第12講 隱零點(diǎn)問題處理方法

第12講隱零點(diǎn)問題的處理方法整理：河北秦皇島李永生一、問題綜述導(dǎo)數(shù)中的“隱零點(diǎn)”問題是指：當(dāng)一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)存在但有無法求得的零點(diǎn)問題．例如函數(shù)在上確實(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)，但由于方程是一個(gè)超越方程，我們無法求得它的根，也就無法確定函數(shù)的零點(diǎn)，但的零點(diǎn)確實(shí)是存在的，這個(gè)時(shí)候我們常常虛設(shè)一個(gè)的零點(diǎn)，即，即，然后進(jìn)行整體的代換或過度來解決某些問題．二、典例分析類型1：整體代換【例1】（2015年全國新課標(biāo)I文）設(shè)函數(shù)．(1)討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．解析：(1)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí),，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增．又，又當(dāng)時(shí)，得，取且，則，故由零點(diǎn)存在定理知：當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)．(2)由(1)知在存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．同時(shí)，即，即，，故當(dāng)時(shí)，．【方法小結(jié)】可轉(zhuǎn)化為求，而的最小值恰好在的零點(diǎn)處取得，但是這個(gè)零點(diǎn)無法求得，這個(gè)時(shí)候我們可以利用零點(diǎn)滿足的關(guān)系式(必要的時(shí)候需要一些變形)來化簡的表達(dá)式，思想是將超越式消掉，即盡量不含等；本題是化簡后利用了均值不等式得到所證結(jié)果．類型2：代換消參【例2】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求；（2）證明：當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)．解析：（1）的定義域?yàn)?，，切線斜率，切線方程為，即，令得，；（2）與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于只有一個(gè)零點(diǎn)，，=1\*GB3①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一，使得，即的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)．=2\*GB3②當(dāng)，即時(shí)，有兩根，不妨設(shè)，且有，，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．要使的圖象與注只有一個(gè)交點(diǎn)，只要即可．又，同時(shí)即，，令，，在單調(diào)遞減，，，綜上知：當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)．【方法小結(jié)】本題第二問最終將問題轉(zhuǎn)化為證明，其中是的零點(diǎn)，實(shí)際上的零點(diǎn)是可以求得的，不像類型1中零點(diǎn)不可求，也就是說本題中的零點(diǎn)不是隱零點(diǎn)，但我們?nèi)匀皇且曀鼮殡[零點(diǎn)，不去求它，閉開繁瑣的計(jì)算；像本題做法：利用零點(diǎn)的滿足的關(guān)系式，消掉表達(dá)式中的參數(shù)，然后構(gòu)造一個(gè)關(guān)于的函數(shù)．讀者可以自己嘗試以下求出，然后證明一個(gè)關(guān)于的式子大于零，會(huì)很難下手，甚至不可求．類型3：代換降次【例3】（2012年全國大綱卷文科）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若過兩點(diǎn)的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值．解析：(1)的定義域?yàn)?，，方程的判別式，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，且不恒為零，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有兩個(gè)根,，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，(2)由(1)知且，，，，同理，因此直線的方程為，令得直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，因?yàn)榻稽c(diǎn)在曲線上，所以，解得，或，或．【方法小結(jié)】本題中雖然導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)可求，但我們并沒有去用這個(gè)確切的零點(diǎn)，而是利用零點(diǎn)滿足的條件進(jìn)行代換；本題很自然的想法應(yīng)該是根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的方程，再令求得與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，但是我們會(huì)發(fā)現(xiàn)直線方程比較復(fù)雜，而我們知道直線方程即是直線上任意一點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，當(dāng)然這個(gè)關(guān)系式一定是關(guān)于,的二元一次方程，所示本題通過化簡，及，找到橫縱坐標(biāo)的一次關(guān)系，其中的操作就是利用隱零點(diǎn)滿足的關(guān)系不斷的降次．類型4：隱零點(diǎn)范圍反解【例4】已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．參考數(shù)據(jù)：，．解析：（1），函數(shù)在遞增，，得，設(shè)，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在遞減，在遞增，故時(shí)，取得最小值，故，即的范圍是（2）若，則，得，易知函數(shù)在遞減，在遞增，且注意到，，，則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，則函數(shù)在遞減，在，遞增，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值()函數(shù)在單調(diào)遞減，所以故時(shí)，．【方法小結(jié)】本題同類型1，用隱零點(diǎn)滿足的關(guān)系式進(jìn)行整體代換，不同之處在于尋找隱零點(diǎn)的范圍，這個(gè)隱零點(diǎn)的范圍要正好取到我們要的那個(gè)值，就是說這個(gè)范圍卡的正好，不松不緊，在后面放縮時(shí)恰好能夠得到題目給的那個(gè)很丑的數(shù)值，那么這個(gè)值是怎么找到的呢？這就應(yīng)了此類型的標(biāo)題“范圍反解”，我們可以通過最小值的表達(dá)式反解得到．三、鞏固練習(xí)1．（2018廣州一測）設(shè)，若對任意的恒成立，求a的取值范圍．2．（2013年全國新課標(biāo)II理）已知函數(shù)．(1)設(shè)是的極值點(diǎn)，求并討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明．3．（2012年全國新課標(biāo)文）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值．4．（2009年全國II卷理科）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且(1)求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；(2)證明：．5．設(shè)函數(shù)，若恒成立，求正整數(shù)的最大值．6．已知，求證：恒成立．7．（2017新課標(biāo)II卷）已知函數(shù)，且．(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且．8．已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．9．已知函數(shù)．(1)求證：；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．已知有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．11．已知命題：關(guān)于的不等式對一切恒成立；命題：．那么命題是命題的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要補(bǔ)充分條件D．既不充分也不必要條件四、鞏固練習(xí)參考答案1、解析：原問題等價(jià)于，即，則，令，，在上單調(diào)遞增，且，在上存在唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．，同時(shí)有，即，即，，即，設(shè)，則，在單調(diào)遞增，所以，也即，，，即的取值范圍為．點(diǎn)撥：本題采用分參的方法求參數(shù)的取值范圍，問題轉(zhuǎn)化為求的最小值；另一方面，的最小值在的零點(diǎn)處取得，所以問題轉(zhuǎn)化為求，即的值，而的表達(dá)式很復(fù)雜，這時(shí)就需要用到隱零點(diǎn)的關(guān)系式來處理，即式子的處理，此處實(shí)際是進(jìn)行了一個(gè)同構(gòu)處理，十分巧妙；同構(gòu)的形式當(dāng)然也可以這樣：．再構(gòu)造，易知在上單調(diào)遞增，所以有．2、解析：(1)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．(2)當(dāng)時(shí)，，令，則只要證明即可．而，在上單調(diào)遞增．又，，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．．同時(shí)，即，即．，，．點(diǎn)評：整體代換3、解析：(1)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．(2)當(dāng)時(shí)，即，即令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．，令，則由(1)知在單調(diào)遞增，且，，使得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．，同時(shí)即，，即整數(shù)的最大值為．點(diǎn)評：整體代換4、解析：(1)，令，由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的根，所以有，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．(2)因?yàn)?，，且，即設(shè)，在單調(diào)遞增，，所以．點(diǎn)評：代換消參5、解析：由題意可得在內(nèi)恒成立令，則，又令，則，在上單調(diào)遞增而，，所以存在唯一的使得即，且當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，即正整數(shù)的最大值為．點(diǎn)評：整體代換，化復(fù)雜的超越式為普通式；其中需要注意隱零點(diǎn)的范圍需要盡量小，因?yàn)榈娜≈捣秶Q于的范圍．6、整體代換，較簡單答案略7、解析：(1)；(2)由(1)知，，，易知在上單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，且注意到，，，，所以存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以存在唯一的極大值點(diǎn)，同時(shí)即，所以，另一方面，綜上：存在唯一的極大值點(diǎn)，且，點(diǎn)評：整體代換，注意求的范圍時(shí)注意到了．8、解析：，，所以在單調(diào)遞增，且，=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，要使恒成立，則，解得，=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，則，又，故存在，使得，即，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以，解得，．而，則易知在單調(diào)遞增，所以．綜上：的取值范圍是．點(diǎn)評：代換消參．9、解析：(1)令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即原不等式成立．(2)令，，令，且注意到，故存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以，令，由(1)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，注意到，則若，則，又，故的取值范圍是．點(diǎn)評：代換消參10、解析：，由得，設(shè)是方程的兩根，則，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；