2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊高分突破必練專題（人教版） 一線三等角模型的綜合應(yīng)用（解析版）

一線三等角模型的綜合應(yīng)用模型一一線三垂直全等模型如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一線三等角全等模型如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA圖一圖二應(yīng)用：①通過證明全等實現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對應(yīng)的幾何問題；②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點的坐標(biāo)的求解?！绢愋鸵唬簶?biāo)準(zhǔn)“K”型圖】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系．【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時，AD，DE，BE所滿足的等量關(guān)系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【變式1-1】如圖，∠BAC＝90°，AD是∠BAC內(nèi)部一條射線，若AB＝AC，BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F．求證：△ABE≌△CAF．【解答】證明：∵∠BAC＝90°，∴∠CAF+∠BAE＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠CFA＝∠BEA＝90°，∴∠C+∠CAF＝90°，∴∠C＝∠BAE，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）【變式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，過點B、C分別作l的垂線，垂足分別為點D、E．（1）特例體驗：如圖①，若直線l∥BC，AB＝AC＝，分別求出線段BD、CE和DE的長；（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線段BC相交于點H，請再探線段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段BD交線段AC于點F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【類型二：做輔助線構(gòu)造“K”型圖】【典例2】如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD為等腰三角形，AD＝AB＝BC，E為DB延長線上一點，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度數(shù)；（2）求證：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．則△ABC的面積為．（用含a，b，c的式子表示）【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°，∠BAD＝2∠CAE，∴∠BAD＝40°，∵AD＝AB，∴∠D＝∠DBA＝70°，又∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）證明：過點A作AF⊥DE于點F，過點C作CG⊥DE于點G，∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°，又∵AD＝BC＝AB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠FAB＝∠DAB＝∠CAE，∵∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°，∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE，在△BAF和△CBG中，，∴△BAF≌△CBG（AAS），∴AF＝BG，BF＝CG，∵∠CBG＝∠CAE，∴∠AEF＝∠ACB＝45°，∴AF＝EF＝BG，BF＝CG，∴BF＝EG＝CG，∴∠CEG＝∠AEF＝45°，∴∠AEC＝90°，∴∠BEC＝135°；（3）解：由（2）可知CG＝BF，AF＝EF，∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE，∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC，∴S△ABC＝BE?CG＝BE?（AF﹣BE）＝．故答案為：．【類型三：“K”型圖與平面直角坐標(biāo)綜合】【典例3】如圖，平面直角坐標(biāo)系中有點A（﹣1，0）和y軸上一動點B（0，a），其中a＞0，以B點為直角頂點在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC，設(shè)點C的坐標(biāo)為（c，d）．（1）當(dāng)a＝2時，則C點的坐標(biāo)為；（2）動點B在運動的過程中，試判斷c+d的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1中，過點C作CE⊥y軸于E，則∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案為：（﹣2，3）；（2）動點A在運動的過程中，c+d的值不變．理由：過點C作CE⊥y軸于E，則∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵點C的坐標(biāo)為（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不變．【變式3】點A的坐標(biāo)為（4，0），點B為y軸負(fù)半軸上的一個動點，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如圖一，若點B坐標(biāo)為（0，﹣3），連接AC、OD．①求證：AC＝OD；②求D點坐標(biāo)．（2）如圖二，連接CD，與y軸交于點E，試求BE長度．【解答】（1）①證明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如圖一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，過點D作DF⊥y軸于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如圖二、過點D作DF⊥y軸于F，則∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【類型四：特殊“K”型圖】【典例4】（1）猜想：如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出；（2）探究：如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α為任意銳角或鈍角）如果成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）解決問題：如圖3，F(xiàn)是角平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，D、E分別是直線m上A點左右兩側(cè)的動點，D、E、A互不重合，在運動過程中線段DE的長度始終為n，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）結(jié)論DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE為等邊三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE為等邊三角形．【變式4】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點都在直線m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，判斷并說明線段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點A在線段DE上以2cm/s的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段EF上以xcm/s的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案為：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，當(dāng)△DAB≌△ECA時，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此時x＝2；當(dāng)△DAB≌△EAC時，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，綜上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．1．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）試探究線段AD，DE，BE之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．【解答】（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACE+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：AD＝BE+DE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，AD＝CE，∵CE＝CD+DE，∴AD＝BE+DE．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．3．如圖，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點C放置在水平直線MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，試回答下列問題：（1）若把三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB∥MN時，∠2＝45度；（2）在三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，分別作AM⊥MN于M，BN⊥MN與N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC繞著點C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系？請說明理由．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∵AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案為45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由．【解答】（1）證明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此時應(yīng)有DE＝AD﹣BE．證明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．5.已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．（1）如圖①，已知點A（0，﹣4），B（1，0），求點C的坐標(biāo)；（2）如圖②，已知點A（0，0），B（3，1），求點C的坐標(biāo)．【解答】解：（1）過點C作x軸的垂線，交x軸于點D，∵A（0，﹣4），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，∴∠CBD+∠OBA＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∵AB＝BC，∠AOB＝∠BDC＝90°，∴△BCD≌△ABO（AAS），∴CD＝BO＝1，BD＝AO＝4，∴OD＝3，∴點C坐標(biāo)為（﹣3，1）；（2）過B作x軸的垂線，交x軸于點D，過點C作DB的垂線交DB的延長線于點E，∵A（0，0），B（3，1），∴OD＝3，BD＝1，∵∠ABC＝90°，∠ADB＝90°，∴∠CBE+∠OBD＝90°，∠BAD+∠OBD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC＝90°，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴CE＝BD＝1，BE＝AD＝3，∴DE＝4，∴點C的橫坐標(biāo)為3﹣1＝2，∴點C坐標(biāo)為（2，4）．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，m），B（m，0），C（0，﹣m），其中m＞0，點P為線段OA上任意一點，連接BP，CE⊥BP于E，AD⊥BP于D．（1）求證：AD＝BE；（2）當(dāng)m＝3時，若點N（﹣3，0），請你在圖1中連接CD，EN交于點Q．求證：EN⊥CD；（3）若將“點P為線段OA上任意一點，”改為“點P為線段OA延長線上任意一點”，其他條件不變，連接CD，EN⊥CD，垂足為F，交y軸于點H，交x軸于點N，請在圖2中補全圖形，求點N的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）．【解答】（1）證明：如圖1中，∵A（0，m），B（m，0），C（0，﹣m），∴OA＝OB＝OC＝m，∴∠ABC＝90°，∵OB⊥AC，OA＝OC，∴BA＝BC，∵CE⊥BP于E，AD⊥BP于D，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∵∠CBE+∠ABD＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠ABD＝∠BCE，在△ADB和△BEC中，，∴△ADB≌△BEC（AAS），∴AD＝BE．（2）證明：如圖1中，設(shè)CD交ON于點J，EN交CD于點K．∵N（﹣3，0），m＝3，∴OA＝OB＝OC＝ON＝3，∴AC＝BN，∵∠ADP＝∠BOP＝90°，∠APD＝∠BPO，∴∠DAC＝∠EBN，在△ACD和△BNE中，，∴△ACD≌△BNE（SAS），∴∠ACD＝∠BNE，∵∠ACD+∠CJO＝90°，∠CJO＝∠NJK，∴∠CNE+∠NJK＝90°，∴∠NKJ＝90°，∴CD⊥EN．（3）解：如圖2中，∵CE⊥BP于E，AD⊥BP于D，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∵∠CBE+∠ABD＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠ABD＝∠BCE，在△ADB和△BEC中，，∴△ADB≌△BEC（AAS），∴AD＝BE．∠BAD＝∠CBE，∵∠CAB＝∠CBO＝45°，∴∠CAD＝∠EBN，∵EN⊥CD，∴∠CFH＝∠NOH，∵∠NHO＝∠CHF，∴∠ACD＝∠HNO，在△CAD和△NBE中，，∴△CAD≌△NBE（AAS），∴AC＝BN＝2m，∴ON＝BN﹣OB＝m，∴N（﹣m，0）．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A（﹣6，0），B（0，9），C（0，4），連接AB、AC，點D為x軸正半軸上一點，且S△ACD＝S△ABC．（1）求點D的坐標(biāo)；（2）如圖2，延長DC交AB于點E，AE＝AC，求點E的坐標(biāo)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點P在第三象限，連接AP、BP、CP，若∠CAP＝90°，∠BAC＝2∠PCO，BP交x軸于點K，求點K的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵A（﹣6，0），B（0，9），C（0，4），∴AO＝6，OB＝9，OC＝4，∴BC＝OB﹣OC＝9﹣4＝5，∴S△ACB＝×5×6＝15，∵S△ACD＝×4?AD＝2AD，S△ACD＝S△ABC．∴2AD＝×15，∴AD＝10，∴OD＝AD﹣OA＝10﹣6＝4，∴D（4，0）；（2）過點E作FH∥AD，交y軸于點H，過點A作FA⊥AD，交FH于點F，∵x軸⊥y軸，∴∠AOB＝90°，∵FH∥AD，∴∠FHO＝90°，∵FA⊥AD，∴∠FAO＝90°，∵FH∥AD，∴∠AFH+∠FAD＝180°，∴∠AFH＝90°，∴∠AFH＝∠FHO＝∠FAO＝∠AOB＝90°，∴四邊形AFHO是矩形，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∵OC＝OD，∴∠COD＝90°，∴∠CDO＝∠DCO＝45°，∵FH∥AD，∠CEH＝∠CDO＝45°，且∠AEF+∠AEC+∠CEH＝180°，∠ACO+∠ACE+∠DCO＝180°，∴∠AEF＝∠ACO，在△AEF和△ACO中，，∴△AEF≌△ACO（AAS），∴AF＝AO，EF＝CO＝4，∴矩形AFHO為正方形，∴AO＝FH＝6，∴EH＝FH﹣EF＝6﹣4＝2，∴E（﹣2，6）；（3）∵∠BAC＝2∠PCO，設(shè)∠PCO＝α，∴∠BAC＝2α，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣α，∵∠DCO＝45°，∴∠ACP＝180°﹣∠DCO﹣∠PCO﹣∠ECA＝180°﹣45°﹣α﹣（90°﹣α）＝45°，∵∠CAP＝90°，∴∠APC＝180°﹣∠CAP﹣∠ACP＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴∠ACP＝∠CAP，∴AC＝AP，過點A作HR⊥x軸．過點C作CH⊥HR，過點P作RT⊥HR，∴∠H＝∠CAP＝∠R＝90°，∵∠HAC+∠HCA＝180°﹣∠H＝180°﹣90°＝90°，∠HAC+∠RAP＝180°﹣∠CAP＝180°﹣90°＝90°，∴∠HCA＝∠RAP，在△CHA和△ARP中，，∴△CHA≌△ARP（AAS），∴HC＝AR，HA＝RP，∵OA＝6，OC＝4，TB＝OB+OT＝9+6＝15，∴HC＝AR＝6，∴HA＝RP＝4，∴PT＝RT﹣RP＝6﹣4＝2，設(shè)KO＝a，S△BPT＝S梯形KOTP+S△BKO，∴（KO+PT）?OT+KO?OB，∴×（a+2）×6+a×9，解得a＝，∴K（﹣，0）．8．從反思中總結(jié)基本活動經(jīng)驗是一個重要的學(xué)習(xí)方法．例如，我們在全等學(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等”這一基本圖形，可以使得我們在觀察新問題的時候很迅速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗，迅速解決問題．（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0，2），點E是線