第4講 二次求導(dǎo)的目的及處理

第4講二次求導(dǎo)的目的及處理一、問題綜述在歷年高考試題中，導(dǎo)數(shù)部分是高考重點考查的內(nèi)容，在六道解答題中必有一題是導(dǎo)數(shù)題．這類題主要考察函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值與最值以及利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識解決恒成立、不等式證明等問題．解決這類題的常規(guī)解題步驟為：①求函數(shù)的定義域；②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；③求的零點；④列出的變化關(guān)系表；⑤根據(jù)列表解答問題．而在有些函數(shù)問題中，如含有指數(shù)式、對數(shù)式的函數(shù)問題，求導(dǎo)之后往往不易或不能直接判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而不能進一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時解題受阻．若遇這類問題，則可試用求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)加以解決．本文試以以下題目為例，說明函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在解高考函數(shù)題中的應(yīng)用．二、典例分析【例1】已知函數(shù)，證明：當(dāng)時，．解析：，(無法求根也無法判斷正負)，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞增，即．例題2當(dāng)時，證明：．證明：令,則，而，當(dāng)時，，∴在上遞減，即，從而在(0,1)遞減，∴f(x)<f(0)=0，從而原不等式得證.Ex:證明:當(dāng)時,.略解:注意x=1時,原不等式”=”成立,而作F(x)=,則F(1)=0且，從而F(1)=0推出與同號，得證．例題3已知函數(shù)，，證明：．證：函數(shù)的定義域為．＝－1＝－當(dāng)x∈（－1，0）時，＞0，當(dāng)x∈（0，＋∞）時，＜0，因此，當(dāng)時，≤，即≤0∴．令則＝．∴當(dāng)x∈（－1，0）時，＜0，當(dāng)x∈（0，＋∞）時，＞0．∴當(dāng)時，≥，即≥0，∴．綜上可知，當(dāng)時，有．例題4已知函數(shù)，若對任意，恒成立，求正整數(shù)的值．解析：問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立，設(shè)，令，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，（沒有用）………………..注意二階導(dǎo)失靈了，所以存在使得，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，=1\*GB3①又因為=2\*GB3②由由=1\*GB3①=2\*GB3②得，所以．例題5設(shè)函數(shù)，，證明．解析：，令，，，所以在上單調(diào)遞增，（此時二階導(dǎo)失效），因為且在單調(diào)，因此在定義域內(nèi)有且只有一個零點設(shè)為，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②聯(lián)立可得，所以，即.例題6.（全國卷Ⅰ第20題）已知函數(shù).若，求的取值范圍；證明：.原解答如下:解（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），，，.令從而當(dāng)時，，故所求的范圍是[-1,+∞﹚.證明(2)由(1)知,,則①時，；②.綜上可知，不等式成立.對于（2）的證明，雖然過程簡單，但思維難度大，對學(xué)生的觀察能力和代數(shù)式的變形能力要求較高．我們可以運用二階導(dǎo)數(shù)的方法加以證明：證法二:令.因，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，在（0,1﹚遞減；當(dāng)時，，的符號仍不能判定，求二階導(dǎo)數(shù)得，從而在時遞增，，在[1,+∞﹚遞增，所以當(dāng)時，，故成立，原不等式成立.例題7（2010年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ（22）小題）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）證明：當(dāng)時，；（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時，，求的取值范圍．（原解答略）在原解答第（Ⅱ）問的解答中，用到了放縮代換，對考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和解題能力要求很高，極少有考生能達到那樣的要求.若用求二階導(dǎo)數(shù)求解，則別有一番天地.（Ⅱ）解法二：由題設(shè)，若，則當(dāng)；若.令，，,∵,∴，∴即原不等式成立.當(dāng)從而當(dāng)此時，∴.綜上可知，.例題8【理·2010安徽卷第17題】設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)＞且＞時，＞．解析：第一問很常規(guī)，我們直接看第二問．首先要構(gòu)造一個新函數(shù)，如果這一著就想不到，那沒轍了．然后求導(dǎo)，結(jié)果見下表．，繼續(xù)對求導(dǎo)得減極小值增由上表可知，而，由＞知＞，所以＞，即在區(qū)間上為增函數(shù)．于是有＞，而，故＞，即當(dāng)＞且＞時，＞．例題9已知，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解析：，則在上恒成立令，則令，則當(dāng)時，恒成立，即所以，在上單調(diào)遞增，所以

針對訓(xùn)練：1、（2010年新課標(biāo)全國卷第（21）題）：設(shè)函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時，求的取值范圍2、（2008年湖南高考題改編）：已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．