2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)高分突破必練專題（人教版） 因式分解常用方法（六大類型）（原卷版）

因式分解常用方法（六大類型）類型一：提公因式法提公因式提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)．注意：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；②如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“－”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的．類型二：公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來(lái)使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2類型三：先提公因式，再用公式法類型四：先展開，再用公式法類型五：十字相乘法考點(diǎn)2：十字相乘法1.x2pqxpq（x+p）（x+q）2.在二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即aa1a2，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即cc1c2，把a(bǔ)1，a2，c1，c2排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2bxc的一次項(xiàng)系數(shù)b，即a1c2a2c1b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1xc1與a2xc2之積，即ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)．類型六：分組分解法【類型一：提公因式法提公因式】【典例1】（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期末）因式分解：（1）﹣20a﹣15ax；（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．【變式1-1】（2022?中山市三模）因式分解：3ax﹣9ay＝．【變式1-2】（2022?濱?？h模擬）將多項(xiàng)式2a2﹣6ab因式分解為．【變式1-3】（2019秋?西城區(qū)校級(jí)期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）【變式1-4】（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）分解因式：x（a﹣b）+y（b﹣a）﹣3（b﹣a）．【類型二：公式法】【典例2】（2021秋?富?？h期末）因式分解：（1）．（2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．【變式2-1】（2022春?來(lái)賓期末）把多項(xiàng)式9a2﹣1分解因式，結(jié)果正確的是（）A．（3a﹣1）2 B．（3a+1）2 C．（9a+1）（9a﹣1） D．（3a+1）（3a﹣1）【變式2-2】（2022?菏澤）分解因式：x2﹣9y2＝．【變式2-3】（2021?槐蔭區(qū)一模）分解因式：4a2﹣9b2．【變式5-4】（2021秋?閔行區(qū)期末）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．【考點(diǎn)5因式分解-完全平方】【典例3】（2022春?攸縣期末）分解因式：y2+4y+4＝（）A．y（y+4）+4 B．（y+2）2 C．（y﹣2）2 D．（y+2）（y﹣2）【變式3-1】（2022?河池）多項(xiàng)式x2﹣4x+4因式分解的結(jié)果是（）A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2【變式3-2】（2022?富陽(yáng)區(qū)二模）分解因式4y2+4y+1結(jié)果正確的是（）A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2【變式3-3】（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）分解因式（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．【類型三：先提公因式，再用公式法】【典例4】（2022春?巨野縣期末）因式分解：（1）x3﹣2x2y+xy2（2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x）【變式4-1】（2022春?濟(jì)陽(yáng)區(qū)期末）因式分解：2x3﹣8x2y+8xy2．【變式4-2】（2022春?辰溪縣期末）因式分解：（1）2ax2﹣2ay2；（2）3a3﹣6a2b+3ab2．【變式4-3】（2022?南京模擬）因式分解：4a2（x+7）﹣9（x+7）．【變式4-4】（2022春?新城區(qū)校級(jí)期末）因式分解：﹣3a+12a2﹣12a3．【類型四：先展開，再用公式法】【典例5】（2021春?蘇州期末）分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab．（2）（a﹣b）2+4ab．【類型五：十字相乘法】【典例6】（2021?北碚區(qū)校級(jí)開學(xué)）分解因式x2﹣4x﹣12；（2）x2﹣4x﹣5．（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2．（4）3x2﹣19x﹣14．【變式6】（2021春?岑溪市期末）分解因式（1）m2﹣4m﹣5．（2）x2+2x﹣3（3）x2﹣2x﹣8【類型六：分組分解法】【典例7】（2022春?新田縣期中）先閱讀材料：分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．解：a2b﹣3a2+2b﹣6＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）＝（b﹣3）（a2+2）以上解題過程中用到了“分組分解法”，即把多項(xiàng)式先分組，再分解．請(qǐng)你運(yùn)用這種方法對(duì)下面多項(xiàng)式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．【變式7-1】（2020秋?上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【變式7-2】（2020秋?嘉定區(qū)期末）分解因式：x2﹣y2﹣2x﹣2y．1.（2021秋?江津區(qū)月考）分解因式（1）﹣20a﹣15ax；（2）xy3﹣10xy2+25xy2.（2021春?鐵西區(qū)期末）分解因式(1)2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）2m（x﹣y）﹣3n（x﹣y）．3.（2021春?惠山區(qū)期中）分解因式：（1）a3﹣4a2+4a；（2）a2b﹣16b．4、（2021秋?姜堰區(qū)月考）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．5.（2021春?肅州區(qū)校級(jí)期中）分解因式：（1）x2﹣10x+16；（2）x2﹣2x﹣3．6.（2021?市南區(qū)校級(jí)開學(xué)）分解因式：（1）（x﹣2）（x﹣4）+1．（2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2；7．（2022春?富平縣期末）因式分解：x2（m+n）﹣4y2（m+n）．8.（2022春?新田縣期末）因式分解：（1）﹣3y2+12y﹣12；（2）a2（a﹣b）+b2（b﹣a）．9．（2022春?清江浦區(qū)期末）因式分解：（1）a2﹣9；（2）3x2+6xy+3y2．10．（2022春?海陵區(qū)期末）把下列各式因式分解：（1）x2﹣25；（2）﹣4x2+24x﹣36．11．（2022春?東臺(tái)市期中）因式分解：（1）4a