第4講 二次求導(dǎo)的目的及處理

第4講二次求導(dǎo)的目的及處理一、問(wèn)題綜述在歷年高考試題中，導(dǎo)數(shù)部分是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，在六道解答題中必有一題是導(dǎo)數(shù)題．這類(lèi)題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值以及利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決恒成立、不等式證明等問(wèn)題．解決這類(lèi)題的常規(guī)解題步驟為：①求函數(shù)的定義域；②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；③求的零點(diǎn)；④列出的變化關(guān)系表；⑤根據(jù)列表解答問(wèn)題．而在有些函數(shù)問(wèn)題中，如含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的函數(shù)問(wèn)題，求導(dǎo)之后往往不易或不能直接判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而不能進(jìn)一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時(shí)解題受阻．若遇這類(lèi)問(wèn)題，則可試用求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)加以解決．本文試以以下題目為例，說(shuō)明函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在解高考函數(shù)題中的應(yīng)用．二、典例分析【例1】已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，．解析：，(無(wú)法求根也無(wú)法判斷正負(fù))，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞增，即．例題2當(dāng)時(shí)，證明：．證明：令,則，而，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減，即，從而在(0,1)遞減，∴f(x)<f(0)=0，從而原不等式得證.Ex:證明:當(dāng)時(shí),.略解:注意x=1時(shí),原不等式”=”成立,而作F(x)=,則F(1)=0且，從而F(1)=0推出與同號(hào)，得證．例題3已知函數(shù)，，證明：．證：函數(shù)的定義域?yàn)椋剑?＝－當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，＞0，當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，＜0，因此，當(dāng)時(shí)，≤，即≤0∴．令則＝．∴當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，＜0，當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，＞0．∴當(dāng)時(shí)，≥，即≥0，∴．綜上可知，當(dāng)時(shí)，有．例題4已知函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求正整數(shù)的值．解析：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，令，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，（沒(méi)有用）………………..注意二階導(dǎo)失靈了，所以存在使得，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，=1\*GB3①又因?yàn)?2\*GB3②由由=1\*GB3①=2\*GB3②得，所以．例題5設(shè)函數(shù)，，證明．解析：，令，，，所以在上單調(diào)遞增，（此時(shí)二階導(dǎo)失效），因?yàn)榍以趩握{(diào)，因此在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②聯(lián)立可得，所以，即.例題6.（全國(guó)卷Ⅰ第20題）已知函數(shù).若，求的取值范圍；證明：.原解答如下:解（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），，，.令從而當(dāng)時(shí)，，故所求的范圍是[-1,+∞﹚.證明(2)由(1)知,,則①時(shí)，；②.綜上可知，不等式成立.對(duì)于（2）的證明，雖然過(guò)程簡(jiǎn)單，但思維難度大，對(duì)學(xué)生的觀察能力和代數(shù)式的變形能力要求較高．我們可以運(yùn)用二階導(dǎo)數(shù)的方法加以證明：證法二:令.因，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在（0,1﹚遞減；當(dāng)時(shí)，，的符號(hào)仍不能判定，求二階導(dǎo)數(shù)得，從而在時(shí)遞增，，在[1,+∞﹚遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故成立，原不等式成立.例題7（2010年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ（22）小題）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．（原解答略）在原解答第（Ⅱ）問(wèn)的解答中，用到了放縮代換，對(duì)考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和解題能力要求很高，極少有考生能達(dá)到那樣的要求.若用求二階導(dǎo)數(shù)求解，則別有一番天地.（Ⅱ）解法二：由題設(shè)，若，則當(dāng)；若.令，，,∵,∴，∴即原不等式成立.當(dāng)從而當(dāng)此時(shí)，∴.綜上可知，.例題8【理·2010安徽卷第17題】設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)＞且＞時(shí)，＞．解析：第一問(wèn)很常規(guī)，我們直接看第二問(wèn)．首先要構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，如果這一著就想不到，那沒(méi)轍了．然后求導(dǎo)，結(jié)果見(jiàn)下表．，繼續(xù)對(duì)求導(dǎo)得減極小值增由上表可知，而，由＞知＞，所以＞，即在區(qū)間上為增函數(shù)．于是有＞，而，故＞，即當(dāng)＞且＞時(shí)，＞．例題9已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：，則在上恒成立令，則令，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即所以，在上單調(diào)遞增，所以

針對(duì)訓(xùn)練：1、（2010年新課標(biāo)全國(guó)卷第（21）題）：設(shè)函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍2、（2008年湖南高考題改編）：已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．