山東省青島西海岸新區(qū)第一中學2023年數學高二下期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個正方形花圃，被分為5份A、B、C、D、E，種植紅、黃、藍、綠4種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花,則不同的種植方法有（）．A．24種 B．48種 C．84種 D．96種2．從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為A． B． C． D．3．一口袋里有大小形狀完全相同的10個小球，其中紅球與白球各2個，黑球與黃球各3個，從中隨機取3次，每次取3個小球，且每次取完后就放回，則這3次取球中，恰有2次所取的3個小球顏色各不相同的概率為（）A． B． C． D．4．已知，直線過點，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．15．以下數表的構造思路源于我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中的“楊輝三角形”．該表由若干行數字組成，從第二行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，表中最后一行僅有一個數，則這個數為（）A． B．C． D．6．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數為（）A．144 B．120 C．72 D．247．已知n元均值不等式為：，其中均為正數，已知球的半徑為R，利用n元均值不等式求得球的內接正四棱錐的體積的最大值為

A． B． C． D．8．設集合，若，則（）A． B． C． D．9．函數的大致圖象是（）A． B．C． D．10．有位男生，位女生和位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時為男生或女生，則這樣的排法種數是（）A． B． C． D．11．已知隨機變量的分布列為（）01若，則的值為（）A． B． C． D．12．若,則等于()A．9 B．8 C．7 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的所有頂點都在球的表面上，平面，，，，，則球的表面積為__________．14．在長方體中，，，，那么頂點到平面的距離為______．15．若對一切，復數的模始終不大于2，則實數a的取值范圍是_______；16．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使水桶的容積是，且用料最省，則水桶的底面半徑為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠的某車間共有位工人，其中的人愛好運動。經體檢調查，這位工人的健康指數（百分制）如下莖葉圖所示。體檢評價標準指出：健康指數不低于者為“身體狀況好”，健康指數低于者為“身體狀況一般”。（1）根據以上資料完成下面的列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“身體狀況好與愛好運動有關系”？身體狀況好身體狀況一般總計愛好運動不愛好運動總計（2）現(xiàn)將位工人的健康指數分為如下組：，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示。計算該車間中工人的健康指數的平均數，由莖葉圖得到真實值記為，由頻率分布直方圖得到估計值記為，求與的誤差值；（3）以該車間的樣本數據來估計該廠的總體數據，若從該廠健康指數不低于者中任選人，設表示愛好運動的人數，求的數學期望。附：。18．（12分）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數記為，求的分布列和數學期望.19．（12分）7名同學，在下列情況下，各有多少種不同安排方法？（答案以數字呈現(xiàn)）（1）7人排成一排，甲不排頭，也不排尾．（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必須在一起．（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人兩兩不相鄰．（4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序（不一定相鄰）．（5）7人分成2人，2人，3人三個小組安排到甲、乙、丙三地實習．20．（12分）2019年某地初中畢業(yè)升學體育考試規(guī)定：考生必須參加長跑.擲實心球.1分鐘跳繩三項測試，三項測試各項20分，滿分60分．某學校在初三上學期開始時，為掌握全年級學生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學生進行測試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計分規(guī)則如表1：（1）規(guī)定：學生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學生中，男生跳繩個數大等于185個的有28人，根據已知條件完成表2，并根據這100名學生測試成績，能否有99%的把握認為學生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關？附：參考公式臨界值表：（2）根據往年經驗，該校初三年級學生經過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數都有明顯進步．假設今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數比初三上學期開始時個數增加10個，全年級恰有2000名學生，所有學生的跳繩個數X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）（用樣本數據的平值和方差估計總體的期望和方差，各組數據用中點值代替）①估計正式測試時，1分鐘跳182個以上的人數（結果四舍五入到整數）；②若在全年級所有學生中任意選取3人，正式測試時1分鐘跳195個以上的人數為ξ，求ξ占的分布列及期望．21．（12分）已知函數.求的單調區(qū)間；若在處取得極值，直線y=與的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍．22．（10分）如圖所示，四邊形為菱形，且，，，且，平面.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

區(qū)域A、C、D兩兩相鄰，共有種不同的種植方法，討論區(qū)域E與區(qū)域A種植的花的顏色相同與不同，即可得到結果.【詳解】區(qū)域A、C、D兩兩相鄰，共有種不同的種植方法，當區(qū)域E與區(qū)域A種植相同顏色的花時，種植B、E有種不同的種植方法，當區(qū)域E與區(qū)域A種植不同顏色的花時，種植B、E有種不同的種植方法，∴不同的種植方法有種，故選D【點睛】本題考查排列、組合及簡單計數問題，考查分類討論思想與分析、運算及求解能力，屬于中檔題．2、D【解析】分析：分別求出事件“2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務”的總可能及事件“選中的2人都是女同學”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設2名男同學為，3名女同學為，從以上5名同學中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學的概率為，故選D.點睛：應用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出事件；第二步，分別求出基本事件的總數與所求事件中所包含的基本事件個數；第三步，利用公式求出事件的概率.3、C【解析】每次所取的3個小球顏色各不相同的概率為：，∴這3次取球中，恰有2次所取的3個小球顏色各不相同的概率為：.本題選擇C選項.4、A【解析】

先得a+3b=1，再與相乘后，用基本不等式即可得出結果.【詳解】依題意得，，所以，當且僅當時取等號；故選A【點睛】本題考查了基本不等式及其應用，熟記基本不等式即可，屬于基礎題．5、B【解析】試題分析：由題意得，數表的每一行都是等差數列，且第一行公差為，第二行公差為，第三行公差為，第行公差為，第一行的第一個數為；第二行的第一個數列為；第三行的第一個數為；；第行的第一個數為，第行只有，故選B.考點：數列的綜合應用.【方法點晴】本題主要考查了數列的綜合問題，其中解答中涉及到等差數列的概念與通項公式，等比數列的通項公式等知識點應用，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及學生的轉化與化歸思想的應用，本題的解答中正確理解數表的結構，探究數表中數列的規(guī)律是解答的關鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題.6、D【解析】試題分析：先排三個空位，形成4個間隔，然后插入3個同學，故有種考點：排列、組合及簡單計數問題7、A【解析】

先根據球和正四棱錐的內接關系求出半徑與邊長的關系式，寫出體積公式，利用n元均值不等式可求最大值.【詳解】設正四棱錐的底面邊長為，高為，則有，解得；正四棱錐的體積，當且僅當時取到最大值，故選A.【點睛】本題主要考查四棱錐體積的求解和n元均值不等式的應用，側重考查數學抽象和數學運算的核心素養(yǎng).8、B【解析】分析:先根據得到=1即得a=2,再根據求出b的值，再求則.詳解：因為，所以=1，所以a=2.又因為，所以b=1,所以Q={2,1}，所以.故答案為：B.點睛：（1）本題主要考查集合的交集補集運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答集合中的參數問題，要注意檢驗，一是檢驗是否滿足集合元素的互異性，二是檢驗是否滿足每一個條件.9、C【解析】

根據特殊位置的所對應的的值，排除錯誤選項，得到答案.【詳解】因為所以當時，，故排除A、D選項，而，所以即是奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除B項，故選C項.【點睛】本題考查根據函數的解析式判斷函數圖象，屬于簡單題.10、D【解析】先排與老師相鄰的:,再排剩下的：,所以共有種排法種數，選D.點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.11、A【解析】

先由題計算出期望，進而由計算得答案?！驹斀狻坑深}可知隨機變量的期望，所以方差，解得，故選A【點睛】本題考查隨機變量的期望與方差，屬于一般題。12、B【解析】分析：根據組合數的計算公式，即可求解答案.詳解：由題意且，，解得，故選B.點睛：本題主要考查了組合數的計算公式的應用，其中熟記組合數的計算公式是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：根據三棱錐的結構特征，求得三棱錐外接球半徑，由球表面積公式即可求得表面積。詳解：由，根據同角三角函數關系式得，解得所以，因為，，由余弦定理代入得所以△ABC為等腰三角形，且，由正弦定理得△ABC外接圓半徑R為，解得設△ABC外心為，，過作則在中在中解得所以外接球面積為點睛：本題綜合考查了空間幾何體外接球半徑的求法，通過建立空間模型，利用勾股定理求得半徑；結合球的表面積求值，對空間想象能力要求高，綜合性強，屬于難題。14、【解析】

作出圖形，計算出四面體的體積，并計算出的面積，然后利用等體積法計算出點到平面的距離.【詳解】如下圖所示：三棱錐的體積為.在中，由勾股定理得，同理可得，取的中點，連接，則，由勾股定理得.所以，的面積為.設點到平面的距離為，則，解的.因此，點到平面的距離為.故答案為：.【點睛】本題考查點到平面距離的計算，常用的方法有等體積法、空間向量法，考查計算能力，屬于中等題.15、【解析】

由模的定義求出模，列出不等式，用幾何意義解釋此不等式，問題為點到的距離不大于2，而點以原點為圓心的單位圓上，因此只要到圓心距離不大于1即可．【詳解】由題意，設，，則，而在圓上，∴，即，解得．故答案為：【點睛】本題考查復數的模的定義，考查平面上兩點間的距離公式．解題關鍵是利用的幾何意義，把它轉化為兩點間的距離，而其中一點又是單位圓上的動點，由點到圓上點的距離最大值為此點到圓心距離加半徑，從而問題可轉化為點到圓心的距離不大于1，這樣問題易求解．16、3【解析】

設圓柱的高為h，半徑為r,得πr2h＝27π，即，要使用料最省即求全面積的最小值，將S全面積表示為r的函數，令S＝f（r），結合導數可判斷函數f（r）的單調性，進而可求函數取得最小值時的半徑【詳解】用料最省，即水桶的表面積最小.設圓柱形水桶的表面積為S，底面半徑為r(r＞0)，則πr2h＝27π，即水桶的高為，所以(r>0).求導數，得.令S′＝0，解得r＝3.當0＜r＜3時，S′＜0；當r＞3時，S′＞0.所以當r＝3時，圓柱形水桶的表面積最小，即用料最省.故答案為3【點睛】本題主要考查導數的實際應用,圓柱的體積公式及表面積的最值的求解，解答應用試題的關鍵是要把實際問題轉化為數學問題，根據已學知識進行解決．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認為“身體狀況好與愛好運動有關系”；（2）誤差值為；（3）數學期望【解析】

（1）根據莖葉圖補全列聯(lián)表，計算可得，從而得到結論；（2）利用平均數公式求得真實值；利用頻率直方圖估計平均數的方法求得估計值，作差得到結果；（3）可知，利用二項分布數學期望計算公式求得結果.【詳解】（1）由莖葉圖可得列聯(lián)表如下：身體狀況好身體狀況一般總計愛好運動不愛好運動總計有的把握認為“身體狀況好與愛好運動有關系”（2）由莖葉圖可得：真實值由直方圖得：估計值誤差值為：（3）從該廠健康指數不低于的員工中任選人，愛好運動的概率為：則數學期望【點睛】本題考查獨立性檢驗、莖葉圖和頻率分布直方圖的相關知識、二項分布數學期望的計算，涉及到卡方的計算、利用頻率分布直方圖估計平均數、隨機變量服從二項分布的判定等知識，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列為

0

1

2

3

的數學期望【解析】

試題分析：對于問題（I）由題目條件并結合間接法，即可求出乙投球的命中率；對于問題（II），首先列出兩人共命中的次數的所有可能的取值情況，再根據題目條件分別求出取各個值時所對應的概率，就可得到的分布列．試題解析：（I）設“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.由題意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率為.（II）由題設知（I）知，，，，可能取值為故，，的分布列為考點：1、概率；2、離散型隨機變量及其分布列.19、(1)3600種；(2)720種；(3)1440種；(4)840種；(5)630種【解析】

先特殊后一般．【詳解】(1)；(2)(3)；(4)(5)【點睛】本題考查排列組合，思想先特殊后一般．屬于簡單題．20、（1）不能有的把握認為認為學生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關；（2）①，②分布列見解析，期望值為.【解析】

（1）根據題目所給數據填寫好聯(lián)表，通過計算出，由此判斷不能有99%的把握認為認為學生分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關.（2）根據頻率分布計算出平均數和方差，由此求得正態(tài)分布，計算出的概率，進而估計出個以上的人數.利用二項分布概率計算公式計算出