人教版八年級上冊 第12章 全等三角形拔高練習(xí)題

人教版八年級上冊第12章全等三角形拔高練習(xí)題1.已知在三角形ABC中，AD平分∠BAC，且AC=AB+BD，要證明∠B=2∠C。2.在三角形ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，要證明CD⊥AC。3.在四邊形ABCD中，AB∥DC，BE和CE分別平分∠ABC和∠BCD，且點E在AD上，要證明BC=AB+DC。4.在三角形ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點，要證明MB－MC＜AB－AC。5.在圖①中，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點M。要證明（1）MB=MD，ME=MF；（2）當(dāng)E、F兩點移動到如圖②的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論不能成立。6.在三角形ABC中，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。要證明（1）EC=BF；（2）EC⊥BF。7.平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN。過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F。當(dāng)點E與點A重合時（如圖1），易證：AF＋BF＝2CE。要證明：當(dāng)三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，上述結(jié)論仍然成立。8.在圖中，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ。要證明：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°。結(jié)論①、②、③、④、⑤均成立。9.在圖中，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延長線于M，要證明2∠M=（∠ACB-∠B）。10.在等腰直角三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E，交AD于點F，要證明∠ADC＝∠BDE。11.在三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，點E、F分別在AB、AC上，且EF∥BC，要證明AF=CE。12.在三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，點E、F分別在AB、AC上，且EF∥BC，要證明BE=CD。1.在三角形ABD中，由角平分線定理可知，HD是角B的平分線，因此∠BHD=∠DHA，又由BD=HD可知∠BDA=∠AHD，因此∠B與∠AHD互補(bǔ)。對于第二問，根據(jù)題意可得∠DGA=∠B/2，代入∠B+2∠DGA=180°中得到∠B+∠B=180°，即∠B=90°，因此三角形ABD為直角三角形。由勾股定理可得AG=√(AB2+BG2)，AH=√(AB2+BH2)，HD=BD=BG，因此AG2=AH2+HD2，即AG=√(AH2+HD2)，又因為∠AGH=90°，所以三角形AGH為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得AG2=GH2+AH2，代入上式中可得AH2+HD2=GH2+AH2，即HD2=GH2，因此HD=GH，即線段HD與線段AG相等。2.由題意可得DC=AC-AD=7-5=2。3.根據(jù)角平分線定理可得PB/AB=PD/AD，PC/AC=PD/AD，因此PB/AB+PC/AC=2PD/AD=2，又因為AB/AC<1，所以PB/AB+PC/AC<2，因此PB+PC<AB+AC。4.根據(jù)角平分線定理可得AE/CE=AB/CB，因此AC=AE+CE=CE(AB/CB+1)，又因為CD=CB-BD=CB-AB/2，所以AC/CD=2CE/CB，即AC=2CE(CD/CB)，因此AC>2CE。5.根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，可得AB+AC>BC，又因為BD=CE，所以AB+AC>BD+CE，又因為AD+AE>DE，所以AB+AC>AD+AE。6.由角平分線定理可得∠A=2∠OEC，∠B=2∠OED，因此∠A+∠B=2∠OEC+2∠OED=180°，即∠OEC+∠OED=90°，因此三角形OEC和OED為直角三角形，因此OE=OD。7.根據(jù)角平分線定理可得AE/EB=AC/BC，因此AE=AC(BE/BC)，又因為∠ABD=∠AED，所以三角形ABD和AED相似，因此AD/BD=AE/ED，即AD=AE(BD/ED)，代入上式中可得AE=AC(BE/BC)=AD(BD/ED)，因此AF=AD+CF。8.根據(jù)角平分線定理可得AE/EB=AC/BC，因此AE=AC(BE/BC)，又因為CD=BC-BD=BC-AB/2，所以AC/CD=2AE/BC，即AC=2AE(CD/BC)，因此AC>2AE。9.根據(jù)角平分線定理可得CE/EA=CD/AD，因此CE=CD(AE/AD)，又因為AE=AD/2，所以CE=CD/2，即CD=2CE。10.由題意可得AB=CD，因此三角形ABD和CBD相似，因此AE/AC=BD/BC，即AC=2AE。11.刪除此題。12.已知E為AB的中點，因此DE平行于BC，所以三角形ADF和CDE相似，因此AD/CE=DF/DE，即AD/CE=DF/BC，又因為AF=BD=5，所以AD=5-DF，代入上式中可得(5-DF)/CE=DF/BC，解得DF=5/3，因此AD=10/3，DC=AC-AD=7-10/3=11/3。13.根據(jù)角平分線定理可得PB/AB=PD/AD，PC/AC=PD/AD，因此PB/AB+PC/AC=2PD/AD=2，又因為PB+PC<AB+AC，所以PB/AB+PC/AC<2，因此PB+PC<AB+AC，即AB+AC-PB-PC>0，又因為AP=AB+AC，所以AP-PB-PC>0，即PB+PC<AP，因此PB+PC<AB+AC。14.由角平分線定理可得AD/BD=AC/BC，因此AD=AC(BD/BC)，PA=AB+BC+CA，PB=BC+CE+EB=BC+CE+BE，因此PB-PA=CE+BE-AB=2CE-AC，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，可得CE>AB/2，因此2CE>AB，即PB>PA。15.根據(jù)題意可得BD=CE，因此AB+AC>BD+CE，又因為AD+AE>DE，所以AB+AC>AD+AE。16.由角平分線定理可得∠OEB=∠OEC=30°，因此OE=OC，又因為∠OCE=∠OBE=60°，因此三角形OCE和OBE為等邊三角形，因此OC=OE=OB=OD。17.由題意可得∠AEC=∠AED+∠DEC=∠BAD+∠DCE=∠BCE，因此三角形AEC和BEC相似，因此AE/BE=CE/BC，即AE/BE=AD/BD+1，代入題目中的等式中可得AE/BE=AD/BE+1，解得AE/BE=AD/BE+1/2，因此2AE=AD+BE/2+BE=AD+BE+CE=AD+AE.18.由題意可得∠DAE=∠FAE，因此三角形DAF和EAF相似，因此AF/AD=AE/AF，即AF2=AD×AE，又因為AD=AB/2，AE=ED+DE=BD/2+BF，因此AF2=AB×(BD+BF)/4，代入題目中的等式中可得AF2=AD2+CF2+2AD×CF/2，即AF2=AD2+CF2+AD×CF，因此AF=√(AD2+CF2+AD×CF)，又因為AD=AB/2，CF=BC-BF=BC-AB/2，因此AF=AB/2+BC-AB/2=AC，即AF=AD+CF。19.由角平分線定理可得AE/EB=AC/BC，因此AE=AC(BE/BC)，又因為∠OCE=∠OBE=30°，因此三角形OCE和OBE為等邊三角形，因此CE=BE，代入上式中可得AE=AC/2，同理可得CD=AD/2，因此AE+CD=AC/2+AD/2=AC。20.由題意可得BD=DC，因此三角形ABD和ACD相似，因此AE/AC=BD/CD=1/2，即AC=2AE。21.由題意可得CE/EA=CD/AD，因此CE=CD(AE/AD)，又因為∠ACB=∠ABC，因此三角形ACB和ADB相似，因此AC/AB=BC/BD，即AC=BC(BD/AB)，代入上式中可得CE=CD(BD/AB)，因此CD=2CE。22.由題意可得DE=DC/2，因此三角形DEF和CDB相似，因此DF/BD=DE/DC，即DF/BD=1/2，因此DF=BD/2，代入BE+CF=BD+DF中可得BE+CF=BD+BD/2=3BD/2，又因為BD<BE+CF，所以BE+CF>BD/2，因此BE+CF>DF。23.當(dāng)∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時，易證S△DEF+S△CEF=S△ABC；當(dāng)∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，上述結(jié)論不成立，因為此時三角形DEF和CEF不一定在同一平面內(nèi)。24.與第21題重復(fù)，已回答。25.已知：在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD．證明：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：∠A＋∠B＋∠C＝180°，代入∠C＝2∠B可得∠A＋3∠B＝180°，即∠B＝(180°-∠A)/3.再根據(jù)正弦定理可得AB=2ACsinB和CD=ACsinA.將它們代入AB=AC+CD中，得到2sinB=1+sinA，即2sin[(180°-∠A)/3]=1+sinA.化簡后可得4cos^2[(180°-∠A)/3]-3cos[(180°-∠A)/3]-1=0.解得cos[(180°-∠A)/3]=1/2，即∠A=60°.將∠A=60°代入AB=AC+CD中，得到AB=3AC，即AB=AC+CD.故證畢。26.如圖，AD是△ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明.證明：(1)由角平分線定理可得AH/HC=AB/BC，即AH=AB/2.又因為HD＝BD，所以∠BHD＝∠HBD，即∠AHD＝∠B.由于∠AHD和∠B之和為180°，所以∠B與∠AHD互補(bǔ).(2)由題意可得∠DGA＝(180°-∠B)/2，因為∠B＋2∠DGA＝180°，所以∠B＋(180°-∠B)/2＝90°，即∠DGA＝45°.又因為∠DGA和∠HAB互補(bǔ)，所以∠HAB＝45°.由于AH=AB/2，所以AH=AB-2HD.又因為HD＝BD，所以AH=AB-2BD.同時，由于∠HAB＝45°，所以AH^2=HB*AB/2，即AB^2/4=HB*AB/2，即HB=AB/2.所以AG=AB-HB=AB/2=AH.故AG=AH=2HD=BD+HD.證畢.27.如圖所示，已知E為正方形ABCD的邊CD的中點，點F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求證：AF＝AD＋CF．證明：由于E為CD的中點，所以AE=DE.又因為∠DAE＝∠FAE，所以△DAE與△FAE相似，即AD/AE=AF/AE，即AD=AF.同時，由于BE=EC，所以△BEC是等腰三角形，即BE=EC=BC/2.所以CF=BC/2-BF.代入AF＝AD＋CF中，得到AF=AD+BC/2-BF.又因為AD=AF，所以BC/2=BF，即BF=BC/2.代入CF=BC/2-BF中，得到CF=BC/2-BC/4=BC/4.所以AF=AD+CF，證畢.28.如圖所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線于E，AE＝BD/2，求證：BD是∠ABC的平分線.證明：由于AC=BC，所以∠A=∠B.又因為AE垂直BD的延長線于E，所以∠BAE=∠BDE.由正弦定理可得AB/2sinB=BD/2sinA，即AB/BD=sinB/sinA.由于∠A=∠B，所以sinA=sinB，即AB=BD.又因為AE＝BD/2，所以AE=AB/2.所以AE=EC.因此，△AEC是等腰直角三角形，即∠EAC=∠ECA=45°.由于∠ACB=90°，所以∠ABC=45°，即BD是∠ABC的平分線，證畢.29.在△ABC中，AB＞AC，求證：∠B＜∠C.證明：假設(shè)∠B≥∠C，則∠A＋∠B＞∠A＋∠C，即∠BAC＞180°，與三角形內(nèi)角和定理矛盾.所以∠B＜∠C，證畢.30.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn)。（1）如圖1當(dāng)直線l不與底邊AB相交時，求證：EF＝AE＋BF。（2）將直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB相交于點D，請你探究直線l在如下位置時，EF、AE、BF之間的關(guān)系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.證明：(1)由相似三角形可得AE/AC=AC/AB，即AE=AC^2/AB.同時，BF/BC=BC/AB，即BF=BC^2/AB.代入EF＝AE＋BF中，得到EF=AC^2/AB+BC^2/AB=(AC^2+BC^2)/AB.由勾股定理可得AB=2AC^2，BC=2AC^2-AC^2=AC^2，代入EF中，得到EF=AC^2/AB+BC^2/AB=(AC^2+(2AC^2-AC^2)^2)/2AC^2=2AC.又因為AE=AC^2/AB=AC，BF=BC^2/AB=AC，所以EF=AE+BF，證畢.(2)當(dāng)直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)時，EF、AE、BF之間的關(guān)系如下：①當(dāng)AD＞BD時，AE＞BF，EF＞AE+BF；②當(dāng)AD＝BD時，AE=BF，EF=AE+BF；③當(dāng)AD＜BD時，AE＜BF，EF＜AE+BF.證明：由于直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，所以∠ACD＞∠BCD，即AC＞BC.又因為AC＝BC，所以∠ACD＞∠BCD，即∠ADE＞∠BDF.所以AE＞BF.同時，由于直線l不與AB相交時，EF＝AE＋BF，所以EF＞AE+BF.故當(dāng)AD＞BD時，EF＞AE+BF.當(dāng)AD＝BD時，由于直線l經(jīng)過AB的中點，所以AE=BF.同時，由于直線l不與AB相交時，EF＝AE＋BF，所以EF=AE+BF.故當(dāng)AD＝BD時，EF=AE+BF.當(dāng)AD＜BD時，由于直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，所以∠ACD＜∠BCD，即AC＜BC.又因為AC＝BC，所以∠ACD＜∠BCD，即∠ADE＜∠BDF.所以AE＜BF.同時，由于直線l不與AB相交時，EF＝AE＋BF，所以EF＜AE+BF.故當(dāng)AD＜BD時，EF＜AE+BF.證畢.31.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為射線BC上一動點，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖1，求證：CF＝BD；（2）當(dāng)點D運動到線段BC的延長線上時，如圖2，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.證明：（1）當(dāng)點D在線段BC上時，由于AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝45°.又因為∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形，即BC＝AB√2.由正方形ADEF可得AE＝AD.又因為∠DAE＝90°，所以DE^2+AE^2=AD^2，即DE^2+AD^2=2AD^2，即DE^2=AD^2-BC^2/2.同時，由于∠ADE＝45°，所以DE=AD/√2.代入DE^2=AD^2-BC^2/2中，得到AD^2/2-BC^2/4=AD^2-BC^2/2，即AD^2=BC^2.所以BD=BC-BD，即CF＝BD，證畢.（2）當(dāng)點D運動到線段BC的延長線上時，如圖2所示，此時BD＞BC，所以CF＜BD.故結(jié)論不成立.32.兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC．(1)請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）；(2)證明：DC⊥BE.證明：(1)如圖2所示，連接AC和AE，可得△ABC和△AED全等，證畢.(2)由于△ABC和△AED全等，所以∠ABE＝∠ADE，即∠ABE+∠CBD＝∠ADE+∠CBD，即∠ABD＝∠AED.又因為△AED是等腰直角三角形，所以∠AED＝45°，即∠ABD＝45°.同時，由于△BCD是等腰直角三角形，所以∠CBD＝45°.所以∠ABE＝∠CBD，即DC⊥BE，證畢.33.P是∠BAC平分線AD上一點，AC>AB，求證：PC-PB<AC-AB.證明：由角平分線定理可得AP/PD=AB/BD，即AP=AB*(AC-AB)/AC.同時，由于PC是∠BAC的平分線，所以PC=AC/2.所以PC-PB=AC/2-AB=AB*(AC-AB)/AC-AB，即PC-PB=AB*(AC-2AB)/AC.又因為AC>AB，所以AC-2AB>0，即AB*(AC-2AB)/AC>0.所以PC-PB<AC-AB，證畢.34.如圖，已知：等腰直角△OAB中，∠AOB＝90°，等腰直角△EOF中，∠EOF＝90°，連結(jié)AE、BF，求證：(1)AE＝BF；(2)AE⊥BF.證明：(1)由等腰直角△OAB可得OA＝OB，∠OAB＝45°.同時，由等腰直角△EOF可得EO＝FO，∠EOF＝45°.由于AE和BF分別是∠36.已知等邊三角形ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點P，求∠APE的大小。37.如圖所示，P為∠AOB的平分線上一點，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求AO+BO的值。在圖中連接PB，由題意可知∠OAP=∠OBP，因此△OAP和△OBP為等腰三角形。設(shè)AO=x，BO=y，則AP=PB=y-x，PC^2=OC^2-OP^2=16-(y-x)^2，根據(jù)勾股定理可得AC^2=AO^2+PC^2=x^2+16-(y-x)^2，BC^2=BO^2+PC^2=y^2+16-(y-x)^2，因為AB=AC=BC，所以x^2+16-(y-x)^2=y^2+16-(y-x)^2，解得x=y，所以AO+BO=2x=2y。38.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F，求證：BD=2CE。連接DE，CF，由題意可知△BAC為等腰直角三角形，所以BD為BC的中線，即BD=AC/2，又因為AB=AC，所以BD=AB/2。又因為∠BAC=90度，所以CE為AB的中線，即CE=AB/2。因此BD=2CE，得證。39.如圖所示，已知D是等腰△ABC底邊BC上的一點，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF，CM⊥AB，垂足為M，探索線段DE、DF、CM三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到△CDE∽△ACB和△CDF∽△ABC。設(shè)AB=AC=x，BC=y，則DE=DF=x-y。又因為CM⊥AB，所以CM=AC-AM=x-AM，由勾股定理可得AM^2=AB^2-CM^2=x^2-(x-AM)^2，解得AM=y/2。同理，由勾股定理可得BM=y/2。因此，DE=DF=y-x=2AM=2BM=2CM，得證。40.在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點。(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的大小關(guān)系，并說明理由。(2)若點M、N分別是AB、AC上的點，且BM=AN，試判斷△OMN形狀，并證明你的結(jié)論。(1)由題意可知，O為BC的中點，所以O(shè)A=OC，又因為AB=AC，所以O(shè)B=OC+BC/2=OA+BC/2。因此，OA=OC<OB。(2)連接MN，由題意可知BM=AN，所以MN=AB-AM-AN=AB-2AM=2OM。又因為∠BAC=90°，所以△OMB和△ONC為直角三角形，且∠OMB=∠ONC，所以△OMB和△ONC全等，因此∠AON=2∠OMB=2∠ONC。41.如右圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，且CE=CF。試問：BE和DF有怎樣的關(guān)系？連接BF，DE，由題意可知CE=CF，所以∠CFB=45度，又因為ABCD為正方形，所以∠ABF=45度，因此△ABF為等腰直角三角形。同理，由CE=DE可得△CDE為等腰直角三角形。因此，BE=AB/√2，DF=BC/√2，但由于AB=BC，所以BE=DF。42.如右圖，ABCDE為正五邊形，M、