于進展推廣所獲得的就不只是一道題的解法，而是一組題、一類題的解法。這有利于培養(yǎng)學生深入鉆研的良好習慣，激發(fā)他們的創(chuàng)造精神。例如：〔2007XXXX〕意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩上數(shù)的和?，F(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的長度構(gòu)造如下正方形：序號①②③④周長6101626再分別依次從左到右取2個、3個、4個、5個,正方形拼成如下矩形并記為①、②、③、④.相應矩形的周長如下表所示：假設按此規(guī)律繼續(xù)作矩形，那么序號為⑩的矩形周長是.〔答案466〕評注：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….這是一個很有規(guī)律的數(shù)列，從第三項起，每一項都是緊接著它的前面兩項的和，這個數(shù)列可以無窮盡地向大數(shù)開展.人們?yōu)榱思o念這位“兔子問題〞的創(chuàng)始人，就把這個數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列〞．該數(shù)列有很多奇妙的屬性.比方：隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越來越逼近0.6180339887…….，還有一個性質(zhì)，從第二項開場，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1。連續(xù)4項中，中間兩項的積與外面兩項積的差是1或1.解完這道題后，可以引導學生針對這一知識作如下推廣：〔1〕〔2001年第十六屆XX省初中數(shù)學競賽B卷12題〕三條線段能構(gòu)成三角形的條件是：任意兩條線段長度的和大于第三條線段的長度．現(xiàn)有長為144cm的鐵絲，要截成n小段(n>2)，每段的長度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，那么n的最大值為。答案：要使n最大，應使裁出的小段盡可能的短，又每小段的長度最小為1，且任意三段不能拼成三角形，故應讓截取的小段長度取1，1，2，3，5，8，13，21，34，55〔從第3數(shù)開場，每一數(shù)都是緊接著它的前兩數(shù)的和〕。上述這些數(shù)之和為143，與144相差1，故可取各段長度為1，1，2，3，5，8，13，21，34，56.這時n的值最大，n的最大值為10.〔2〕〔XX省第十七屆初中數(shù)學競賽試卷初三年級17題〕現(xiàn)有長為150cm的鐵絲，要截成n(n>2)小段，每段的長為不小于1(cm)的整數(shù)．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求n的最大值，此時有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的n段．答案：因為n段之和為定值150(cm)，故欲n盡可能的大，必須每段的長度盡可能的?。钟捎诿慷蔚拈L度不小于1(cm)，且任意3段都不能拼成三角形，因此這些小段的長度只可能分別是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…但1+1+2+……+34+55=143<150，1+1+2+……+34+55+89=232>150，故n的最大值為10．將長為150(cm)的鐵絲分為滿足條件的10段共有以下7種方式：1，1，2，3，5，8，13，2l，34，621，1，2，3，5，8，13，21，35，6l1，1，2，3，5，8，13，21，36，601，1，2，3，5，8，13，21，37，591，l；2，3，5，8，13，22，35，601，1，2，3，5，8，13，22，36，591，l，2，3，5，8，14，22，36，58這種推廣對活潑思路，開闊視野，培養(yǎng)解題能力是大有裨益的。培養(yǎng)學生的解題能力，對開展學生的辯證唯物主義數(shù)學觀，有重要的教育意義。在解題教學中，教師要引導學生在實踐中演練，感知，體會解題的思想方法，逐步形成一系列行之有效的解題策略，如，