新人教A版高中數學選擇性必修一《3.3.2拋物線的簡單幾何性質（第1課時）》教案VIP

2.3.2拋物線的簡單幾何性質（第一課時）(人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第三章)新安中學（集團）高中部叢文娟一、教學目標1.掌握拋物線的簡單幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率；2.能根據拋物線的幾何性質對拋物線方程進行討論；3.對通徑、焦半徑公式進行初步探索；4.進一步理解數形結合的思想方法在解析幾何中的應用。二、教學重難點1.教學重點：拋物線的簡單幾何性質、利用拋物線的幾何性質求方程、對通徑與焦半徑公式的初步探究。2.教學難點：利用數形結合法對通徑、焦半徑公式的探究。三、教學過程1.利用數形結合的思想探究拋物線的簡單幾何性質1.1知識回顧，溫故知新【學生活動】學生完成學案內容，對拋物線的四種方程、圖形、焦點坐標、準線方程進行復習。圖形方程焦點準線【設計意圖】之前學過橢圓、雙曲線的幾何性質，都是通過圖形和方程兩方面進行研究的，因此引導學生對拋物線的四種方程、圖形、焦點坐標、準線方程進行復習，有利于對拋物線性質的進一步探索。1.2數形結合，類比探究問題1：類比用標準方程研究橢圓、雙曲線幾何性質的過程與方法，請思考：我們要研究拋物線的哪些幾何性質？如何研究這些性質？【預設答案】前面我們學習了橢圓、雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率，在雙曲線中還學習了漸近線。我們是通過“數”和“形”兩方面對橢圓、雙曲線的幾何性質進行探究的?！驹O計意圖】類比橢圓、雙曲線幾何性質的研究思路，為接下來用數形結合法研究拋物線的幾何性質進行鋪墊。問題2：觀察圖形，你能發(fā)現拋物線橫、縱坐標的取值范圍嗎？【預設答案】通過觀察圖形，學生很容易得到開口向右的拋物線中橫、縱坐標的取值范圍，即為問題3：從數的角度，也就是從拋物線方程的角度，怎樣得到拋物線中橫縱坐標的取值范圍呢？【預設答案】在方程中，并無限制，因此。而因為，且，所以?！驹O計意圖】讓學生從“數”和“形”兩個角度探索拋物線的范圍。問題4：觀察圖形，拋物線有幾條對稱軸？是否有對稱中心？【預設答案】學生觀察圖形容易得到開口向右的拋物線關于軸對稱，沒有對稱中心。問題5：從“數”的角度，怎樣說明拋物線圖像關于x軸對稱？【教師講授】要說明拋物線的圖像關于x軸對稱，只需要在拋物線上任取一點，關于x軸的對稱點也在拋物線上即可?！驹O計意圖】引導學生從“數”和“形”兩個角度探索拋物線的對稱性。問題6：根據圖形，觀察拋物線的頂點是什么？【預設答案】問題7：從“數”的角度，如何從方程中得到拋物線的頂點？【教師講授】在拋物線的方程中，，令，得到?！驹O計意圖】引導學生從“數”和“形”兩個角度探索拋物線的頂點?！窘處熤v授】給出拋物線離心率的定義，并根據拋物線的定義，得出離心率為1。此時，繼續(xù)引導學生復習橢圓和雙曲線的定義和取值范圍。1.3適時歸納，總結提升①（范圍）拋物線只位于半個坐標平面內②（對稱性）拋物線只有1條對稱軸,沒有對稱中心;③（頂點）拋物線只有1個頂點、1個焦點、1條準線;④（離心率）拋物線的離心率是確定值1。2.一題多變，一題多解，學以致用例題1：已知拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點，求拋物線的標準方程。【預設答案】由已知拋物線的開口向右，故設拋物線的標準方程為。將帶入方程，得到，故拋物線的方程為。變式訓練：已知拋物線對稱軸為坐標軸，它的頂點在坐標原點，并且經過點，求拋物線的標準方程?！绢A設答案】或【設計意圖】（1）例題1和變式訓練都是對拋物線性質的初步應用，進一步強化待定系數法求拋物線方程的訓練。（2）例題2引導學生辨析思考，分類討論。例題2：斜率為1的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，求線段的長?！绢A設答案】方法1：聯立直線和拋物線方程，求出兩點的坐標，利用兩點間距離公式求出的長?！窘處煱鍟吭O。由已知，拋物線的焦點坐標為，故直線的方程為。聯立直線和拋物線，得，所以，因此方法2：利用拋物線的定義，將焦點弦的長度轉化為兩個焦半徑的長度。可以利用方法1求出，也可使用韋達定理?！窘處煱鍟俊驹O計意圖】引導學生多種角度思考，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，為接下來探索焦半徑和通徑公式，進行鋪墊。【問題8】連接拋物線上一點與焦點的線段叫做拋物線的焦點弦。根據例題2的方法2，你能否得到拋物線的焦點弦公式？【預設答案】【問題9】你能否總結出另外三種拋物線的焦半徑公式？【預設答案】開口向左：；開口向上：；開口向下：?！締栴}10】有一種特殊的焦點弦，它垂直于拋物線的對稱軸，這種焦點弦叫做通徑。你能否根據焦半徑公式，求出通徑的長度嗎？【預設答案】通徑【設計意圖】引導學生對焦半徑公式、通徑進行提煉與總結。3.深入思考，思維升華【思考1】雙曲線的開口大小由離心率來衡量，那么拋物線的開口大小怎樣確定呢？【預設答案】通徑越長，開口越大?！驹O計意圖】類比雙曲線，引導學生利用通徑對拋物線的形狀進一步探索?！舅伎?】通徑是一類特殊的焦點弦，那么請問通徑是拋物線最短的焦點弦嗎？【設計意圖】思考2由特殊抽象到一般，對例題2利用焦半徑求焦點弦問題的進一步升華。另外，為下一節(jié)課進一步探索拋物線的焦點弦問題埋下伏筆。在下節(jié)課中，將采用更為多樣的方法求證“通徑就是拋物線最短的焦點弦”。4.小組活動，總結提升【小組活動】小組合作，合作探求另外三種拋物線的幾何性質。標準方程圖形焦點準線范圍頂點對稱軸離心率焦半徑通徑軸軸【設計意圖】引導學生利用數形結合的思路對其他三種拋物線進行探究，提升總結?！窘處熆偨Y】總結課堂內容，并提出思考，你還能有幾種方法說明“通徑就是拋物線最短的焦點弦”？【設計意圖】梳理本節(jié)內容，提煉方法；為下節(jié)課繼續(xù)探索焦點弦問題埋下伏筆。課后作業(yè)（1）課本第136頁，課后習